DEUXIÈME SOLUTION : LES FORMULES DE M. LELIEUVRE

Introduction directe des lignes asymptotiques. — Réduction du problème à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles à invariants égaux; ce qui montre qu'on pourra obtenir une suite illimitée de surfaces dont on connaîtra les lignes asymptotiques et pour lesquelles on saura résoudre le problème de la déformation infiniment petite. — Formules de M. Lelieuvre, — Leur démonstration directe. — Comment on peut en déduire, par une méthode rapide, la solution du problème de la déformation infiniment petite. — Applications de ces formules. — Propriété de la représentation sphérique des lignes asymptotiques qui montre que cette représentation sphérique ne saurait être choisie arbitrairement. — Théorème de M. Kœnigs : les perspectives des lignes asjniptotiques sur un plan quelconque déterminent un réseau plan (nécessairement conjugué comme tous les réseaux plans) à invariants ponctuels égaux. — Interprétation géométrique de l'égalité des invariants pour l'équation linéaire ponctuelle ou tangentielle relative à un réseau conjugué tracé sur une surface quelconque. — Elément linéaire d'une surface rapportée à ses lignes asymptotiques. — Démonstration nouvelle du théorème d'Euneper relatif à la torsion des lignes asymptotiques. — Application aux surfaces à courbure constante. — Quand on sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour une telle surface, on sait le faire aussi pour toutes celles qui en dérivent par la transformation de M. Bianchi. — Formules analogues à celles de M. Lelieuvre quand les variables ont été choisies d'une manière quelconque. — La solution générale du problème de la déformation infiniment petite écrite avec des variables quelconques.

867. La seconde méthode que nous allons exposer, pour résoudre le problème de la déformation infiniment petite, c està-dire pour trouver les fonctions les plus générales, j-,, )■<, ^,, qui vérifient l'équation aux différentielles totales

(i) djc dXi -+■ ciy dvi ■+- dz dz-i = o.

repose sur l'emploi presque immédiat du système de coordonnées formé avec les deux familles de lignes asymptotiques. Conservant les notations habituelles relatives à la surface donnée (S) lieu du point {x,y. z), désignons parp, q, r, s, t les dérivées premières

et secondes de z considérée comme fonction de Xy y et remplaçons dz par sa valeur pdx-\-qdy. L'équation (i) deviendra

dx ( dxi -\- p dzi) -\- dy ( dyi -+- q dz\) ^= o.

On peut donc poser

dxy -+- p dzi = ri dy, dyi -+- q dzy = — t\ dx,

r\ désignant une inconnue auxiliaire. L'équation ( i ) est donc remplacée par le groupe des trois suivantes

!dz ,= p dx -+- q dy, dxi^^ r-idy — p dzx, dy\ = — r\ dx — q dz\.

Pour étudier l'intégration de ce système, nous choisirons comme variables indépendantes les paramètres des lignes asjmptotiques de la surface (S). Comme ces lignes sont définies par l'équation différentielle

dp dx -+- dq dy = o,

on voit que, si l'on désigne leurs paramétres par a et (3, l'équation précédente devra contenir le seul terme en doc d^; et l'on aura, par

suite,

àp dx dq dy dp dx dq dy

On peut donc poser, en introduisant deux inconnues auxiliaires A et ^,

[ àx dq dx dq

) ày dp dy dp

[ dâ ~~~ di' j^ ~~^d^'

Mais, comme on a

^^=Pd^-^9df=^{p~^q%)da-^(p^^^q'^'jd^,

il vient, en écrivant la condition d'intégrabilité,

d ( dx dy\ d ( dx dyX

dP>\PT.^'^T.)-TAPT^-^^d^,)'

et en développant,

àp dx dp dx dq dy dq dy

^^^ d^d^~di%'^à^di~di'h~^'

Remplaçons, dans celte relation, les dérivées de x et de y par leurs valeurs déduites des équations (3); nous trouverons.

Donc, comme on a implicitement écarté l'hypothèse où (S) serait développable. il vient

et les formules (3) peuvent être remplacées par les suivantes

[ dx , dq dx ^ dq

\ d:i da d'î dit

I dy . dp ^ - ^

{ di ~~''di' J^ ~'~''d^'

qui jouent un rôle fondamental dans la théorie des lignes asymptotiques.

Réciproquement^ toutes les fois que les équations (5) seront vérifiées, il en sera de même de la condition d'intégrabilité (4)> l'expression/) c?x -r- q dy sera une différentielle exacte dz; et la surface (S) lieu du point (x, y, z) admettra a et [3 pour paramétres de ses lignes asymptoliques; car, en vertu des équations (5), on aura identiquement

dpdx-^dqdy = -2^Jf'^-^-'^P'^^\d.d:i..

\ox dli dj dvL /

On vérifiera d'ailleurs aisément que, si r, s^ f désignent, comme nous l'avons supposé, les dérivées secondes de z considérée comme fonction de x, y^ on a

s- — rt

car les premières équations (5) peuvent s'écrire

, ^ .dx , dy , ^ dv ^ dx

doi d:L dTi dx

et donnent, par l'élimination du quotient des dérivées 7-5 't-i la relation

868. Ces formules relatives aux lignes asymptotiques étant établies, i-evenons au problème proposé et supposons qu'on ait pris pour variables indépendantes les paramètres a et j3. On aura le système (5), et il restera à intégrer les deux équations

dyi ^—ridx—q dz-i = — (n ^ ^ '7 ■^) ^== — (''' ;>o ^ *? ^ ) <^' dx, = ridy-pdz,= \'''k~i'^y^''-'^\ '■' ii ~^ii) ^^ ■

En écrivant les conditions d'intégrabllité, on obtient les deux X conditions

f dr\ ôx âq dz\ dr^ dx dq dz\

\ "^ 53 "^ Ja" 77s ~ ^ .^a ~ ^73 "Ô^ "" ^'

1 t^/'i 6>>' (^/> <:^^i di\ dy dp dzi

f "^ Jp" "" dâ ^~' "^ 5â "^ Z^p ^ ^ "'

qui sont à la fois nécessaires et suffisantes et qui feront connaître r< et Zi.

Si l'on y remplace les dérivées de x et [de y par leurs valeurs tirées des équations (5), on a

dq 1 dz\ do. \ d{p

, dn \ dq /dzi di\

'' d^j d^\d^^ doL

dp /dzi doL \ d^j

drt \ dp / dzx , dr^

' r>3 ) d'^j \ da ^ '' dy.

OU, plus simplement,

iàzi ^ dri \ da. ' 6>a '

) dzi , dfi

Ainsi, tout se ramène à U intégration générale de ce système., intégration qui fera connaître Zi et /% ; après quoi Xi et y^ se déduiront des formules (2) par de simples quadratures. Telle est la marche générale et très simple de la solution.