CHAPITRE X

Surfaces isothe/ /niques à lignes de courbure planes 217

Rappel des différentes classes de surfaces à lignes de courbure planes déterminées ou étudiées dans le cours de cet Ouvrage. — Indication de cas particuliers dans lesquels ces surfaces sont isotliermiques. — Recherche systématique des surfaces qui satisfont à cette double condition d'avoir leurs lignes de courbure planes, au moins dans un système, et d'être isothermiques. — Mise en équation du problème. — Intégration des équations linéaires auxquelles satisfont les rotations.

— Tout se ramène à la détermination d'une fonction h satisfaisant à deux équations aux dérivées partielles. — Application de la théorie des fonctions doublement périodiques de seconde espèce et des méthodes de M. Hermite à cette intégration. — La solution dépend dés fonctions elliptiques et comporte une fonction arbitraire. — lixplication de ce dernier résultat et construction géométrique de la surface.

— Cas particulier où le module de la fonction elliptique devient nul.

CHAPITRK \I.

Surfaces à lignes de courbure sphériques 2.'>9

Les surfaces à lignes de courbure sphériques dans un système correspondent à des équations aux dérivées partielles à invariants égaux qui sont du premier, du second ou du troisième rang. — Méthode directe de recherche. — Étant donnée une surface à lignes de courbure sphériques (X), il existe une infinité de surfaces (£„) de même définition, dépendant d'une fonction arbitraire et admettant la même représentation sphérique. — Théorème de M. Blutel. — Construction géométrique des surfaces (S„). — Comment on peut, sans aucune intégration, déduire toutes les surfaces à lignes de courbure sphériques des surfaces à lignes de courbure planes. — Propriétés diverses : en appliquant des inversions convenablement choisies à chaque ligne de courbure sphérique de la surface, on peut les placer toutes sur une même développable isotrope. — Définition de la rotation autour d'un cercle; proposition qui rapproche les surfaces à lignes de cour-

TABLE DES HATIERES DE LA QtATBIÈliE PARTIE. 55l

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bure sphériqaes des surfaces à lignes de courbure planes. — Des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou sphériques. — Leur détermination se ramène à la solution de i'équation fonctionnelle '

— Résultat : toutes les surfaces cîierchées dérivent simplement, soit du cône, soit de la surface dont les normales sont tangentes à on cône.