CHAPITRE II

Dèform.ation infiniment petite. Deuxième solution : les formules de

.\î. Lelieuvre '9

Introduction directe des lignes asymptotiques. — Réduction du problème à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles à invariants égaux; ce qui montre qu'on pourra obtenir une suite illimitée de surfaces dont on connaîtra les ligues asymptotiques et pour lesquelles on saura résoudre le problème de la déformation infiniment petite. —

Pa.Jfes.

Formules de M. Lelieuvre. — Leur déiuoiistration direc'te. — Comment on peut en déduire, par une méthode rapine, la solution du problème de la déformation infiniment petite. — Applications de ces formules. — Propriété de la représentation spliériqui; des lignes asymptotiques, qui montre que cette représentation sphérique ne saurait être choisie arbitrairement. — Théorème de M. Kœnigs : les perspectives des lignes asymptotiques sur un plan quelconque déterminent un réseau plan (nécessairement conjugué comme tous les réseaux plans) à invariants ponctuels égaux. — Interprétation géométrique de l'égalité des invariants pour l'équation linéaire ponctuelle ou tangeutiellc relative à un réseau conjugué tracé sur une surface quelconque. — Élément linéaire d'une surfac erapportée à ses lignes asymptotiques. — Démonstration nouvelle du théorème d'Enneper relatif à la torsion des lignes asymptotiques. — Application aux surfaces à courbure constante. — Quand on sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour une telle surface, on sait le faire aussi pour toutes celles qui en dérivent par la transformation de M. Bianchi. — Formules analogues à celles de M. Lelieuvre quand les variables ont été choisies d'une manière quelconque. — La solution générale du problème de la déformation infiniment petite écrite avec des varial)les quelconques.

CHAPITRF IIL

Les douze surfaces. Développements géométriques se rattachant aux

précédentes solutions

Étant données deux suifaces (S) et (S,) qui se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires, au réseau des lignes asymptotiques de chacune de ces surfaces correspond, sur l'autre, un réseau conjugué à invariants ponctuels égaux. — On déduit du premier couple deux nouvelles surfaces (S) et (A) qui se correspondent, elles aussi, avec orthogonalité des éléments linéaires. — Définition de (S) : c'est l'enveloppe des plans menés par tous les points de (S) perpendiculairement aux directrices de la déformation. — On sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour (S) lorsqu'on sait résoudre ce problème pour (S). — Les lignes asymptotiques se correspondent sur (S) et sur (S). — Réciproque : tiiéorème de M. Guichard. — Relation géométrique entre les deux nappes de la surface focale d'une congruence rectiligne, dans le cas où les lignes asymptotiques se correspondent sur ces deux nappes. — Propriétés qui rattachent la surface (A) à la surface (S,) : les plans tangents aux points correspondants sont parallèles et le système conjugue commun a ses invariants ponctuels égaux sur les deux surfaces. — Réciproque : théorèmes de MM. Kœnigs et Cosserat. — Les trois réseaux l, II, III formés par les lignes asymptotiques de (S), de (S, ) et de ( A) sont harmoniques deux à deux. — Introduction de huit nouvelles surfaces qui, jointes aux quatre premières, forment un ensemble de douze surfaces que l'on peut grouper deux à deux de telle manière qu'elles se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires, ou bien par

Pages, plans tangents parallèles, ou bien par polaires réciproques relativenient à une sphère concentrique à l'origine, ou enQn comme focales d'une même congruence rectiligne sur lesquelles les lignes asymptotiques se correspondent. — Sur chacune de ces douze surfaces, les trois réseaux I, II. III déjà signalés sont, Tun formé des lignes asymptotiques, l'autre conjugué à invariants ponctuels égaux, le dernier enfin conjugué à invariants tangentiels égaux. — Quand deux surfaces se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires, hsystème conjugué commun a ses invariants tangentiels égaux. — Lorsque, sur une surface, un réseau conjugué a ses invariants ponctuels (ou tangentiels) égaux, le réseau conjugué qui lui est harmonique a ses invariants tangentiels (ou ponctuels; égaux.