IX Y Z
p' ^= { h — c)qr. q'^ic — fi)pr. r =^ ( a — b)pq.
Prenons comme coordonnées curvilignes 5 et a le carrr du ravon Om et le carré de la distance du centre au plan tangent en m; c'est-à-dire posons
D'après les propriétés de la transformation apsidale, ces variables a et ;3 conserveront la même signification, quand on passera de m au point correspondant M; mais elles ont Tinconvénient de ne pas conduire à des expressions simples de x, v, ~-. En résolvant, par exemple, les équations {i3) et (i5), on est conduit, pour les coordonnées x, y, z. à des expressions telles que la suivante
Pour éviter cette difficulté, nous introduirons deux nouvelles variables <x et (3', dont nous verrons plus loin la signification géométrique, et qui sont liées aux précédentes par des relations que l'on peut comprendre dans l'identité suivante :
U équation
(16) C(r ^lit — y)/(ï)= M(J — a')(| — a').
OÙ M est indépendant de £, et où, /{l) est le polynôme suivant du troisième degré
(17) /•;) = <:- «)'?-^)(?-c), doit avoir lieu pour toutes les valeurs de l.
472 NOTES DE l'AUTEUR. — NOTE VIII.
Si l'on pose, en effet, pour abréger,
(18) a -h b -h c = h, ab -^ ac -i- bc =z k, abc = /,
l'identité (16) équivaut aux relations
1 M aa' = /,
qui déterminent M, a', (5' en fonction de a et de p. On peut d'ailleurs faire le calcul en se servant de l'identité même. Si l'on y remplace ç par a, on aura, pour déterminer [3', l'équation
Puis les équations (19) donneront
" ~ Ma
Nous emploierons simultanément, dans la suite, les quatre variables a, j3, a', (3', en revenant, toutes les fois qu'il sera nécessaire, aux relations précédentes ou à l'identité (16) qui les contient toutes les trois. En particulier, nous nous servirons souvent des relations suivantes
obtenues en remplaçant ? successivement par a, oc', j3, (3', et de
celles-ci
obtenues de même en remplaçant ^ par a, 6, c.
4;. En tenant compte de toutes ces relations, on trouvera facilement pour/?, g, /', X, y, z, />', ^', r' les expressions suivantes sous
formes de produits
a — a tj I a
I b a — a') ( 3 — a; a aa ' I a — ''^ \ f' i <i
\ C 7LZ I C ^}J (C )
K. ayant pour valeur
(,.) K = ,3-,>y/3îE] = i^T;T— 717;.
Portant ces valeurs de p. q. r, /?', ^, /•' dans les formules fondamentales (^10) et remarquant que l'on a ici
on trouve, pour les éléments X. Y, Z, P, Q, R relatifs à la surface des ondes, les valeurs suivantes
^ ^ Pya — y^ ^ . /(' g— >M ti — a') ^
çit
ri
i / ; tf
P', Q', R' étant, nous l'avons vu, respectivement égaux, dans tous les cas, à />', ^/', r' .
5. Des formules précédentes, on déduit un grand nombre de relations, parmi lesquelles nous signalerons les suivantes
et aussi
Il — j c — J ' a — a' 6 — a
P2+Q2H-ir-= ,
(32) ^ a rt X /> a
Q2 \\i VI Ou
L'élimination de (3 entre les deux équations de la première ligne (?)i) donnerait, par exemple, l'équation de la surface. L'analogie des deux autres équations (3i) montre immédiatement la signification géométrique de a . Le rayon OM prolongé ira couper la surface en un second point M', et l'on aura
(33) OW=z\J^\ comme OM = y^'P-
Ainsi j5 et a' sont les carrés des deux rajons vecteurs dirigés suivant le diamètre OM.
Les équations (32) se déduisent des précédentes si l'on remplace
X, Y, Z, a, 6, c, 3, a', respectivement par
La surface décrite par le point (P, Q, R) est donc la surface des ondes relative à l'ellipsoïde (E')
( 34 ) « -i'- -+■ by- -\- c z- = \ . .
Comme cet ellipsoïde (E') est polaire réciproque de l'ellipsoïde (E) relativement à la sphère de rayon i ayant l'origine pour centre, le
résultat prt^cédent est simplement la conséquence de la proposition générale indiquée plus haut relativement à l'apsidale de la polaire réciproque.
