CHAPITRE IIJ

LES nOUZES SURFACES. DEVELOPPEMENTS GÉOMÉXaiQUÈS SE RATTACHANT AUX PRIÔCÉDENTES SOLUTIONS.

Étant données deux surfaces (S) et (S,) qui se correspondent avec ortliogonalité des éléments linéaires, au réseau des lignes asymptotiques de chacune de ces surfaces correspond, sur l'autrç, un réseau conjugué à invariants ponctuels égaux. — On déduit du premier couple deux nouvelles surfaces (S) et (A) qui se correspondent, elles aussi, avec ortlioganalité des éléments linéaires. — Définition de (S) : c'est l'enveloppe des plans menés par tous les points de (S) perpendiculairement aux directrices de la déformation. — On sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour (il) lorsqu'on sait résoudre ce problème pour (S). — Les lignes asymptotiques se correspondent sur (S) et sur (il). — Réciproque : théorème de M. Guichard. — Relation géométrique entre les deux nappes de la surface focale d'une congruence rectiligne dans le cas où les lignes asymptotiques se correspondent sur ces deux nappes, — Pz-opriélés qui rattachent la surface (A) à la surface (S,) : les plans tangents, aux points correspondants sont parallèles et le système conjugué commun a ses invariants ponctuels égaux, sur les deux surfaces. — Réciproque : théorèmes de MM. Kœnigs et Cosserat. — Les trois réseaux I, II, III formés par les lignes asymptotiques de (S), de (S,) et de (A) sont harmoniques deux à deux. — Introduction de huit nouvelles surfaces qui, jointes aux quatre premières, forment un ensemble de douze surfaces que l'on peut grouper deux à deux de telle manière qu'elles se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires, ou bien par plans tangents parallèles, ou bien par polaires réciproques relativement à une sphère concentrique à l'origine, ou enfin comme focales d'une même congruence rectiligne sur lesquelles les lignes asymptotiques se correspondent. — Sur chacune de ces douze surfaces, les trois réseaux I, II, III déjà signalés sont, l'un formé des lignes asymptotiques, l'autre conjugué à invariants ponctuels égaux, le dernier enfin conjugué à invariants tangentiels égaux. — Quand deux surfaces se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires, le sjstème conjugué commun a ses invariants tangentiels égaux. — Lorsque, sur une surface, un réseau conjugué a ses invariants ponctuels (ou tangentiels) égaux, le réseau conjugué qui lui est harmonique a ses invariants tangentiels (ou pontuels) égaux.

883. Nous revenons au problème de la déformation infiniment petite pour développer les nombreuses propriétés géométriques que l'on peut rattacher à la solution développée dans le Chapitre

précédent. La surface (S) étanl définie par les formules

OÙ 0,, Oo, 63 sont des solutions d'une même équation aux dérivées partielles

et sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale à la surface (S), nous avons vu que les fonctions les plus générales ar,, y^, z-i vérifiant la relation

( 3 ; (Ijt (Lci ■+- dy dy\ -+- dz dz 1 = «j

sont déterminées par les formules suivantes

où co désigne la solution la plus générale de l'équation (2). Au

n" 806 nous avons déjà établi l'existence d'un svstéme de relations

de la forme

( djc = c dVi — b dz\,

(5) ^ dy =^ a dzy — c dx\, \ dz ^ h dx 1 — a dyi ,

entre les différentielles dx. dy^ dz: dxf, dvi, dzf. On déterminera sans peine les valeurs a, 6, c, qui sont

n.ARBOlX. — IV.

5o LIVRE VIII. — CHAPITRE III.

do sorle que les formules (4) sont équivalentes aux suivantes

l à.r 1 àa \ (Jy. <)y.

fJon (Jet

()z\ ^ àc

()y. àa

il)

1 <).r^ ôa

àz 1 àc

dont nous ferons plus d'une fois usage dans la suite.

Si nous éliminons a entre les deux premières de ces équations, nous aurons

J^ V w2 àoL J^ ào: \oj2 d[i I ~ "'

OU, en développant,

à-x^ I ài>) àxi I ÔM àxi ^^^ à^ ~ M àfj 1m ~ M à^ 'd^ ~^'

Il est clair que Vt et Zi véiûfîent la même équation. Donc, sur la surface (Si), a et [3 sont les paramètres d'un système conjugué et l'équation ponctuelle relative à ce système conjugué a ses invariants égaux. Ainsi :

Quand deux suj^f aces (S) et (Si) se coj'j^espondent avec ort/iogonalité des éléments linéaires^ au réseau des asymptotiques de Vune quelconque de ces surfaces correspond sur Vautre surface un système conjugué^ et V équation ponctuelle relative à ce système conjugué a ses invariants égaux.

884. Réciproquement, supposons que l'on connaisse, sur une surface (S,), un système conjugué dont l'équation ponctuelle ait ses invariants égaux. Cette équation pourra toujours être mise sous la forme (8). Les formules (7) nous fourniront ensuite des fonctions a, b, c par des quadratures telles que la suivante

Puis, les relations (6) nous feront connaître des fonctions 6|, Og, O^j. Ces trois fonctions satisferont, on s'en assure aisément, à l'équation

I fj^e £ ^2!i.

LES DOUZE SURFACES. 5l

et, par suite, en les substituant dans les formules (i). on obtiendra une surface (S) qui correspondra à (S|) avec orthogonalité des éléments. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si Von connaît, sur une sur/ace {S^) un système conjugué dont l'équation ponctuelle ait ses invariants égaux, on pourra déterminer, par de simples quadratures, une surface (S) correspondant à (Si) avec orthogonalité des éléments linéaires et les lignes asymptotiques de (S) correspondront aux deux familles du réseau conjugué tracé sur (S,).

Il faut même remarquer que. comme les fonctions a. b. c sont déterminées par des quadratures, la solution contiendra trois constantes arbitraires, et l'on pourra ajouter aux fonctions 0,, Oo, O3 la fonction oj multipliée par des constantes quelconques. Gela revient, on s'en assure aisément, à composer les formules qui déterminent (S) avec celles qui donnent un plan et qui correspondent, non plus à une déformation infiniment petite de (Si), mais à un déplacement infiniment petit de cette surface (n° 806). On peut donc dire que :

A chaque réseau conjugué à invariants égaux tracé sur une surface correspond une déformation infiniment petite parfaitement déterminée de cette surface.

880. Revenons aux formules (5). En faisant passer tous les termes dans le premier membre et remplaçant les différentielles par les fonctions, on est amené à considérer la surface (i) lieu du point (X, Y, Z) défini par les relations