L'équation de cette surface est

02 désignant le carré de la distance à l'origine

Considérons, par exemple, les ombilics situés dans le plan des xy. En mettant en évidence les coniques sections de la surface par ce plan, et en posant

l'équation de la surface devient

Transportons l'origine en un point de la conique définie par

{') M. Mannheui a obtenu le même résultat par des méthodes qui lui sont propres. Voir le Cours de Géométrie descriptive de l'École Polytechnique. Deuxième édition, p. 334-

460 NOTES DE l'auteur. -— NOTE VU.

l'équation

et prenons comme nouveaux axes des x et des y la tangente et la normale à la conique en ce point. U prendra la forme suivante

(3o) U = A.r2-i- 2B j:j H- Cj^-t- 2Ej,

et la théorie des invariants montre que l'on aura

(3i) (AC — B2)2== AE2, AC— B--i==a2^2^ a'^^bi=\-^C.

D'autre part, V deviendra '

V = ( X — x^y- H- (y — ro )- — cS

Xo etj^o étant les coordonnées du centre de la conique. On trouve ainsi

/ON \r 9 , Ar — B^ A2-I-B2

(3.) V = .--^r-^2-^^— ^E-^— ^cS

en tenant compte de la première relation (3i ).

Portant ces valeurs de U et V dans l'équation de la surface, nous trouvons

z'^ \ ( X -h C-) X- -h (C ^ c-} y- -f- 2 B :ry ■+■ 1 Er

-(Ar-B:r)-4-^-^(B2 AC)j