VI) = '^(V/'X
et celle de f à la suivante
■^(f.)=^(rr);
où '3' i^z) désigne le symbole -
D'après cela, si l'on pose
l'équation
doit admettre les solutions particulières
sfl, p \/a, q \J\ et ri ^X,
que l'on obtient en remplaçant, dans l'équation (9), v par les différentes valeurs qu'il peut recevoir. Les trois premières solutions seront connues dés que l'on connaîtra la surface (S). Désignonsles par 01, 0o, 03, ou, plus exactement, posons
Gomme r, est une fonction inconnue, nous poserons
0) étant la solution générale de l'équation (11). Remontant de proche en proche, les formules (5) nous donneront d'abord
et de même
dx
àx
„ wui , à%t
di "
" doi
et de là on déduira dz par la formule
dz =^ p dx -+■ g dy,
de sorte que, tout calcul fait, on aura les coordonnées x, y, z par les formules
et la surface correspondante (S,) sera définie par les formules
9<) ^1» ^3 étant trois solutions particulières, et oj la solution générale, d'une équation de la forme suivante ( ' )
870. Un jeune géomètre, M. Lelieuvre. a été conduit par ses recherches personnelles aux élégantes formules (B) qui définissent une surface rapportée à ses lignes asjmptoliques (^). V oici comment on peut les démontrer par une méthode simple et directe.
Désignons par c, c', c' les cosinus directeurs de la normale à la surface (S). On aura
et de là on déduit, en différentiant la première équation par rapport à (3, la seconde par rapport à a, et retranchant.
, ,, C^ / àc àx àc dx\
Comme l'équation différentielle des lignes asymplotiques est
^ de dx = o.
on obtient, en é^^alant à zéro les coefficients de dx-, dZ- dans
C) Dans la Note déjà citée de 1870, M. Moutard n'a pas publié sa méthode, mais il annonce que la difficulté du problème se ramène à l'intégration d'une équation de la forme (D).
(') Lelikuvre, Sur les lignes asymplotiques et leur représentation sphérique {Bulletin des Sciences mathématiques, 1888, p. 126).
cette équation, les deux relations
S de dx r\ de dx
Les équations (i3) et (i5) peuvent être remplacées par les suivantes
\ dx , / , dd' „ de \ ^•^' / ' ^'^" '/ ^^'
dy ^ l ,1 ^'^" àc" \ (^y ( Il '^^ ^'^"
^ '^ c>a \ da. da. J d]i \ d{j dp
\ dz , / de' -, de\ dz [ de , de \
d<x \ doc da / dp
I de ,dc \
où ?i et fjL désignent deux fonctions auxiliaires. Si l'on substitue les valeurs ainsi obtenues des dérivées de oc^ y, z dans la condition d'intégrabilité (i4) il vient
Le déterminant n'étant pas nul ('), on doit faire ft = — a. Portant cette valeur de /a. dans les formules (16) et posant
on obtient les formules définitives
Si l'on exprime enfin que dx. dy, dz sont des différentielles
C) Si le déterminant était nul, on aurait
la surface serait développable. Or ce résultat est inconciliable avec l'iiypothèse que les paramètres a et p des lignes asymptotiqucs sont des variables distinctes.
exactes, on est conduit seulement à deux relations
I fPds I à'-b., j à^-Hj 6^ àaâ'i ~~ V. âoi â'^ ~~ 81 àx à";i '
qui nous montrent que 9,, 63, 63 sont des solutions particulières d'une équation de la forme
= kH,
et complètent la démonstration des formules (B).
871. Si l'on prend ces formules comme point de départ, la solution du problème proposé s'obtient d'une manière nette et rapide. Reprenons en effet l'équation à vérifier
d.i- </./ 1 -t- dy dvi -h dz dzi = o,
et remplaçons-ï' dx. dy. dz par leurs valeurs tirées des formules (B). En égalant à zéro les coefficients de dx'^ docdZ, d?>-, nous aurons les trois équations
àa. àoi. àx
àx\ dvi dzi
àa âoi àoi
àjTi âvi àzx
Oî
àx-
Ifj
àXy
àji
àzr
àxi
àVi
àz.,
àp
àa
àa
àa
Les deux premières nous permettent de poser
— - = AOi-i- B— -, c'a àa
àa ' àa
__Ae.^B— ,
= Ae. + B ^,
àz^
A'Ô.^B'^, àj
A, B, A', B' étant des fonctions auxiliaires, et la troisième conduit
à la relation
On peut donc poser, en changeant la notation, B= — B' = — w.
Ecrivons maintenant les conditions d'intégrabilité pour ^i, y,, Zn\ nous aurons, par exemple,
ou, en développant et remplaçant - — -^ par sa valeur déduite de l'équation (19),
k dk' , \. rie, /(^o) .A d^^ ( . rÀo\
Comme l'équation doit subsister quand on y remplace Ô^ par O2 et 03, il faut qu'elle ait lieu identiquement; ce qui donne
, , dtà
dk dk'
— 2 A:co = 0,
ou encore
Remplaçant A, A', B; B' par leurs valeurs dans les formules (20), on retrouve bien les formules (C) de notre première solution.
872. Cette solution écarte, nous l'avons déjà remarqué, le cas où la surface (S) serait développable; mais, comme on sait résoudre le problème de la déformation finie pour toute surface développable, on saura, par cela même, résoudre aussi celui de la déformation infiniment petite.
Pour le plan, par exemple, qu'on peut supposer représenté par l'équation
on aura
Xi = — h y -+- a, Yx =^ hx -\- b^
A, a, b étant des constantes et 5, pourra être choisi arbitrairement. Nous reviendrons plus loin sur ce cas particulier.
873. Revenons aux formules (B), où 9<, Oa? ^z sont liés aux cosinus directeurs c, c', c" de la normale par les relations (17), d'où l'on déduit immédiatement
(22) À = ef-+-e|-i-o^
En substituant c, c', c" à O4, Oj, O3, on peut encore écrire les équations (B) sous la forme
i, , / , de' „dc' \ , . / , àc' .dc'\ ^ , ^ I de , dc\ , ^ l de ■ àc\ ^^
«; = /.{ c -— — c -:- 1 aa — A ( c -1-, c -J7- ) aà. \ ou âx / \ dp dp '
qui, d'ailleurs, se déduit immédiatement des tormules (16) où l'on remplacera \i. par — X. La comparaison des formules précédentes avec celles que nous avons données d'après Gauss au Livre VII, Chapitre III [III, p. 242 et suiv.], permet de faire une étude approfondie de la surface rapportée à ses lignes asymplotiques. Si l'on pose
<-> s(^:r=- s^:i=/^ s(sy=-
on verra aisément que l'on a
^')' m)'-'--" ^n-'-f' s(ir='-'-
et l'on pourra appliquer toutes les formules du Livre VII, Chapitre IIL en y remplaçant u et c par y. et P, puis faisant les substitutions suivantes
A désignant le déterminant
3o LIVRE VMI. — CHAPITRE II.
dont le carré a pour valeur
(25)' ^'^^eg-r-.
Ou trouvera, par exemple, que l'équation différentielle des lignes de courbure prend ici la forme
(26) e dt"- ^= g d^"- ,
et que l'équation aux rayons de courbure principaux devient
Et de là résulte la signification géométrique 6/e X : on a
