X2^RR

R et R' désignant les rayons de courbure principaux.

L'élément linéaire da de la représentation sphérique et celui ds de la surface sont déterminés par les deux formules

ds- = A- ( e d^- -f- g (r/3^ — if d:i. d'^ ),

dont la comparaison met en évidence le théorème d'Enneper [II, p. 399]. Pour chacune des lignes asymptotiques, la torsion

-T- a la même valeur r- égale à t / ôrT'

87i. Attachons-nous plus particulièrement à la représentation sphérique.

Nous établirons d'abord une relation difl'érentielle entre e, /, g qui montre que la représentation sphérique des lignes asymptotiques ne peut être choisie arbitrairement. Ecrivons en effet que 6,, 82, 0;, ou c y/X, c' \J\, c" \J\ sont des solutions particulières de l'équation (D), nous aurons des relations telles que la suivante

ou, en développant,

d- c à\ de à A âc ,- / à- \/ X

, ,, . , c- c- UA UC C/A uc — / t/- V '- » /~ \

DÉFORMATION INFINIMENT PETITE. DEUXIÈME SOLUTION. 'il

Multiplions celte équation par c et ajouton.s-la aux «équations obtenues en y remplaçant c par c', c", nous aurons une relation

qui fera connaître A en fonction de À et dont nous ne ferons pas usage pour le moment. Mais, si l'on multiplie l'équation (3o) soit

par — j soit par -;j et qu'on l'ajoute ensuite aux deux équations

semblables obtenues en remplaçant c par c' et c", il ^'iend^a les

deux relations

àe . d\ d\

d'où l'on tire (33)