CHAPITRE Mil

Représentation sphèrique. Solution complète du problème 169

Emploi des coordonnées tangentielles a, ^, H. — Réduction du problème de la représentation sphèrique à l'intégration dune équation aux dérivées partielles du second ordre dont les invariants sont égaux.

— Les caractéristiques de cette équation sont les lignes de courbure de la surface. — Rapprochement entre les deux surfaces qui conduisent à la même équation du second ordre, l'une pour le problème de la déformation infiniment petite, l'autre pour le problème de la représentation sphèrique. — On retrouve la transformation de contact de M. Lie. — -Votions générales sur une classe étendue de transformations de contact. — Application à celle de M. Lie. — Recherche des surfaces pour lesquelles on sait résoudre le problème de la représentation sphèrique. — On démontre que, lorsqu'on sait résoudre ce problème pour une surface ( — ), on peut le résoudre, à l'aide d'une simple quadrature, pour toutes les surfaces inverses des surfaces (£') admettant même représentation sphèrique que (£). — Ce procédé, appliqué aux surfaces qui correspondent à

l'équation = o, fournit toutes les surfaces réelles pour lesquelles

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on peut obtenir la solution complète du problème. — Démonstration

analytique de ce résultat. — Compléments donnés aux développements

du Livre IV, Chap. VII.