On voit ainsi que. si l'on mène à la première surface des ondes un plan tangent parallèle au plan tangent en M, la distance de l'origine à ce plan tangent sera y^^'.
Ainsi \ 3t, \ ,3' sont les distances à deux plans tangents parallèles. Les deux remarques que nous venons d'indiquer rattachent ainsi géométriquement les variables introduites et.', 3' aux variables primitives a et 3.
6. Ces points étant établis, nous allons former en premier lieu l'équation ditlérentielle des lignes asymptotiques de la surface des ondes
(35) </P </\ ^ t/O rfV — ^R rfZ = ...
Pour effectuer le calcul avec simplicité, nous ferons usage des formules telles que la suivante
ta— 3Hrt— 3') M(^<7 — a M « — a") { jo ) rA =^ —. = -r, )
/ (a) a J I ai
que le lecteur établira sans difficulté. Comme on peut écrire l'équation (35) sous la forme
on aura, en employant les formules (29) et (3o), l'équation différentielle
c px r -i^ ^ "''"^ 1 r^^, ^ "^^^ 1 = o.
kJ L « — ji :>■ \^a — 3: ) J L a — j 2 1^ « — a ; J
En Utilisant successivement les deux expressions différentes (36) de PX, on obtiendra le résultat suivant
( 37) '^ ~~ ■'' f/a (fi, -+- ^~; d:L' (K = o.
Les deux relations (22) permettent encore d'éliminery*(a),y(^a') et de
476 NOTES DE l'auteur. — NOTE VIII.
ramener l'équalion précédente à la forme
do. d^ dx' d'^'
Mais cette équation différentielle contient toujours quatre variables a, p, a', [3'. Nous allons voir comment on peut éliminer deux d'entre elles.
D'après l'identité (16), a et a' sont racines de l'équation du
second degré en t
Difiérentions totalement cette équation. En désignant son premier membre par (p(^), nous aurons pour chacune de ses deux racines
z'{t)dt^t{t—''^')d'^^t.{t—'^)d^\
ce qui nous donnera, en remplaçant successivement t par a et par a',
On a d'ailleurs
et par suite
En divisant donc membre à membre les deux équations (Sg), on aura
da. a. {a. — 3' ) <!?3 H- a ( a — j3 ) <i,3'
ce qui établit une relation homographique entre les deux coefficients
différentiels -m -Â- En chassant les dénominateurs on trouve
dy. dj
■X ( x' — jj' ) rfa f/^3 -H a ( a — 3 ) dx d'y
-H a' (a' — jj) r/a d^^' -\- a (a — 3') dx cf^ = o.
Les deux premiers termes avant une somme nulle pour les lignes asymplotiques, en vertu de l'équation (38), on voit que cette
équation est encore équivalente à la suivante
... du cTj' ch.' cti
Il ne reste plus qu à multiplier ou à diviser membre à membre les deux équations (38) et (42) pour obtenir les deux suivantes
dx^ </a'2
(2 — f» ) <, 3t' — il 1^ 2 — y I ( a — ^ I
qui, en tenant compte des identités (22) et (23), se ramènent aux suivantes
où les variables sont séparées. On reconnaît dans l'une et dans l'autre l'équation d'Euler dont l'intégrale peut revêtir tant de formes dillérenles.
Ainsi, les lignes asvmptotiques de la surface des ondes sont des courbes algébriques. Cet important résultat est dû à M. Lie, qui Ta signalé d'abord dans sa Note Sur une transformation géométrique, présentée en 1870 à l'Académie des Sciences {Comptes rendus, t. LXXI, p. 079). M. Lie l'a établi pour la surface de Kummer, qui comprend la surface des ondes comme cas particulier. Les lignes asvmptotiques de cette surface ont été étudiées par MM. Klein et Lie dans une Note : Ueber die Haupltangentencurven der Kummer' schen Fldche vierten Grades mit 16 Knotenpunkten, insérée en 1870, p. 891-899, aux Monatsberichte de Berlin.
