dà â^i
Jj dg f^ rr^
c'a ee — f- d^j eg — f-
II faut donc que l'on ait
(34) ,oA / = -\
''•^ \ <^é'—f- ' àx\ eg—J-
et il est évident que celle relation ( ' ) n'est pas vérifiée quand la représentation sphérique a été choisie arbitrairement. Par exemple si y est nul; cest-à-dire si les lignes asymptotiques sont supposées rectangulaires, elle prend la forme
dxâ
-rrr ( log— ) = O,
ài\ ° g/
et montre que le système orthogonal qui sert de représentation sphérique aux lignes asymptotiques doit être isotherme. C'est une propriété connue des surfaces minima [I, p. 3o3].
( ' ) Cette relation différentielle a été donnée pour la première fois par M. Dixi dans un Mémoire qui est intitulé : Sopra alcune formole générait délia teoria délie superficie, e loro applicazioni (Annali di Mateniatica. série II, t. IV, p. i83) et a déjà été cité [III, p. 379].
875. Réciproquement, lorsque la condition (34) est vérifiée, les courbes sphériques de paramètres a et j3 sont la représentation sphérique des lignes asymptotiques d'une série de surfaces, toutes homothéliques à l'une quelconque d'entre elles. Pour le montrer, nous nous appuierons sur la remarque suivante.
Lorsqu'on connaît un élément linéaire de la sphère de rayon i défini par la formule
dn"- ~ e (h- -+- 2/rfa f/S -+- ^'- d?j-,
les coordonnées c, c', c" du point de paramètres a et [3 satisfont toujours à une équation linéaire de la forme suivante
car cette équation contient trois fonctions arbitraires h\ k', l' dont on peut disposer de telle manière qu'elle admette trois solutions quelconques données à l'avance, et, en particulier, c, c', c". Gela posé, je dis qu'on peut toujours exprimer h'. A', l' en fonction de l'élément linéaire, c'est-à-dire de e,/, g et de leurs dérivées. En effet, si nous opérons comme nous l'avons fait plus haut, si
nous multiplions l'équation (35) successivement par Ç, y-, ;« ^t
si nous ajoutons chaque fois les équations semblables obtenues en y remplaçant Ç par c, c', c", il viendra les trois relations
I de
1 àcf.
qui établissent le résultat annoncé.
Or, si la condition (34) est vérifiée, il existera une fonction X vérifiant les équations (33) ou les équations équivalentes (32); par suite, les deux dernières équations (36) nous donneront
de sorte que l'équation aux dérivées partielles (35) aura ses inva-
riants égaux et pourra prendre la forme
(37) î^!llvlJ =/.:vI.
Dés lors, les formules (B') seront intégrables et nous donneront une surface admettant pour ses lignes asjmptotiques la représentation sphérique donnée. Comme ). n'est déterminé qu'à un facteur constant prés, on pourra remplacer cette surface par lune quelconque des surfaces homothétiques.
Il résulte de cette analvse que, dans le cas où Von a pris comme variables les paramètres des lignes asymptotiques, et dans ce cas seulement^ Véquation aux dérivées partielles de la forme (35) à laquelle satisfont les cosinus directeurs de la normale a ses invariants égaux.
M. Kœnigs a donné une forme plus géométrique encore à cet énoncé (' ).
c. c', c", o sont les coordonnées homogènes du point où la normale coupe le plan de l'infini. On peut donc dire que les traces sur le plan de V infini des surfaces réglées engendrées par les normales à la surface en tous les points des différentes lignes asymptotiques forment un réseau plan {nécessairement conjugué comme tous les réseaux plans) à invariants égaux.
Car l'équation ponctuelle [I, p. 122] relative à ce réseau conjugué est précisément l'équation (35). En transformant par polaires réciproques, relativement à une sphère quelconque, et remarquant que les lignes asjmptotiques se conservent dans cette transformation, on voit que :
Les perspectives des lignes asymptotiques sur le plan de V infini forment un réseau à invariants égaux.
876. La définition des lignes asjmptotiques étant projective, la proposition particulière que nous venons d'établir entraîne immédiatement la suivante, comme l'a remarqué M. Kœnigs :
(') G. Kœnigs. Sur les réseaux plans à invariants égaux et les lignes
asymptotiques {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences. t. CXIV. p. 55; 1892).
DARBoi'x. — IV. 3
Les perspectives ou les projections des lignes asvmptotiques sur un plan quelconque forment un réseau à invariants égaux.
