SUR LA GÉOMÉTRIE CAYLEYENNE

En effet, la transformation du n" 840 fait correspondre à toute surface réglée (R» une surface (K) engendrée par des cercles normaux à la sphère fixe ( S\: et. de plus, si l'on désigne l'élément linéaire euclidien de (K) par ds et par dS l'élément linéairo cajieyen de (R) par rapport à i S ), on aura (n° 849)

..;. ./S^= '— — -rA^

R étant le ravon de la sphère (S) et x, y. z désignant les coordonnées du point de la surface (K).

Donc, à toutes les surfaces réglées admettant le même élément linéaire relativement à la sphère (S) choisie comme quadrique fondamentale, correspondent des surfaces engendrées par des cercles normaux à (S) et pour lesquelles le quotient

a la même expression. On peut donc établir, entre toutes ces surfaces engendrées par des cercles orthogonaux à la sphère (S), une correspondance avec similitude des éléments infiniment petits. Nous allons généraliser cette proposition et l'étendre à toutes les surfaces engendrées par un cercle.

i. Les surfaces engendrées par des cercles ont déjà été étudiées d'une manière assez complète ('). Nous établirons tout d'abord quelques propriétés essentielles dos trajectoires orthogonales de tous les cercles.

Rapportons chaque cercle (G) de la surface à un trièdre mobile ( T) ayant pour sommet le centre du cercle O. pour axe des z la perpendiculaire au plan du cercle, pour axes des x et des ^' deux diamètres rectangulaires du cercle. Celte définition du trièdre comporte une certaine indétermination. Ajoutons de plus la condition que la composante r de la rotation autour de O^ soit nulle. Alors les projections du déplacement infiniment petit d'un

(') On pourra lire ea particulier une étude : Sur les surfaces à génératrice crrulaire. insérée, en i8S5. au Tome II (3* série) des Annales de l'École Normale supérieure par M. Dem.^rtres.

point, de coordonnées relatives x^ y, z seront

/ dx -+- (■ H- fj z) de, (i 8 ) ' dy -t- ( r, —pz) dv,

\ dz -)- ( ^ H- p Y — qc ") dv.

\> désignant la variable dont dépend la position du trièdre. Nous allons appliquer ces formules à la surface (1) engendrée par le cercle (G).

Si p désigne le rayon de ce cercle, les coordonnées d'un de ses points auront pour valeurs

(19) ./; = p cosw, V = p s\ïiu, z — ().

En appliquant donc les formules (18), on trouvera sans peine, pour l'élément linéaire de (2), l'expression suivante

( :io) ds- = p- du- ■+- i p (r, cos u — \ sia a ') du dv -+- M c/r-,

M ayant pour valeur

( i>i ; M =^ p'- H- ç- -^- T,- -h ( ^ -4- y? p sin u — q ^ cos u )-

H- 2/?p'(E (^OS« H- r, sillZf ).

Il résulte immédiatement de ces formules que les trajectoires orthogonales des génératrices circulaires seront déterminées par l'équation différentielle

( 22 ) p du -H ( T, COS U — H sin w ) dv =^ o,

qui est bien une équation de Riccati. Ainsi se trouve rétabli le résultat que l'on doit à M. Demartres, et le lecteur reconnaîtra aisément, d'après la signification géométrique de u, qu'il peut s'énoncer sous la forme suivante :

Le rapport anharmonique des points où quatre trajectoires orthogonales quelconques coupent un même cercle est constant.

Cette proposition avait déjà été donnée par MM. É. Picard et Ribaucour (n" 1006), pour le cas des surfaces enveloppes de sphères.

Il en résulte, on le reconnaît aisément, qu'au lieu de définir le

SLR LA GÉOMÉTRIE CAYLEYENNE. 499

cercle (C) par les équations (19), on peut employer les suivantes

a, b, a, 3 étant des fonctions de v assujetties à la condition

(24) (ib = p-.

et t étant une variable qui demeurera constante sur chaque trajectoire orthogonale des génératrices circulaires ; a ei b. comme x et 5, seront des fonctions imaginaires conjuguées.

