I -4- ay =: o

Cette seule condition entraîne les conséquences suivantes

Dans ce cas, notre équation différentielle admet les solutions

qui correspondent à deux séries de droites rectangulaires.

8. Ilnousparaîtutile, avantde poursuivre cette étude, d'indiquer dès à présent, les conséquences auxquelles conduisent les résultats précédents, toutincomplets qu'ils soientencore. Il n'est pas douteux que, si une surface a toutes ses lignes de courbure algébriques, la petite ligne de courbure que nous venons de déterminer devra être algébrique pour chaque ombilic de la surface. Il sera donc nécessaire que, pour chaque ombilic, les trois nombres A, B, C soient réels et cotnmensurables . Cette condition ne sera pas suffisante; mais, toutes les fois qu'elle ne sera pas remplie, on pourra affirmer que les lignes de courbure ne sont pas algébriques, en général.

Appliquons cette remarque à la surface des ondes de Fresuel, dont les lignes de courbure ont été l'objet de si nombreuses recherches.

Déterminons d'abord les ombilics de cette surface ('). Pour cela, il faut la considérer comme l'a/05/â?a/e d'un ellipsoïde (E). Nous rappellerons plus loin la définition de la transformation apsidale. Contentons-nous d'abord de remarquer ici que c'est une transformation de contact et que, comme toutes les transformations de ce genre, elle conserve Vordre du contact entre deux surfaces quelconques. Par suite, à un ombilic, c'est-à-dire à un point ou une sphère a un contact du second ordre avec la surface des oudes, correspond un point de l'ellipsoïde où la surface correspondante à une sphère, c'est-à-dire un tore dont le centre coïncide avec le centre de la surface, a un contact du second ordre avec l'ellipsoïde. Cherchons donc les points de l'ellipsoïde pour lesquels,

(') Cette détermination des ombilics a été communiquée en 1878 au Congrès tenu à Paris par l'Association française pour l'avancement des Sciences.

parmi les surfaces osculatrices, se trouve un tore concentrique à l'ellipsoïde. Pour les déterminer, remarquons qu'en un point quelconque d'un tore, 1 un des plans principaux contiendra l'aie et ira passer par le centre. De plus, l'un des centres de courbure principaux sera sur l'axe, l'autre sera le centre du cercle méridien de la surface; par suite, le segment formé par ces deux centres de courbure principaux sera vu du centre de la surface sous un angle droit.

Ainsi, les points de l'ellipsoïde qui donneront des ombilics de la surface des ondes doivent satisfaire à cette double condition que l'un des plans principaux aille passer par le centre et ensuite, que le segment formé par les centres de courbure principaux soit vu du centre sous un angle droit ( ' ).

Les seuls points pour lesquels la première condition se trouve remplie sont ceux qui sont situés dans les plans principaux de l'ellipsoïde (E). Il résulte de là que tous les ombilics de la surface des ondes sont situés sur les ellipses situées dans les plans principaux.