AC — B

-\-{kx'^-\- i^xy -i-Gr2-i 2Ej) x^-^y"- -4- ; , ( A j — B a.-) h i— ^ v'- —o

Faisons y = o dans cette équation. Les termes de degré moindre en ^ et ^ sont les suivants

z"- '—^ {\V^ AC) + ( A'- + B^ — AC2 ).r2.

Egalés à zéro, ils donneraient les tangentes asjmptotiques au point considéré. Pour que ce point soit un ombilic, il faudra donc

que l'on ait

(c--A)rB^-AC) ., ^, . ,

; = A^-t- B2 Ac2,

A ce qui donne

A-i-Hb'-i— AC Le développement de y ne présente d'ailleurs aucune difficulté

el nous donne

(34) r =— —pr{j^--^z-} H —(jc^— xz- t-h ax^-h '{ix-z-^-;z* -^.. .,

de sorte que l'on peut appliquer les résultats obtenus plus haut.

On a ici

6 = a"= o. a = — i b', ce qui donne

L'équation tangentielle des lignes de courbure dans le voisinage de l'ombilic est donc, /, désignant une constante,

a* = lp( p-— 5)-.

Elle représente des courbes de la cinquième classe. On a ici

pip^-5)^ \y=^^^p-

Donc l'intersection de la courbe avec une droite

hx -h h' ^■ = I

sera déterminée par Téquation

[h(p^—i)^^h'pf= f/''(/'--5)^

qui est du dixième degré en p. Ainsi les lignes de courbure sont semblables, dans le voisinage de l'ombilic, à une courbe du dixième ordre et de la cinquième classe.

Ce résultat ne permettait pas d'affirmer que les lignes de courbure de la surface des ondes ne sont pas algébriques. Nous verrons dans la Note suivante comment on peut lever toute difficulté et trancher cette question.

10. Après cette application particulière, revenons au cas général et étudions la ligne de courbure dans ces régions que nous avons expressément réservées, c'est-à-dire pour les valeurs de p voisines d'une des valeurs singulières a, 3, -; qui annulent le polynôme H.

Supposons, par exemple, que l'on veuille étudier la ligne de

courbure dans le voisinage de la valeur

Pour plus de netteté, nous introduisons une variable auxiliaire/) définie par la quadrature

(35) ii./^ = A^ + ^H'il^^l^i',

qui donne évidemment pour/)' une valeur de la forme

èl pour y? — a une série

Po

Cette série sera convergente pour des valeurs suffisamment petites de/)'; on peut, si l'on veut, remplacer /?'g par l'unité. Avec cette nouvelle variable, l'équation de la courbe que nous avons étudiée dans les numéros précédents deviendra

Quant à l'équation différentielle, il est évident qu'elle prendra la forme suivante

, du du- du

dp dp- dp .

H'j, K, , L'j étant des séries convergences ordonnées suivant les

puissances de p' et ce étant du troisième ordre en u. ^— ,: cette '^ -* ' ^ dp ^

fonction a; contiendra, d'ailleurs, p' . Nous avons à étudier les

solutions de cette équation pour lesquelles les trois variables m, -^

et p' sont infiniment petites. Gela résulte évidemment des expressions de a: et de y et de l'hypothèse ajoutée que p est voisin de a. Dans ces conditions les trois termes de degré moindre, dans l'équation précédente, sont évidemment les suivants

,du » o «'"■

(3o étant le terme constant dans la série \\\. Pour que l'équation

soit vérifiée, il faut que deux au moins de ces termes soient du même degré, le troisième étant de degré supérieur ou égal.

11. Si les deux premiers termes sont seuls du même ordre, u est de l'ordre de /?'* et le troisième terme est de l'ordre de p'-^~-. Il faudra donc, pour que les deux premiers termes puissent être du même ordre, que la partie réelle de A — 2 soit positive.

Supposons cette condition remplie : l'application pure et simple dès méthodes données par Briot et Bouquet dans le § W de leurs Recherches sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles (Journal de l'Ecole Polytechnique, XXX\ r Cahier, p. i33) suffira à montrer qu'il y a une infinité de solutions de l'équation différentielle pour lesquelles u est de l'ordre p'^ et qui ont pour expression approchée

Go désignant une constante quelconque. On peut aussi raisonner comme il suit :

Effectuons la substitution

l'équation différentielle deviendra, après la suppression du facteur/)'^,

Elle pourra être résolue par rapport à p -i—- et donnera une valeur de la forme

/ / ^ ' ^'^*' Mo v ,

(4o) /) ^-^ = Mt--t- >p--i-. . .,

M, N étant des fonctions de p' dont tous les termes contiendront en facteur, soit p . soit p^~'- Cette équation, il est aisé de le reconnaître, admet des solutions r prenant une valeur arbitraire pour/> == o et développables suivant les puissances entières de p

et de/>'^-'(').

