OD

ôrj.

ÔP

dp

Oi

Obi

àp

Et,

par conséquent, il faudra d'abord que les fonctions 03, 0<, ôO^, ÔÔ2, à^i puissent vérifier identiquement la relation

Obi

àP

dp

d^ doi

d^ dp

dià n d%x ~ d^.O^'-dp

d(ji

qui est débarrassée de tout signe d'intégration. Lorsque cette équation sera vérifiée, la principale difficulté du problème aura disparu; il restera néanmoins à vérifier l'équation primitive (7), qui n'est nullement une conséquence de la précédente, mais dont le premier membre 0 satisfera alors, en vertu de l'identité (8), à l'équation

d7.dp

= ke.

9. Appliquons d'abord cette méthode générale aux surfaces de la première classe, pour lesquelles on a

(10) Oi=:AiVBi, Oo=Ai+B.2, e3=A3-^B3,

Al, A2, A3 étant des fonctions de a etB,, B2, B3 des fonctions de (3.

SUR L'ÉQUATION AUXILIAIRE. SlQ

L'équation à invariants égaux à laquelle satisfont 6,, Ôj, 83 est ici

et Ton a

àoL à

^ =Oj

X = A3 B, — A, B3 -^ r (Ao rfAj — A3 rfAî) — Ti Bo ^B3— Bj rfB.), (12) 'I j = AiB3-A3B,H- y"(A3rfA,-A,a'A3)- /"(Bjc^Bi-Bi^Bs), ^ z = A; Bi — Al B2 ^ y^ rAi c^A; — A, €/A, ) — /*( Bi rfBj— Bj rfB,).

Voyons si ion peut établir entre les fonctions A et les fonctions B des relations telles que toutes les surfaces correspondantes soient applicables les unes sur les autres. Comme il doit rester une fonction arbitraire de a et une fonction arbitraire de 3. il est clair qu'il ne faudra obtenir qu^une relation entre les fonctions A et une entre les fonctions B.

On a ici

et l'équation fondamentale prend la forme

ûAi -t- ôBi

SAi -- oB.

ÔA3-T- ûBs

Comme, par sa nature même, elle se décompose en relations linéaires entre les fonctions de a et entre les fonctions de ,3 : comme, d autre part, A' et B' s'annulent en même temps que les ôA, et les oB,, on peut admettre que A' dépend linéairement de ôA,, ÔA2, ôA.j ; que B' dépend linéairement de ôB,, dBo, 0B3 ; et, par suite, l'équation précédente se décomposera dans les deux suivantes :

3Ai