SUR L'ÉQUATION AUXILIAIRE

1. Dans un Article inséré en mars i883 au tome XCVI des Comptes rendus ( ' ), j'ai introduit une notion qui me parait utile : celle de l équation auxiliaire d'une équation différentielle ordinaire, ou dune équation aux dérivées partielles contenant un nombre quelconque de variables indépendantes. Comme l'équation auxiliaire intervient dans l'étude des deux problèmes de Géométrie qui font l'objet principal de la dernière Partie de cet Ouvrage, je vais en dire quelques mots, sans entrer d'ailleurs dans l'étude détaillée et approfondie de ses diverses applications.

Considérons, pour fixer les idées, une équation quelconque, différentielle ou aux dérivées partielles, définissant une fonction z d'une ou de plusieurs variables indépendantes. Si l'onv remplace -r par z- -^ tz\ que l'on développe suivant les puissances de £ et que l'on égale à zéro le coefficient de s, on aura une équation linéaire et homogène par rapport à z\ que j'appellerai l'équation auxiliaire de l'équation proposée. L'équation auxiliaire définit les solutions infiniment voisines d'une solution donnée; elle a, par conséquent, une signification qui ne dépend en aucune manière du choix des variables indépendantes et qui subsiste après un changement quelconque de variables.

La notion de l'équation auxiliaire se généralise sans difficulté et s'étend à tout système d'équations différentielles ou aux dérivées

( ■ ) Dabboux (G.). Sur les équations aux dérivées partielles { Comptes rendus, t. XCVI. p. 766; 19 mars i883).

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partielles; chaque système de ce geni-e, quel que soit le nombre des équations, des fonctions inconnues ou des variables indépendantes, admet un système auxiliaire qui définit ce que l'on peut appeler toutes les solutions infiniment voisines dune solution donnée. Pour obtenir le système auxiliaire on remplacera chaque fonction inconnue u, par ui-\-eu]. et l'on égalera à zéro la dérivée de chaque équation par rapport à s, en faisant £ = o après la dérivation ( ' ).

2. Lorsqu'on sait intégrer complètement un système d'équations difTérentielles ou aux dérivées partielles, on sait évidemment intégrer le système auxiliaire. 11 suffit, pour cela, de substituer à chacune des équations finies qui constituent l'intégrale sa variation première, obtenue en faisant varier toutes les arbitraires, constantes ou fonctions, qui entrent dans cette équation, et toutes les fonctions inconnues u; dont, conformément ù la notation déjà employée, on remplacera les variations ôm, par u]. Si, par exemple, il s'agit d'une équation difiérentielle du second ordre dont l'intégrale générale est définie par la formule

u =/(.r, c, Cl),

l'équation auxiliaire aura pour intégrale

<IC IJCy

c' et c\ désignant deux constantes nouvelles indépendantes de c et de c<.

S'il s'agit, au conti'aire, d'une équation aux dérivées partielles admettant une intégrale définie par des équations de la forme suivante, où cp(a), '^{'^) désignent les deux fonctions arbitraires.

::= /[a. 3. zU), 9'(a), .... 'bÇ^\ ■h' C^), . . . |. .x=/i[a, ,3. ç(a), 9'(a). . . . , .^( 3), d.'(p). . . .], y^M^. 3, 9(a), 9'(a), ...,6(;i), J;'(3), ...],

(1) On pourrait généraliser cette notion du système auxiliaire en faisant varier dans les équations, non seulement les fonctions inconnues, mais encore certaines arbitraires, constantes ou fonctions. Alais on peut, en introduisant des inconnues nouvelles, i-amener cette méthode plus générale à celle que nous employons dans le texte.

SUR l'Équation auxiliaire. 5i3

on aura à joindre à ces trois équations l^es suivantes :

où oo(a), 4'o(;3) désignent deux nouvelles fonctions arbitraires et entre lesquelles on pourra éliminer les variations a . S' de y. et

de j3 ('). Nous représentons par-p» -^« ••• les dérivées complètes prises par rapport à a el à 6.

3. Comme le svstèrae auxiliaire est linéaire, son étude est relativement facile: et elle peut fournir des conclusions précises relatives au système proposé. Supposons, par exemple, qu'étant donnée une seule équation aux dérivées partielles, l'on demande que cette équation admette une intégrale générale dans laquelle figureront, sans aucun signe d'intégration, des fonctions arbitraires avec leurs dérivées, jusqu'à des ordres déterminés pour chacune des fonctions. 11 devra en être de même pour l'équation auxiliaire en z , quand on a- remplacera z par une solution quelconque de l'équation proposée.

Cette condition, nous l'avons vu pour le cas de deux variables indépendantes, se traduira analytiquement par certaines relations entre les invariants de l'équation auxiliaire. En écrivant ces relations, on obtiendra de nouvelles équations aux dérivées partielles en z, qui devront être vérifiées en même temps que l'équation proposée. La solution de la question proposée pourra être ainsi ramenée à de simples éliminations.

4. Laissant de côté les nombreuses applications que l'on peut faire de ces remarques, j'étudierai plus spécialement les deux problèmes de Géométrie suivants.

Considérons une surface (^"l et cherchons toutes les surfaces

(') On pouna utiliser de même toutes les solutions incomplètes, pourvu qu'elles contiennent des arbitraires, constantes ou fonctions, que l'on pourra faire varier.