(') Considérons d'une manière plus générale une équation de la foime sui-

464 NOTES DE L'auteur. — note vu.

12. Supposons maintenant que la partie réelle de A — 2 soit négative. Alors les deux premiers termes (3^) devront être du même ordre que le troisième, et l'on aura nécessairement

(40 u=.vp'"-,

V demeurant fini pourjr>'=o. En substituant dans Téquation (36),

Pj- -/('',/', /'"'^ •••,/>'"*),

où m, rti,,..., m^. sont des exposants à partie réelle positive et où /désigne une série dont tous les termes contiennent soit /), soit l'une des puissances /?'"■ en facteur. Proposons-nous de chercher si cette équation admet une solution développable suivant les puissances de p, /)"'i, /)"*2, . . . p'"i. On reconnaîtra d'abord que l'on peut choisir arbitrairement la valeur initiale de v et que tous les autres coefficients de la série se déterminent en fonction du premier. Posons, en effet,

l'équation pourra s'écrire

p"'i = pr,

àv dv dv ., .

En donnant à v une valeur arbitraire v^^ et en égalant les coefficients des produits /»», /)*»..., p\k^ dans les deux membres, on pourra, de proche en proche, déterminer tous les coefficients de la série cherchée. Pour démontrer maintenant que cette série est convergente, remplaçons tous les coefficients de / par leurs modules, tous les exposants m^ dans le premier membre par leurs parties réelles positives, la valeur initiale v, par son module. Toutes ces substitutions ne pourront qu'augmenter les modules des coefficients dans la série qui doit représenter v. Il en sera de même encore si nous remplaçons ensuite / par le quotient

àf df df

^ dp '^' àp, *^^* àp,

dv

Or, après toutes ces substitutions, il nous reste une équation que nous pouvons intégrer à vue et dont l'intégrale est fournie par la formule

où / est une série dont tous les termes contiennent l'une au moins des variables />j P^^, ■■•-.Plc-

Le développement de v par la formule de Lagrange sera convergent tant que />,/),, . . ., p^. seront suffisamment petits; et il donnera des limites supérieures des coefficients de la série obtenue pour c, série qui sera, par suite, aussi convergente.

il vient un résultat de la forme suivante

Pour/>'= G. on a. écartant le cas où ,3o serait nul,

Nous poserons donc

et nous obtiendrons pour w une équation de la forme

/4 X /. - .dw ,^ / ,dw\ ,^l, ,àw\

dw

On peut toujours résoudre cette équation par rapporta/)' -7-;} ce qui donnera un résultat de la forme suivante :

les termes non écrits contenant tous un facteur, soit/)', soit w'-. Les équations de la forme précédente admettent toujours, comme

on sait, tant que n'est pas un entier positif, une solution

holomorphe

se réduisant à zéro avec />'; mais elles peuvent admettre d'autres solutions s'annulant encore avec p lorsque la partie réelle du quotient

est positive.

Posons

A ^ A%-iB';

la partie réelle de ^ — —sera

(? — A'UA'— n — B'î (A'— i)î-t-B'2

D.\RBOCX. — IT.

Si l'on a

l'équalion (4'3) admettra des solutions dont la partie principale sera donnée par la formule

G„ étant une constante quelconque, ce qui donnera pour u la valeur approchée

les termes non écrits étant de degré supérieur à l'un ou l'autre de ceux que nous mettons en évidence.

La ligne de courbure passera à l'ombilic, mais elle n'y aura pas la même singularité que la courbe étudiée aux n"'* o et 6, et qui lui est hoinothétique dès qu'on s'éloigne de la région pour laquelle/?' est voisin de zéro.

-Si l'on a

alors la ligne de courbure ne passera pas à l'ombilic, bien que la

courbe qui, partout ailleurs, lui est homothétique, j passe

effectivement.

Enfin si l'on a

alors la ligne homothétique se comporte comme la ligne de

courbure, en ce sens que ni l'une ni l'autre de ces courbes ne

passent à l'ombilic.

Nous avons laissé de côté le cas exceptionnel où serait un

entier positif". On sait qu'alors l'équation (4'^) admet une infinité

d'intégrales s'évanouissant avec jj' ; et il résulte d'un théorème

démontré par M. Poincaré dans une N^ote sur les propriétés des

fonctions définies par les équations différentielles insérée au

XLV*^ Cahier du Journal de V Ecole Polytechnique^ que toutes ces

intégrales sont holomorphes en /)' et />'Log/>'. Ici encore la ligne

de courbure et la courbe homothétique passeront à l'ombilic sans

y avoir la même singularité.

Lorsque l'exposant A est réel, on se trouve dans le cas étudié

par M. Picard; les deux courbes passent, ou ne passent pas, en même temps à l'ombilic. Mais lorsqu'elles a- passent, elles n'ont pas nécessairement un contact du même ordre avec leur tangente commune.

Toutes ces conclusions ne sont nullement contradictoires et s'expliquent aisément à l'aide de certains exemples particuliers. Si l'on prend, par exemple, les courbes définies par l'équation suivante :

(46) u = C^p^-zip)-^Clp*^{p),

où Co désigne une constante arbitraire, 9(/>) et ^{p) étant des fonctions holomorphes àe p, ne s'annulant pas avec />. on reconnaît immédiatement que. pour C„ très petit, les courbes deviennent semblables à celle qui est représentée par l'équation

Il = p- z( p ».

