TT- = ^^?^P

Telle est l'équation différentielle cherchée, mais elle contient quatre variables. On éliminera aisément x' et {3', par exemple, et l'on sera conduit à l'équation suivante

qui a quelque analogie avec l'équation d'Euler. Comme l'équation différentielle (77) est symétrique en |3 et (3', on pourrait conserver les variables a et j3'; et l'on serait conduit à l'équation

toute semblable à la précédente.

Ces équations admettent des solutions particulières définies par les relations

/(a; = o, /(?) = o, /(8') = o, (ûc-P)(a-.3') = o,

qui correspondent aux lignes de courbure évidentes de la surface des ondes, les sections principales, les cercles de la surface.

Si l'on remplace, dans l'équation (78), -j^ par son expression en

fonction de p, on aura l'équation du second degré

qui fera connaître, en chaque point, les rayons de courbure principaux. Cette équation permet de vérifier la relation (72) déjà établie et d'en trouver une nouvelle.

On a ici, en efTet. en conservant les notations et les conventions

dun 11.

Pva "— ^

(81) < ->v = = — \ a -t rs — — \'a.

Si donc p' et p" désignent les deux rayons de courbure principaux, on aura

I 82 i oc — ■ • ■ • = — — ^•

C'est la formule établie plus haut. On aura de même

ce qui donnera

relation entièrement géométrique, puisque ,3 est le carré du rayon vecteur.

13. Revenons à l'équation différentielle (78). Elle est plus compliquée que celle d'EuIer, mais elle s'en rapproche en ce sens qu'elle se forme comme elle au moyen d'un polynôme /(a), dont les coefficients n'apparaissent pas dans l'équation. Nous allons

d'abord effectuer quelques transformations qui nous seront uliles. Si l'on pose, en substituant la variable ^ à (3,

l'équation deviendra

/ o - X N di"' , ^ dt . . I- „ V' , ^

o(a) désignant le polynôme

Remplaçons maintenant t par la variable a

/ON ora) ,

L'équation prendra la forme

' ' cb:- ' d-J. ;> ' i',4 ' ' ^

Ces différentes transformations nous permettent d'établir la curieuse proposition suivante : L^ équation différentielle (78) s'intègre dès que le polynôme ,/(3c), qui est^ en général, du troisième degré, se réduit à un polynôme du second degré.

Dans ce cas, en effet, le polynôme 9(3«), défini par la formule (86), se réduit au troisième degré. Le dernier terme de l'équation (^88) disparaît et l'on peut, en la divisant par-y-7) lui donner la forme suivante

en supposant, comme il est permis, que le coefficient de x'-'' dans 9(37) soit égal à l'unité ( ' ).

Si donc on effectue la substitution définie par les formules

(9"> ;7^ = '^" ""-''-di^-^-^

(') Si '^{x) était de degré inférieur à3, il faudrait supprimer le terme en -7—51 ce qui faciliterait encore lintégration.

qui nous donnent l'équation prendra la forme

dfc

qui s'intègre immédiatement par la séparation des variables et nous donne

C en. r -- -i ,

On aura ensuite

L'intégrale se présente donc sous une terme assez compliquée: et elle n'est pas généralement algébrique.

14. Voyons maintenant quelles sont les conséquences géométriques du résultat analytique précédent. En voici une à peu près évidente.

Supposons dabord que l'ellipsoïde (E) se réduise à un cvlindre, l'axe \ c croissant indéfiniment. La surface des ondes deviendra l'apsidale d'un cylindre elliptique. Pour savoir ce que devient alors l'équation différentielle des lignes de courbure, il faudra prendre le coefficient de c dans l'équation (78), ce qui revient à remplacer /"(a) par le polynôme du second degré

Donc, on sait déterminer les lignes de courburedelasurface apsidale d'un cylindre et ces lignes de courbure ne sont pas algébriques.

Supposons maintenant que l'ellipsoïde (E) se rapproche d'une sphère, par exemple de la sphère de rayon i. On pourra supposer que les carrés des axes a. b, c soient de la forme

(96) « = I-t-£«i, b ^^l -i- tb\. c =1 -r- ICi.

49» NOTES DE l'auteur. — NOTE VHI.