5l4 NOTES DE L'AUTEUR. — NOTE XI.

infiniment voisines qui peuvent former avec (2) une famille de Lamé, c'est-à-dire une famille d'un système triple orthogonal. Si p, p4, pa désignent les paramètres des trois familles qui composent un système orthogonal et si l'élément linéaire de l'espace est donné par la formule

H, H|, Ha satisfont à des relations aux dérivées partielles du second ordre que nous avons déjà démontrées au n" 149 ('). Supposons que la surface (2) fasse partie de la famille de paramétre pa- Comme les surfaces de paramètres p et pi la coupent suivant ses lignes de courbure, on peut dire qu'en chacun de ses points, les variables p, p^, les fonctions H et H, pourront être regardées comme connues; et, pour résoudre le problème proposé, il suffira de déterminer en tous les points de (2), la fonction Ha qui, multipliée par la constante ^pa, donne la distance de chaque point de (2) à la surface infiniment voisine cherchée, surface que nous appellerons (2'). Or la fonction Ha satisfait (n°* 149, 1039) à l'équation

d'-B.^ I àW dUt I (^H, d\{.

àpàox H àpi àp II 1 àp âp\

qui, nous l'admettrons ici pour abréger, est à la fois nécessaire et suffisante; de sorte que le problème est ramené à l'intégration complète de cotte équation aux dérivées partielles en Ho.

Cette équation est l'une de celles auxquelles on peut ramener la solution complète du problème suivant :

Trouver toutes les surf aces admettant la même représentation sphérique que la surface (D).

Car, admettant les solutions a?, y, z. elle n'est autre que l'équation ponctuelle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure de (D) et ne diffère pas, par exemple, de l'équation (6) du n" 948 {voir aussi n" 950).

Nous établissons ainsi une relation entre deux problèmes qui, au premier abord, paraissent tout à fait différents : d'une part, la détermination de toutes lés surfaces admettant même représentation

(») Voir aussi n" 1039, 1047 et 1054.

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sphérique que (2) et, d'autre part, la détermination des surfaces (2') infiniment voisines de (2) dans toute la famille de Lamé dont fait partie (2). L explication de ce fait apparaît immédiatement lorsqu'on se rappelle le théorème de Ribaucour démontré au n° 972. D'après cette proposition, les cercles osculateurs aux trajectoires orthogonales des surfaces d'une famille de Lamé, aux points où ces trajectoires rencontrent lune d'elles (ij, forment un système cyclique. Par suite, la surface donnée (2) et la surface cherchée (i'^ peuvent être considérées comme deux trajectoires infiniment voisines des cercles qui font partie dun système cyclique. Et, de là résulte la génération suivante de (2') :

On construira le système cyclique le plus général formé de cercles normaux à (2), et la sur/ace cherchée {!/) sera une de celles que nous avons appris à construire aux n^' 9ol et suii.., et qui sont normales à tous les cercles du système.

Gomme on sait que la recherche de tous les systèmes cycliques précédents se ramène à la détermination de toutes les surfaces admettant même représentation sphérique que (i^. l'explication cherchée est ainsi fournie dune manière complète; et la relation établie entre les deux problèmes confirme un résultat déjà établi par une autre voie (n° 981 ). mais qui. ici, devient évident : c'est que le problème de la représentation sphérique, une fois résolu pour une surface (i), le sera par cela même pour toutes les surfaces inverses de (2).

o. Considérons maintenant un autre problème : la recherche des sur/aces applicables sur une surface donnée (i). Si, conformément aux idées précédentes, nous commençons par rechercher les surfaces applicables sur (2) et infiniment voisines de (i). nous savons que la solution du problème se ramène en définitive à l'intégration d'une équation à invariants égaux

Les surfaces pour lesquelles on sait le résoudre se partagent en diflérentes classes. Pour chacune d'elles, on connaît les expressions des coordonnées rectangulaires x, y. z d'un point de la surface en fonction des paramètres a et ^3 des lignes asymptotiques; les

5l6 NOTES DE l'auteur. — NOTE XI.

expressions contiennent au moins quatre fonctions arbitraires de a et de ,3. Pour les surfaces de la/?''""" classe, l'intégrale générale de l'équation en 9 comprend deux fonctions arbitraires de a et de j3, avec leurs dérivées jusqu'à l'ordre /> — i, et les expressions de a?, r, z contiennent 2/>4-4 fonctions arbitraires (ou 2/> -f- 2 si l'on choisit convenablement les paramètres a et (3). Or il est clair que, si l'on considère toutes les surfaces qui sont applicables sur une surface donnée et sont déterminées par des équations qui ne contiennent que des fonctions arbitraires avec leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé, le problème de la déformation infiniment petite se résoudra par des formules qui seront toujours de même forme et de même nature pour chacune d'elles. Toutes ces surfaces devront donc faire partie de l'une des classes que nous venons de définir; et Von devra pouvoir les obtenir en établissant des relations finies ou différentielles entre les fonctions arbitraires de a et de ^ qui figurent dans les expressions générales des coordonnées x, y, z d'un point de Vune de ces surfaces exprimées au moyen de a et de [3. Telle est la marche que nous allons suivre et formuler analjtiquement.