Néanmoins, lorsque p tend vers zéro, le second terme peut devenir prépondérant, ou même infini,, suivant la valeur de a.

NOTE YllI.

SUR LES LIGNES ASYMPTOTIQUES ET SUR LES LIGNES DE COURBURE DE LA SURFACE DES ONDES DE FRESNEL.

1. Depuis Fresnel et Ampère, un très grand nombre de géomètres ont publié sur la surface de l'onde des travaux importants. Une monographie complète de celte surface mériterait d'être entreprise. Mais il ne faut pas se dissimuler qu'elle serait fort étendue, car elle aurait à faire des emprunts à bien des théories différentes, soit en Analyse, soit on Géométrie. Dans celte courte Note, nous nous proposons seulement de former et d'étudier les équations difTérentielles des lignes asymptoliques et des lignes de courbure, en considérant la surface de Tonde comme V apsidale d'un ellipsoïde à trois axes inégaux.

Nous avons vu au Livre VIII, Chapitre VIII, comment on peut rattacher certaines transformations de contact à la considération de deux équations, les équations (17) de la page 172, entre les coordonnées x^ )', ^ ; X, Y , Z de deux points correspondants m, M. Si l'on prend, pour ces équations, les deux suivantes

( x- -H )•■--+- ;- — X- — Y- — Z2 = 0 ^ ' \ X.r-4- Yj-^Zg = o,

OÙ les coordonnées des deux points entrent symétriquement, il faudra leur adjoindre, d'après la théorie que nous avons développée, les quatre relations

qui dérivent des équations (21) et (22) données à la page 174 et

OÙ P. Q. p. q ont la signification déjà indiquée. Ces équations nouvelles, jointes aux précédentes ( i), définiront complètement la transformation à laquelle on a donné le nom de transformation apsidale. Pour connaître les propriétés de celte transformation, il suftit de les interpréter géométriquement.

Soit toujours y^s) la surface décrite par le point /w et (S') la surface correspondante décrite par le point M. Les équations (2) expriment que la normale à (s) admet pour paramètres directeurs

X — ÀX. y — À^. z — '/.'L:

et les équations (3) expriment de même que les paramètres directeurs de la normale à (S) sont

De ces remarques si simples, on déduit immédiatement les propriétés suivantes, bien connues, de la transformation apsidale.

Les deux rayons vecteurs, égaux et rectangulaires, OM, Om.) qui joignent V origine aux points correspondants, les deux normales en M et en m sont quatre droites dans un même plan.

Les normales en M et en m sont perpendiculaires.

2. Admettant toutes ces propriétés qui définissent évidemment la transformation, nous allons indiquer des formules simples permettant de passer d'une surface à sa transformée.

Xj y, z désignant des coordonnées d'un point quelconque m d'une surface (s), écrivons l'équation du plan tangent sous la forme

(4) p\-^-q\ -^ rZ^i:

/>, q, r seront des coordonnées tangentielles, vérifiant les deux

relations

i pur -r- dy -1- rz =1.

' p efj- -i- q dy -^ r dz — o.

Si maintenant on introduit trois quantités nouvelles />', q\ r'par

les relations

ru -pz ^i/'=o, py — ij ./• -H /■' = O,

p, q, r, p'. q\ r' seront les six coordonnées de la normale (n" 139).

Ainsi les neuf quantités x^ y, ^', p-, q, r] p-, 7', r' déterminent le point, le plan tangent et la normale. La surface décrite par le point (p, q, r) est la polaire réciproque de la proposée par rapport à la sphère concentrique à l'origine et de rayon égal à l'unité. L'équation différentielle des lignes asymptoliques est

( 7 ) dp dx -+- dq dy -H dr dz = o,

et celle des lignes de courbure (n" 139)

(8) dp dp' -^ dq dq' -\- dr dr' = o.

Désignons par des capitales les quantités analogues aux précédentes et relatives à la surface transformée (S). Aux équations (i), on devra joindre les suivantes

ipx^ qy-hr:.=

= I, PX -4- QY

RZ

(9) j X/>' -4- Y gr' -(- Zr'^

= 0, P// ^ Qq'

Kr'

d'où l'on déduira les valeurs

suivantes

y^P'^-r'x^ VG

L^yv'-^p',

G étant défini par l'équation

Les formules précédentes conduisent aux deux relations

{ Fp -h Qq -hRr — o,

(12) 7 vï

( P2 -^ Q2 H- R2 =jd2^ Ç2^ ^2^

qui, comparées aux formules ( i ), mettent en évidence une propriété bien connue de la transformation apsidale : Quand deux surf aces se correspondent dans cette transformation, il en est de même de leurs polaires réciproques par rapport à toute sphère ayant son centre au pôle de la transformation.

3. Appliquons ces propriétés générales au cas où la surface (s) est un ellipsoïde (E) déiini par l'équation

On aura ici