PD
Si l'on suppose que u et v soient les paramétres des lignes asyraptotiques. A, A" deviennent nuls et l'on retrouve les formules (B') données plus haut.
Effectuons dans les formules (65) et (70) la substitution définie par les équations '
( -:> I r \ >. = tJ,. c \ À = 0,, c' V À = O3,
elles se changeront dans les suivantes
oxi Ton aura
Les dérivées de y et de ^ s'obtiendront par des permutations effectuées sur 64, 83, Ô3, de sorte que la surface sera définie par les formules suivantes
(B^) )v=y(e3^-0.^)(B'rf«-.BVA)-(63§-e/§)(B^«-4-B'rf.),
( .= r(e.^--0,^),B'^«^B'^r)-(o,^^-O.^VB^«^B'rfi-^. J \ ou ' au I \ ijv ' fJv J "
Si nous déterminons À en parliculier par la condition
(75) ir-i— I5i5"=i,
qui donne
ou, en substituant les valeurs de A, A', A"
Oi, Oa, O3 seront identiques' aux quantités de même détermination qui figurent dans les formules (B ). Mais, sans fixer dès à présent la valeur de À, exprimons que les deux valeurs de , ",
* * (iiith-
obtenues par la diflerentiation des deux équations (70) sont égales, nous serons conduit à la relation
d'où il suit, en répétant le raisonnement employé au n" 870, que l'on peut trouver une certaine fonction K telle que 0,, O2, O3 soient trois solutions particulières d'une équation de la forme suivante
La fonction K variera suivant la valeur de À que l'on aura choisie. Elle a une expression particulièrement simple lorsqu'on a pris À égal à l'unité, c'est-à-dire lorsque l'équation précédente admet c, c' c" comme solutions particulières. En effet, si, après 1 avoir multipliée par 0, l'on y remplace 0 par c, c', c" successivement, en ajoutant les trois équations ainsi obtenues, on trouvera
ou encore
Les valeurs des trois sommes contenues dans celte relation se déduisent de la formule (Sa) [III, p. 249]. En les substituant ainsi que les valeurs de A. A' \\ on trouve
;> K = -1- , GD - >KD + ED') = " (^ ^- |J ) '
R et R' désignant les rayons de courbure principaux (n° 701).
Remarquons que, dans tous les cas. léqualion '77) est celle que l'on obtiendrait en égalant à zéro la variation de l'intégrale double
et que la surface (Si ) correspondant à (S) avec ortbogonalité des éléments linéaires se trouverait ici définie par la formule
I j-, = / (6, to J. ) (^ B </// -s- B <7i I — ( e, w — i ) r B «5^« -H B </r\
I J \ 'fil '^i' / ' \ <Ji- ov J ~
/ 1 1 = / [h^ (M -r^ \ < h du -^ h ffi \ — ( h. oj — ^ J ( B </« -H B ^r ..
I • J \ ' fin au / \ ' à%- à\- I
J \ ' du au J \ m- dv J
où ùJ serait une solution quelconque de l'équation ( 77 k
Si u et r sont les paramétres des lignes asymplotiques, on a
V, = ir=o.
Si, en outre, À est définie par la condition (76^ on a
Bî = ,,
ce qui permet de prendre
et l'on retrouve les formules (Ci où a et ^ seraient remplacées par u et v.
Le lecteur pourra rapprocher les formules générales qui précédent de celles qui se trouvent dans le Mémoire cité plus haut [p. 8] de M. Weingarten. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant une démonstration de ces formules qui en fera sans doute mieui comprendre la véritable origine.
46 LIVRE Vin. — CHAPITRE II.
882. Désignons toujours par c. c\ c" les cosinus directeurs de la normale, et employons les caractéristiques d et ô pour définir les déplacements suivant deux directions conjuguées quelconques. On aura les deux équations
d'où l'on déduit
(Si)
^ cdx-\- c dy -I- c" dz = o,
( oc dx -t- oc' dy -H oc" dz = o,
/ dx = //(c' oc" — c"oc'), < dy = h(c" oc — c oc"), f dz = /i(c oc' — c'oc),
h étant une quantité finie. D'ailleurs D D'D" ayant la même signification que plus haut, l'équation
D du ou -h ])'(du ov -+- dv ou) -+- D" dv oc = o ( 1 ) du -+- r>' di> ) ou -h {!)' du -+- D" dv ) 5c = o
exprimera que les deux directions définies par les caractéristiques <i et ô sont conjuguées. La relation précédente permet de poser
ou =^ ])' au H- D" dv, oc = — D au — D' di>,
de sorte que les formules (8i ) nous donnent dx = A
V f)c'\ / àr" dc'\
7- - ^■" T^ ) ( D' du + D" dv )-}i( r' ^ - c" ^ 1 ( D du + D' dv ),
lu (lu] \ àv (Jv I '^
dy = h c"
àc" \ c -- (Y)' du -f- W dv) (lu j
dz = //
'^ —(■'~\{I>' du + D" dv ) — /,( c~ — <■' % ) ( D du + D' dv \. (la (lu j ' \ (IV 1- /
()c Tv
(D r/a -+- D' dv),
La formule (a6) [III, p. 248] nous permettra d'ailleurs de déterminer h. On a ici, en vertu du système précédent,
S de dd
de àc' ()<•"
()u au. i)u
()c ()c' de"
àv àv àv
( D du-"- H- 2 D' du dv -4- D" rfc^ ),
ce qui donne, en tenant compte de l'équation (6- >. i , DD — D- , — H-
= Il TV. «>U " =
- H - " H "" - DD-- D i
Il ne reste plus qu'à substituer cette valeur de h dans les tormules (83) pour obtenir l'équivalent des relations (B"), où 0,, Gj, 63 désigneraient c, c', c" .
