Considérons d'une manière générale le système

du

. ai;

ai ~~

au

, dv

où u et i' désignent deux fonctions inconnues et où À est cette fonction de a et (3 qui figuie dans les équations (5) et (8). Ces différentes équations expriment purement et simplement que ce système (A) est vérifié, si l'on y remplace u et t- soit par xel — ^, soit par r et />, soit enfin par 5, et Tj. On voit donc que, dès que Von connaîtra des formes de la fonction À permettant V intégration complète du système (A), il en résultera pour nous la connaissance d'une infinité de surfaces (S) dont on pourra déterminer les lignes asymptotiques et pour lesquelles on saura résoudre le problème de la déformation infiniment petite. Ces surfaces (S) seront déterminées en prenant pour y et p d'une part, pour x et — q d autre part, deux systèmes quelconques de solutions. D'autre part, pour qu'on sache résoudre ce problème pour une surface donnée (S), il faut pouvoir intégrer le système (A) correspondant. Tout se ramène donc en dernière analyse à l'élude et à l'intégration de tels systèmes.

Or nous les avons déjà considérés [II, p. 147] et nous avons déjà signalé les rapports étroits qu'ils présentent avec les équations à invariants égaux. En- conservant la notation adoptée au n° 390. nous savons que l'élimination de u nous conduira à Téqua tion