£ étant un infiniment petit et «i, bi, Ci des quantités finies. La différence (3 — x sera alors de l'ordre de s^ ; cela résulte de la définition géométrique des variables oc et (3. On devra donc poser

et l'on aura

(98) , ç(a) = ( I -+- ïa,);^^,^», ), a = ^u^,

en posant

(99) ÇiCsti) = Ui— «1 H^tj — 6i)(ai — Cl).

Si l'on substitue toutes ces expressions dans l'équation difTérentielle (88) et si l'on conserve seulement les termes de degré moindre, qui contiennent S'^ en facteur, il restera l'équation

, , , , du] , du\ .. U]

Aux notations près, nous retrouvons l'équation primitive (88), où cp(a) serait remplacée par un polynôme du troisième degré. Et nous avons vu qu'alors l'intégration se ramène aux quadratures. Ainsi :

On sait déterminer les lignes de courbure de toutes les surfaces des ondes qui diffèrent peu d^une sphère. Ces lignes de courbure ne sont pas algébriques.

Il suit de là que, dans le cas général où, les trois axes de la surface sont inégaux, les lignes de courbure ne sauraient être algébriques.

Quand on aura intégré l'équation (100), les coordonnées du point de la surface se détermineront en fonction de w, et a, par les formules

~~ V («1 — 6i)(ai — cj)

(lOl) j /ib,-:.,){b,-:c,-u,)

[ 7 /(Cl — g| )(C'| — 3t| — Ui

\ ~\ (ci— <■?,)( Cl — 6,)

Ces valeurs, satisfaisant à la relation

niontreal bien que la surface se réduit alors à une sphère.

15. On obtient le même résultat en supposant que deux des axes seulement, a et h par exemple, tendent à devenir égaux, le troisième c restant dififérent des deux premiers. La surface des ondes se décomposera en un ellipsoïde et une sphère. Pour la partie qui se rapproche dune sphère, a et 5 différeront peu du rayon de la sphère. On sera ainsi conduit à poser encore

(102 ) • h =^\ — thi.

■ a = I -r- cSi :

(lo3i Ç 7. 1= 3-(^2j </] Il II — 61 if I — Cl^...= £-Ç|'Zj I — ...:

u restera finie et l'équation (88) se réduira à la suivante

^ du- , , . du u- ,

qui n'est autre, avec un changement de notations, que l'équation (88) où ziiy.) se réduirait non plus au troisième, mais au second degré.

Ainsi, quand la surface des ondes se 4éconipose en un ellipsoïde et une sphère, on sait déterminer, sur la sphère, les positions limites des lignes de courbure.

16. Bien que nous n'ayons pu obtenir, dans le cas général, une détermination en termes finis des lignes de courbure, néanmoins plusieurs résultats essentiels sont fournis par l'analyse précédente. Nous voyons, non seulement que les lignes de courbure ne sont pas algébriques, mais encore que. si ces lignes présentaient quelque intérêt dans l'étude optique de la surface, nous pourrions les faire connaître avec une suffisante approximation. Car les surfaces des ondes relatives aux différents cristaux sont peu différentes de la sphère et surtout ont toujours, au moins, deux de leurs axes très peu différents lun de 1 autre. Le lecteur s'en convaincra aisément,

492 NOTES DE L"aUTEUR. — NOTE VIII. — SURFACE DES ONDES DE FRESNEL.

s'il jette les yeux sur le Tableau suivant, qui donne les indices de quelques cristaux (relativement à la raie D) :

Gypse I .Ù-2Ç)

Orlhose i ,5-26

Aragonite i ,685

Diopside i ,700

Stilbite 1 ,5oo

Oligoclase i ,042

Amblygonitc. . . . i , »97

Splièiie -<;009

Epidote 1 ,768

Slaurotide i ,746

Les lignes de courbure de la surface des ondes ont d'ailleurs été l'objet d'un assez grand nombre de recherches. A la suite d'une affirmation inexacte, d'après laquelle ces lignes seraient les courbes de contact d'une développable circonscrite à la surface et à une sphère concentrique, Combescure, dans un élégant Article inséré en 1809 au tome II des Atiiiali di Maternatica^ p. 278, a formé leur équation différentielle. Dans quelques remarques qui suivent cet Article, M. Brioschi a montré que l'équation différentielle obtenue par M. Combescure peut se ramener à la forme

, cAo-

où l'on pose

dp-

^{P) ^ V9(P)=^ \'Pip — (f-){p—b')(,p — c).

Mais toutes les recherches faites pour obtenir la solution complète du problème ont, jusqu'ici, complètement échoué.