MM, MM

Or on sait que la relation précédente existe entre les ravons de courbure, en >f, et M,, de toute conique qui serait tangente en

38 LIVRE Vin. — CHAPITRE II.

ces points aux droites MM, , MMa, c'est-à-dire aux courbes décrites par les points M, et Mo. Par suite, celle de ces coniques qui aura en M, le rayon de courbure pi aura en Ma le rayon de courbure pj. Comme les plans osculateurs aux deux courbes en M, et en M^ se confondent avec le plan MM, M.,,, on peut énoncer la proposition suivante, généralisation de celle que M. Kœnigs a fait connaître pour les réseaux plans dans la Communication citée plus haut :

Pour que Véqualioii ponctuelle relatwe à un système conjugué tracé sur une sur/ace quelconque ait ses invariants égaux^ il faut et il suffit que, si Von construit les deux dévcloppables circonscrites à la surface suivant les deux courbes du système conjugué qui se croisent en un quelconque de ses points et que Von prenne sur chacune de ces développables les points de contact de trois génératrices consécutives avec Varête de rebroussement, les six points focaux ainsi obtenus appartiennent à une même conique.

En transformant par polaires réciproques, on voit de même que :

Pour que V équation tangentielle relative à un système conjugué ait ses invariants égaux, il faut et il suffit que les trois plans focaux, distincts des plans tangents à la surface, relatifs à trois tangentes consécutives prises sur chacune des deux courbes du système conjugué qui se croisent en un même point quelconque de la surface, soient six plans tangents d'un même, cône du second degré.

879. Pour indi(pier dés à présent au moins une application des formules de M. Lelieuvre, supposons que la surface proposée (S) ait sa courbure constante et égale à — i . 11 faudra faire /. = i , et l'on voit que c, c' , c" satisferont à l'équation

Ainsi, toutes les fois qu'une équation de la forme précédente admettra trois solutions vérifiant la relation

r- -4- c'- -\- (•"- = I, elles fourniront une surface à courbure constante.

D'autre part, les équations ( Sa") nous donnent alors

Oc Ofr

d'où l'on déduit

Ecartons le cas où l'une des ([uantités e, g serait nulle, qui nous conduirait seulement à la sphère et aux surfaces réglées imaginaires applicables sur la sphère. On pourra dès lors, en choisissant convenablement les paramètres, réduire e et ^ à l'unité; de sorte que l'on aura, en posant y= — cosao. les formules suivantes

( 57 ) fh- = fh--k- r/ j- — 2 cos ita doLd'i,

( 58 ) (Is- = K/x'--r- iPA -(- 2 00s 2 w «?a «ra .

qui sont d'accord avec celles du n" 772 [III, p. 376]. Pour obtenir l'équation à laquelle doit satisfaire co, il suffît d'exprimer que la sphère a une courbure totale égale à i . ce qui donne

Comme on a ici. en vertu de l'équation (3i ),

( 60 t /. = — y" = cos 2 W,

l'équation ( 19) en 0 deviendra

(bi) - — — =fJcos2oj.

Telle est l'équatiun qu'il faudra intégrer si l'on veut résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour la surface à courbure constante donnée.

880. Le lecteur se rappelle la longue étude que nous avons consacrée à l'équation aux dérivées partielles (Sq). Nous avons vu [III, p. 432], que, si l'on considère le système