7. Avant d'étudier l'intégrale de l'équation précédente, nous allons étendre un peu les résultats obtenus. Conservons toujours les quatre variables a, p. x. 5' liées parles identités (22 1 à (24) et cherchons s'il existe des surfaces pour lesquelles les six variables X,
Y, Z, P, Q, R soient exprimées par les formules suivantes
1 X= C\(a — oi)">(a — 0^')'"' (a — [i)" (a— [i')"', (45) I Y = Cl A(^ — a)'«(7> — «')"''(/; — [i)"(6 — p')"', Z = G.. A(c — a)"'(c — a')'"'(c — i'i)"(c — [ii')"',
CA/' (a)
' '^ =" C-Anc)^^ "" ^^"'"^'^ " a')— '(c - [3)i-"(c - fi')'-"',
où A désigne une fonction arbitraire de deux variables a, (3, a', [3'; C, Cl, Co, ^'ï, Ai, w', 71 des constantes quelconques; ces formules comprennent comme cas particulier celles qui sont relatives à la surface des ondes. Il sera nécessaire que les valeurs précédentes vérifient identiquement les deux relations
l'\^ OY -f- KZ =1,
La premièrô résulte immédiatement des formules
RZ =
(h-[-i)(h — {l,') fie)
conséquence des équations (4^) et (4^)-
Quant à la seconde, elle nous donne, par un calcul facile, la condition suivante
A y(aj J{^-)
OU, en tenant compte des identités (22),
d\ dy. , dy.'
h m h ni —r = o.
On peut donc prendre
et il vient, pour la surface cherchée, les formules définitives
[Z = C,(-^-) (-^--) (c-â)"(c-^'.'.'; On retrouverait en particulier la surface des ondes en faisant
Appliquons à ces formules plus générales (48) el (49) 1« méthode qui nous a réussi dans le cas de la surface des ondes et formons réqualion différentielle des lignes asvmptoliques
If/ — j I i a — ,J ' r f fi? Il cf'j' nui tl% ma dx 1
fia) L .^ — " y — ^ ^'^ — a I a I a' — a)j
fil — /Il f/t (I — ni ffy ma di m' a t/j.' 1
\ -. — a 'j — a XIX — fil XIX — "^ij
EtTecluons les sommations en remplaçant, dans tous les termes où se trouvent les seules différentielles doL. dy' , le produit (a — P) (« — ?') par la quantité égale
48o NOTES DE l'auteur. — NOTE VIH.
Nous aurons l'équation difFérentielle
. . da. (Pi , , . doL d'iî
m {in — I ) — ■ jj- -\- m. {'in — i ) ■
, daL'd2> ,, , , daWn
m (2 // — I ) , , — -^r- -^ ni {'in — ^)—r.
//w2 ûfa2 /m - , , ^ do.'-
Remplaçons maintenant â?3c, <ia' par leurs valeurs déduites des équations (89) où l'on remplacera cp'(a), f'(a') parleurs expressions (4i)- Api'és les réductions, le terme en d^ c/(3' contiendra un coefficient numérique, qui sera
'.}.{ni — m') {ni -+- ni' -h n H- /i' — 1).
Si l'on veut que l'équation ditrérentielle ait encore ses variables séparées, le coefficient précédent devra être nul. Ecartant l'hypothèse m =^ m' qui conduirait à des surfaces déjà étudiées au n° 112 [l, p. 142J, nous supposerons
( 5 1 ) m -+- ni' -\- /i -+- n' =z \.
Alors l'équaiion difFérentielle se réduira encore, après la suppression du facteur
C m + n){ m' -\- n'){oL — 3' 1 ( a' — [î )-»-( /n -(-//) (' ni -+- n) (3. — Ci) ( y.' — S') : : . !:.,
à la forme simple
, ^ , d^- dl'-
(52) -r-r-rr- r-Vr" = O.
identique à celle que nous avons obtenue dans le cas de la surface des ondes, pour laquelle d'ailleurs la relation (5i) se trouve vérifiée par les valeurs correspondantes de m, 71, m', n'. Ainsi nous obtenons une classe de surfaces se rattachant à la surface des ondes et dont les lignes asymploliques se déterminent toutes par l'intégration de l'équation d'Euler. Ces surfaces seront algébriques, ainsi que leurs lignes asyniptotiques, toutes les fois que les exposants m, n, m', n' seront commensurables.