Avec les formules (^23), l'élément linéaire de la surface (2), défini par la formule

ds- = [dx-i-idy-i-(} -r- iT,)dv] [dx—idy -h (; — f'T,)</i] -!- (^ ->-py — qxydv-

prendra la forme suivante :

On aura

[ d.r -^ idv -f- (^ -!- ir,)di = "^f^~r^^^ [dt ^V (t) dv],

j: } d.r — /■ dy ^ ' ; — /r. I d^ = ^' "^ ^./ [dt -^ Po(0 dv].

P. Pu, Q étant des polynômes du second degré en t, dont les coefficients seront des fonctions de v. Il viendra donc

(26) fA- = , ^l-.f - ,, ; = ' ^ — .5 '-[^^ -^- P(o«?»-] [dt -+- Po(orf^] -f- Q-^/ 1 fi^r- :,

Pour que les courbes de paramètre t soient les trajectoires ^

orthogonales, il faudra que le terme en dvdt disparaisse, c'està-dire que l'on ait

(27) P(/)-f-Po<:n = o.

En égalant à zéro les coefficients des puissances de ^, on aura trois équations auxquelles devront satisfaire les fonctions a, 3, a, b et leurs dérivées. Ces équations contiendront d'ailleurs ;, r,. En les supposant vérifiées, on trouvera pour l'élément linéaire de la

5oO NOTES DE L'AUTEUR. — NOTE IX.

surface l'expression

F(^) désignant le polynôme du cjualrième degré défini par l'équation

qnt)

Les cinq coefficients de F(f) sont des fonctions de v composées avec les translations H, n-, Ç, les rotations/), q^ les fonctions a, b. a, p et leurs dérivées premières. Si l'on se donne ces cinq coefficients a priori, les neuf fonctions précédentes devront, par suite, satisfaire à cinq équations. Il faut leur adjoindre les trois équations résultant de l'identité (27); de sorte que les neuf fonctions H» "^î C? Pi <]i (i, b. a, S devront satisfaire seulement à huit équations, où figureront d'ailleurs les dérivées des quatre dernières. Puisqu'on a huit équations pour neuf fonctions, l'une de ces fonctions pourra être choisie arbitrairement. Ainsi, il existe une injinité de surfaces à génératrices circulaires^ contenant dans leur équation une fonction arbitraire, et pour lesquelles le polynôme F(i) a la même expression. Les éléments linéaires de deux de ces surfaces étant évidemment proportionnels, on pourra établir entre elles une correspondance avec similitude des éléments infiniment petits, C'est là le fait essentiel que nous voulions établir.

Si l'on suppose en particulier que le polynôme F(0 ^^^ '^ous ses coefficients constants, on obtiendra toutes les surfaces pour lesquelles les cercles constituent une famille isotherme (').

5. Pour donner plus de précision à la proposition générale que nous venons d'établir, considérons sur la surface (2) deux trajectoires orthogonales des cercles correspondant aux valeurs ^o, /^

(') Ces s-urfacos ont été détermininées par M. Demartres daus son Mémoire sur les surfaces qui sont divisées en carrés par une suite de cercles et leurs trajectoires orthogonales inséré en 1897 aux Annales de l'Ecole Normale supérieure (t. IV, 3" série, p. i/p).

SUR LA GEOMETRIE CAYLEYENNE. 5oi

de t et construisons, pour chaque cercle (G) de la surface, la sphère (S) qui le coupe à anj;le droit, aux deux points où 11 est rencontré par les trajectoires précédentes. Si R est le ravon de cette sphère variable et si S désigne la puissance d'un point relative à cette sphère, un calcul facile montrera que, pour chaque point du cercle (G) de la surface, on a

Par suite l'élément linéaire donné par la formule (28) peut se mettre sous la forme

(3i) (isi={^yuo—fi)-

de sorte que, pour deux surfaces correspondant au même polvnome F(/ ). le produit

aura la même valeur.

Celle remarque détermine la valeur exacte du rapport de similitude en deux points correspondants.

Si l'on suppose que tous les cercles ^G j soient normaux à une sphère fixe (S), les points où le cercle variable (C) coupe cette sphère décrivent deux trajectoires orthogonales des cercles: et si l'on applique la remarque précédente en choisissant ces deux trajectoires orthogonales particulières, on retrouve la proposition du n" 3 de cette Note, qui nous a servi de point de départ.

Inversement, l'emploi de quelques considérations de Géométrie infinitésimale permet de rattacher le théorème général à la proposition particulière du n" 3.