OX

4o LIVRE VIII. — CHAPITRE II.

il permet de déduife de toute solution oj de l'équation (5y) une solution C0| qui contiendra une constante arbitraire et vérifiera encore la même équation (og). Nous allons montrer d'abord (jue, si l'on sait résoudre le problème de la déformation inliniment petite pour la surface à courbure constante correspondante à la solution w, on saura résoudre le même problème pour la surface correspondante à la solution r.», , c'est-à-dire pour celle qui dérive la première par la substitution de M. Bianchi. En d'autres termes ('), si l'on sait résoudre l'équation (6i) correspondante à la fonction ui, on saura résoudre cette même équation où o sei'ait remplacée par 0), .

Remplaçons, en eflet, dans les formules (62), co et w, respectivement par w 4- 0 et oj, -+- 0,; et, développant les deux membres des équations suivant les puissances de 0 et de 0,, bornons-nous à conserver les termes du premier degré en 0 et 0,. \ous serons conduit aux deux équations linéaires

-+- — — = ( ')| ij ) imisi «)| (o ).

(Jt. Ô'x

-p- — = ( 0, -1- ())rus( (-), -4- (.) ).

o 1i il rj ' •

Eliminons 0, entre ces deux équations : en égalant les deux

valeurs de -, — j^ qu'elles peuvent fournir, nous aurons

c'est-à-dire l'équation (61). Si l'on éliminait de même 0, on trouverait

(ly. i) 1j

(') M. C. GuiCHARD est le premier qui ait étudié les équations aux dérivées partielles de la forme (Gi). Fot> le Mémoire intitulé : Sur une classe particulière cVéquations aux dérivées partielles dont les invariants sont égaux {Annales scientifiques de VEcole Normale supérieure^ 3" série, t. VII, p. 19, 1890), ainsi que celui qui a paru au même Recueil et au même tome (p. 233) sous le titre : Recherches sur les surfaces à courbure totale constante et sur certaines surfaces qui s'y rattachent.

DÉFORMATION INFINIMENT PETITE. DEUXIÈME SOLUTION. 4l

c'esl-à-dire l'équation (6 1). où '•> sérail remplacé par (o,. Comme d'ailleurs on peut toujours, lorsque 0 est donné, déduire, par de simples quadratures, la valeur de 0, vérifiant les deux équations (63). on voit que toute solution de l'équation (611 fournira, avec une constante arbitraire, une solution de l'équation (64). On peut donc énoncer la proposition suivante :

Lorsqu'on sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour une surface à courbure constante, on sait le résoudre aussi pour toutes celles qu^on en déri\e par la transformation de M. Bianchi.

Ce résultat était évident par la Ciéométrie. Il nous a paru bon de le mettre en lumière. On comprend ainsi comment le problème de la déformation infiniment petite doit dépendre de l'équation (61 V Car, si l'on considère une surface à courbure constante infiniment voisine de la surface proposée (S), w sera, pour cette >urface, remplacée par une fonction 'jj -f- 0 infiniment peu différente de w. En substituant w -|- 0 à la place de w dans l'équation (59) et se bornant aux termes du premier degré en 0, on retrouve bien l'équation (61 ) ( ' ).

De la remarque que nous venons de faire, on peut déduire immédiatement trois solutions particulières de l'équation linéaire (61). Soit, en effet,

Xous avons vu que, si x^. fio- '^' sont trois constantes, r ?. T

(.> = ç J (i -H /»)a -(- ao;

sera encore une solution de l'équation (op). En développant suivant les puissances de ces constantes, on aura

d'où l'on voit, en se bornant aux termes du premier degré, qu'en

(') La proposition précédente sapplique aussi aux transformations de MM. Lie et Backlund.

prenant pour 0 une des trois fonctions

<Ao

ào)

'" ^yfi

on aura une solution de l'équation (6i ).

881. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant coin ment on peut obtenir des formules analogues à celles de M. Lelieuvre quand les variables indépendantes auront été choisies d'une manière quelconque.

Soient u et v ces variables et conservons toutes les notations du Livre VII, Chapitre III [Ht, p. 242 et suiv.] On peut toujours déterminer les coefficients A, A' tels que l'on ait

().r . , / , àc" ,, de \ » / , àd' ,, de' \

et les formules analogues obtenues en soumettant :r, j", z; c, c' c" à une permutation circulaire. La multiplication de deux déterminants nous conduit d'ailleurs à l'identité

l Cl

àc'

de"

7hi=-

'' -rr

de'

de"

c'est-à-dire, en tenant compte des formules (4) [HI, p- 2 43],

du du

de de'

dv Tv

■h' dv"

DP"— D'^

re-

cela posé, multiplions l'équation (65) par — - et ajoutons-la au

deux équations qu'elle donne par une permutation circulaire. Nous trouverons, en tenant compte de la relation (67),

En calculant de même la valeur de A', on trouvera

Si l'on échange enfin u et r dans la formule (65), on pourra écrire

et les formules analogues en i' et z, A' avant pour valeur