SUR LA SURFACE DES ONDES DE FRESNEL. 48l
8. Parmi les dilTérents procédés d'intégration de Téquation d'Euler. voici, ce nous semble, celui qui convient le mieux à notre sujet.
6,, Oo. 63 désignant des fonctions de deux variables, considérons la famille de courbes définie par l'équation
où c,, Co, C3 désignent trois constantes dont la somme est nulle
(54) Cl -I- C. -t- C:; = O.
L'équation ditterentielle de celle famille de courbes se forme sans difficulté, car on a
ce qui donne
s Cl \ Ci \ C::
et par suite
(55) (e,û?B3— e3û?B2)î-i-(e3^i — 6iû?B3)2-+-(ei6?B,— e.>c/9i)^ = o,
ou encore
(55') (Of-HeiH-Of.) (</9i-4-fl?6i-+-É^5) — (6, ûTOi H- 62^2-1-63^31^=0.
Si l'on suppose que 1 on ait
l'équation diiVérentielle prendra la forme encore plus simple
(56) dhi-i- f/Hl-^ dbi^o;
et si l'on pose
/ < Cl
elle deviendra
7^~ fiïi
C'est précisément l'équation que nous avons rencontrée, et dont l'intégrale pourra par suite se mettre sous la forme
+ \/QY ^/{Jj — k) {c — a) -h v'K^ \^ c — k) {a— b ) — o,
OÙ A désigne une constante arbitraire quelconque et où nous avons tenu compte des formules (47) données plus haut.
9. L'interprétation géométrique de l'équation (09) est facile à donner si l'on introduit le complexe auquel appartiennent toutes les normales d'une famille d'ellipsoïdes homofocaux, et qui est formé par toutes les droites qui coupent les trois plans desvmétrie et le plan de l'infini en quatre points dont le rapport anharmonique est constant. Nous appellerons un tel complexe un complexe de Cliasles. Et alors on pourra traduii^e sous la forme géométrique suivante le résultat que nous venons d'obtenir :
En tous les points de chaque ligne asymptotique de la surface^ le plan tangent à la surface est tangent au cône d\in complexe de Chasles dont le tétraèdre^fondamental est formé par les plans de symétrie et le plan de V infini.
Si l'on veut, par exemple, obtenir les deux lignes asjmptoliques qui passent en un point de la surface, on construira les deux cônes du second ordre ayant leur sommet en ce point, passant par les quatre sommets du tétraèdre fondamental et tangents au plan langent de la surface en ce point. A chacun de ces cônes correspondront un complexe de Chasles et une des deux lignes asymptotiques cherchées .
10. Il est naturel de se demander si la construction précédente s'applique à d'autres surfaces. En revenant aux notations de Monge et désignant maintenant par p et q les dérivées de z considérée comme fonction de x et r, le problème peut évidemment se formuler comme il suit :
Chercher les surfaces pour lesquelles V équation
(60) \/a.z -[-\^ — ?j px-\-\/ — Y^v = o.
OÙ les constantes a, §, y satisfont à la relation
est l'intégrale générale de l ^équaJion différentielle des lignes asymptotiques.
Nous avons vu plus haut, au n" 8, comment on élimine les constantes a. 3. -;'. On est ainsi conduit à Féquation différentielle
\ dz- i(lpx\- i dq v)-^ . . ,
Or, pour une ligne asjmptotique, on a
. ^ i dp fur -r- dq dv = o,
i dp^ = \s^- — rt\dy^, dq- = < s^ — rt jdr-, dpdq = — {s^— rtidxdy.
et, par suite,
(64 ) di z — p.r — qv I - = i s- — rt > f x d^— v dx -.
