SUR LA GÉOMÉTRIE CAYLEYENNE
face réglée quelconque (R) et proposons-nous de déterminer son élément linéaire dans la Géométrie caylevenne. Prenons une courbe quelconque (C) sur cette surface. Soient aj, a,, «3. a^ les coordonnées du point A de (C) situé sur une génératrice rectiligne quelconque {d). Ces coordonnées sont des fonctions d'un paramètre f , et, pourvu que la courbe ^^G) ne soit pas tracée sur la quadrique (Q), on peut toujours supposer qu'elles soient liées par l'équation
('9) af -H aj -I- «3 -(- rt| = I.
Soient de même 6^, 62: 63, b.^ les coordonnées du point B situé sur la même génératrice rectiligne et conjugué de A par rapport à la quadrique i^Q). On aura nécessaireuient
(10^ ai^i -f- «ièî-i- «363-!- aièi = o,
et l'on peut encore admettre que 6,, 6j, b^, b-, vérifient la condition
Enfin, si l'on suppose que la courbe (G) soit une trajectoire orthogonale cavlevenne des génératrices rectilignes, il faudra joindre, aux trois relations précédentes, la suivante
(12) «1 b\ -H «i b\ -¥- ûTs b'i ■+- «4 64 = — 61 a\ — bi cù — 63 a'^ — b^ a'; = o,
que nous supposerons également vérifiée.
Gela posé, les coordonnées d'un point M de la surface réglée, situe sur la génératrice (c?), seront définies par les formules
X = ai cos tt -t- 61 sin M, Y = «» cos u -I- 6-7 sin u, Z = a, cos M -i- 03 sma, T = «4 cos u -t~ bx sin u,
u désignant la distance AM. Gomme ces coordonnées satisfont à la relation
(i4) X2-+- Y2^Zî^T- = i,
l'élément linéaire de la surface réglée (R) se déterminera (n" 837)
par la formule
et Ion trouvera l'expression suivante
(i5) dS-= du- -h (y co^- H -h -jY icosn <h\u-+-Y-,^'in-ii-)du-,
OÙ l'on a posé
i V = a\- -f- a'.f -h rt'r -t- a'ç ^
(16) ^ V| = a'i h\ -\- ci!.^ h'., -t- «'; /v'; H- rt\ 6',, ,
L'evpression (10) de rélément linéaire est identique, avec un léger changement de notations et à un facteur constant près, à celle qui est fournie par l'équation (i) et que nous avons rencontrée au n" 61)7.
La véritable origine de cette forme particulière de l'élément linéaire est ainsi reconnue : elle convient aux surfaces réglées, dans la Géométrie cajlejenne.
Ce point étant établi, on s'explique aisément pourquoi l'élément linéaire défini par la formule (8) peut être ramené de deux manières différentes à la forme (i). Cela tient à ce que cet élément linéaire convient, dans la Géométrie cajleyenne, à une surface du second degré (0). Comme cette surface est doublement réglée, on peut, de deux manières différentes, la rapporter à un système de coordonnées formé de génératrices rectilignes et de leurs trajectoires orthogonales.
3. Les formules que nous avons établies permettent d'étendre à la Géométrie cajlejenne la proposition fondamentale relative à la déformation des surfaces réglées. Un élément linéaire de la forme (i5) convient à une infinité de surfaces réglées. Car si l'on considère les fonctions V , Vi, Vo comme données, les huit fonctions «,, bi, devront satisfaire seulement aux sept équations (9), (10), (11), (12), (16); une de ces fonctions pourra donc être choisie arbitrairement. Je laisse de côté tout ce qui concerne l'étude de ce sjstème de sept équations différentielles.
Si l'on applique aux surfaces réglées la transformation géométrique ponctuelle qui a été définie et étudiée au n" 84(3, on est mis sur la voie d'une proposition intéressante relative aux surfaces engendrées par des cercles.