Nous allons vérifier cette proposition en démontrant que l'équation aux dérivées partielles (22) [p. 18] à laquelle conduit notre première solution a ses invariants égaux. Cette équation, à laquelle satisfont les coordonnées j?, r d'un point de la surface (S), est bien celle qui caractérise le réseau formé par la projection des lignes asjmptoliques de la surface (S) sur le plan des xy.
Or, si l'on se reporte aux expressions de x et âe y données par les formules (B), on reconnaît immédiatement que l'on a
^ \ëf ^ y ^ jï vol ^/ ~ "'
f) I \ dy\ à / 1 ày\
Par conséquent, x et y seront des solutions particulières de l'équation en 6'
dont les invariants sont égaux; car son développement lui donne la forme
ip fr I r;0:, ,w I ^jQ, cnv
Cette équation n'est autre que celle qu'il s'agissait de former au n" 866; et ainsi se trouve mis en évidence le lien entre notre première et notre seconde solution.
877. La remarque que nous venons de faire nous amène à compléter une proposition géométrique très élégante, signalée par M. Kœnigs et relative aux réseaux plans conjugués dont les invariants sont égaux. Nous allons mettre en évidence une propriété caractéristique des réseaux conjugués tracés sur une surface quelconque, et auxquels correspond une équation linéaire dont les deux invariants sont égaux.
Soit
(39) - — -Ha--+-/> ^o,
ou (iv <)a <)v
l'équation ponctuelle relative à un système conjugué, tracé sur une surface (S), c'est-à-dire l'équation à laquelle satisfont les coordonnées x. y. z d un point quelconque M de cette surface, considérées comme fonctions des variables u et t*. Les tangentes aux courbes de paramètre u engendrent une congruence qui admet (S) pour une des nappes de sa surface focale. Le point Mj de l'autre nappe sera, comme on sait, défini par les formules
I dx I f)y I i)z
Si l'on considère de même la congruence engendrée par les tangentes aux courbes de paramètre v, le second point focal Mo de la tangente en M à la courbe qui passe en ce même point sera, de même, défini par les formules
I f)x I ')\ i àz
^ ^ b au • • h Ou h du
de sorte que l'on peut exprimer a et 6 par des formules telles que les suivantes
I dx , I dx
^ ' Xi — X d\- X. — X du
D'autre part, en différentiant la première équation (4o) et tenant compte de ce que x est solution particulière de l'équation (59), on trouvera
, „, dx\ h dx
du a- d\-
h désignant le premier invariant de l'équation (Sq). On a donc, en éliminant a entre les équations (42) et (43),
dx dx\
d\- du
yx — Xi j-
Comrae il est permis d'écrire des équations analogues en t et :;, on est conduit à l'expression
dx\ dx dv^ dv dz\ dz
, ,, , du dv du di- du d\- (45) /j = — — ;
t X — j^i !--<- ( y — 1] )--i- t - — Cl '-
36 LIVRE Vin. — CHAPITRE II.
qui est moins simple, mais devient indépendante du choix des axes. On peut l'interpréter géométriquement. Mais, pour éviter toute difficulté, quant aux signes, nous raisonnerons de la manière suivante.
878. Lorsque u varie, le point M, décrit une courbe tangente à MiVI< et dont le plan osculateur est, comme on sait, le plan tangent en M à la surface, c'est-à-dire le plan MM, Mo. Soient, pour le point Ml, A, A', A"; B, B', B"; C, G', G" les cosinus directeurs de la tangente à cette courbe, de sa normale principale et de la normale au. plan osculateur. Gette dernière normale étant parallèle à la normale à la surface, nous pourrons prendre, en conservant toutes les notations du Ghapitre III, Livre VII [III, p. 242 et suiv.],
(46) c^-lf^^-^-i
H \ ou (jv av
On aura évidemment
du I
De là on déduira B, B', B" par les formules connues
qui nous donnent, par la substitution,
II V G HvG HvG
Désignons par ds\ l'arc de la courbe décrite par le point Mi. On a, d'après l'équation (43),
( 49 ) ^.vi = — - 1/ G o?M ;
Or-
et, d'autre part, les formules fondamentales relatives aux courbes gauches [I, p. 10] nous donnent
(/A H .;.\ B ds^
dsi pi Ou ij du
DÉFORMATION INFINIMENT PETITE. DEUXIÈME SOLUTION. S'y
0, étant 1<^ rayon de courbure de la courbe. On a donc
ou. en remplaçant A et B par leurs valeurs (i"), (48) et tenant compte de léqualion (Sp),
^G\ au 'h) .,ç^^ç,ôu ôv fl-si \ — = /
Egalant les coefficients de -," dans les deux membres, on trouve
Or, si MM, désigne en grandeur et en signe la dislance MM,, on a