Tenant compte de ces diverses relations, on mettra 1 ôqualion différentielle (62) sous la forme suivante
( 65 t i{s- — ri ) xyz ■+- pq i z — px — qy ''
X i (z — px\—dx--i-(z — qv ) - dv- — jxv dx dv I = ". V *^ q ^p^ - ' J
On a ici le choix entre deux hypothèses bien distinctes. Si le premier facteur n'est pas nul, le second devra être identique au
polynôme
rdx-^r- isdx dy — (dy-.
ce qui donnera les deux relations
Y' z — pi X- Z — qy- — xy
qr pt s
qui s'intégrent à vue et nous donnent
(66) --pu--qy=^, = ^,,
X et Y désignant des fonctions de x et de y respectivement. Ces deux équations du premier ordre s intégrent à leur tour et
484 NOTES DE l'auteur. — NOTE VllI.
conduisent, le lecteur le reconnaîtra aisément, aux surfaces trtraédrales de Lamé (n° 112) et à leurs limites.
11. Mais on peut satisfaire d'une autre manière à l'équatiou (05). Il suffît que le premier facteur soit nul. On est alors conduit à l'équation aux dérivées partielles
(G7) {s- — rt) .ryz -+- pq{z — p.r — qr) = o.
qui fera connaître une classe très étendue de surfaces jouissant de la propriété annoncée.
Cette équation, dont les caractéristiques sont les lignes asjmptotiques de la surface cherchée, peut s'intégrer complètement et d'une manière élégante. Nous nous contenterons de l'interpréter géométriquement.
Soient ao, [3„, y„ les cosinus directeurs de la normale, définis par les relations
, cosa„ cos'io cos-;,, 1
Les coordonnées X, Y, Z d'un point situé à une distance N du pied de la normale seront données par les formules
(69) X — .r = \ cosa,,, "^ — )■ = \ cos po; ^ — :; = N cosy, .
d'où l'on déduit que si N.,., Ny, N;, ^ désignent les segments de la normale limités aux trois plans coordonnés et à la projection de l'origine sur la normale, on aura
(70) / COS7.0 • cos,:;o cosYo f 77T = — a: cosxo — r cos [Îq — - cos^o :
Tjy désigne encore, avec un signe déterminé, la distance de l'origine au plan tangent.
On a, d'autre part, p' et p" désignant les rayons de courbure principaux
(70 PP = -pfZ-,
Ea tenant compte de toutes ces relations, on reconnaît que 1 équation (67) peut être remplacée par la relation géométrique
(-2) nip's''=\.^.NvXr.
qui est, par suite, vérifiée pour la surface des ondes.
En cherchant si les surfaces tétraédrales, correspondantes à la première hvpolhése, satisfont à cette relation, on trouve que, pour la surface représentée par l'équation
( 7 > I on a
(fr-(0'"*ar=
( -4 "i ^^ ras ' '/ = I W — I y- \ ,. Xv N ; .
Ainsi, parmi les surfaces tétraédrales, les surfaces du second degré seules satisfont à l'équation (67).
Au reste, parmi les surfaces répondant au problème posé, les surfaces tétraédrales sont les seules pour lesquelles la génératrice de contart du cône du complexe défini plus haut relatif à un point de la surface et du plan tangent en ce point coïncide avec une tangente asyniptotique de la surface.
m. Après celte digression relative à toute une classe de surfaces dont les lignes asymplotiques se déterminent comme celles de la surface des ondes, revenons à cette surface particulière pour étudier et déterminer, si c'est possible, ses lignes de courbure. Nous reprendrons les notations primitives et nous emploierons, pour former l'équation différentielle des lignes de courbure, les formules d'Olinde Rodriçues.
Ici les cosinus directeurs de la normale sont
Les équations cherchées se présentent donc sous la forme simple
^V^-.o^(QVa) = o, où 0 désigne le rayon de courbure principal.
486 NOTES DE l'auteur. — NOTE VIII.
Ajoutons les équations précédentes, après les avoir multipliées respectivement par 2X. 2 Y, 2Z : nous trouverons la relation
f/3 -(- 2 p d \/o. = o, d'où l'on déduit
Cette expression est en parfait accord avec celle que nous avons donnée au n" 1071, où nous avons déjà employé, pour une surface quelconque, le système de coordonnées curvilignes a, |3.
En portant l'expression de p dans la première équation (;5), par exemple, nous aurons l'équation difFérentielle des lignes de courbure sous la forme
Remplaçons X et P par leurs valeurs, il viendra
a(a — p ) ( « ^ 3' I ch ch' — y.' {a — a ) ( « — a' ) c/JB «^/3' = d
OU, en tenant compte de Tune des équations (24),
