II

Si l'on différentie ces valeurs de X, Y. Z en tenant compte des relations (5), on trouvera

!dX = z\ rlb — l'i de.

d\ = Xidc — ;, da.

dZ = 1 I da — jfi db.

— azi

CXi,

-bx,

52 LIVRE Vm. — CHAPITRE III.

de sorte que l'on a idenliquement

( i3) dK da -h d\ dh -f- r/Z de — o.

Cette équation, toute pareille à l'équation (3), nous donne une solution nouvelle du problème de la déformation infiniment petite. La surface iJL) lieu du point (X, Y, Z) et la surface (A) lieu du point {a, b, c) se correspondent, elles aussi, avec orthogonalité des éléments linéaires. Nous allons étudier les propriétés géométriques qui rattachent celte nouvelle solution à l'ancienne. Cherchons d'abord à définir la surface (2i).

886. Etant donnée la surface (S), menons par l'un de ses points ( :r, 7', ^) la directrice de la déformation, c'est-à-dire la droite dont les paramètres directeurs sont x^, ri, ^i (n° 832). La perpendiculaire à celte directrice située dans le plan tangent sera évidemment définie par les équations

( ^i(X — .r)-t-ji(Y— j)^- .-i(Z — £;) = o, ( «(X — x)-t- b{\ — r)-t- c{Z — z) — o,

où X, Y, Z désignent pour un instant les coordonnées courantes. Ces équations, évidemment vérifiées quand on y remplace X, Y, Z par leurs valeurs déduites des équations ( i i ), nous montrent donc que celte perpendiculaire va passer par le point de (i) défini par ces équations ( 1 1 )• Nous allons montrer de plus qu'elle est, en ce point, tangente à (If).

En effet, les formules (12) nous donnent l'identité

( 1 5) Xi dX -h n dY -h Z\ dZ = o,

d'où il résulte que la normale à (i) a pour paramètres directeurs X\, y^, z^ et, par suite, qu'elle est parallèle à la directrice de la déformation. Elle est donc perpendiculaire à la droite définie par les équations ( i4)-

D'après cela, si M désigne le point [x, y., z) de (S), P le point correspondant (X, Y, Z) de (D), la droiteMP est tange/ite enM «(S) et enV à (2). Le plan tangent à (i) en P est perpendiculaire à la directrice de la déformation en M; et, si Von considère la déformation infiniment petite de ÇL) définie par

les fondions rt, 6, c, qui figurent dans l équation (i3 ), le plan langent en M à (S) est peroendiculaire à la directrice de la déformation de il) en P. On le voit, la relation entre (S) et {!,) est réciproque.

Les surfaces (S t et ( i > sont donc les focales de la congruence engendrée par la droite MP. On peut ajouter encore une autre propriété essentielle :

Les lignes asvmptotiques se correspondent sur (S) et sur{'L).

Ce point résulte immédiatement des transformations suivantes. Les formules (-) et ( 12), rapprochées les unes des autres, nous donnent des équations telles que la suivante

dTL-

Si donc on

pose

•ri

on trouvera

dx-

et les formules analogues en \ , Z. Ces relations sont toutes pareilles aux formules (^ i 1 et s'en déduisent en remplaçant 6, . Ô.1, 6:, par x\, y\. z. respectivement. Donc a et 5 sont les paramétres des lignes asvmptotiques de (— ), comme ceux des lignes asvmptotiques de (S). On peut d'ailleurs vérifier, bien que ce ne soit pas nécessaire, que x\., y\. z\ sont solutions particulières d'une équation de la forme fa"», qui est ici

(i8) -T— 77- = w — — — 1- fl :

de sorte que l'on passe de (S) à (2'. en échangeant 0|, 62, 63, w

en .r' >', . z',. -• Comme d'ailleurs, d'après le théorème de

M. Moutard, on sait intégrer complètement l'équation précédente lorsqu'on sait intégrer l'équation (2), on voit que Von saura résoudre complètement le problème de la déformation infi-

niment petite pour (i) dès qu'onsaura le résoudre pour (S), et réciproquement.

887. On peut encore indiquer une des propriétés de la correspondance entre les deux surfaces (S) et (i) en disant qu'à tout système conjugué tracé sur Vune des surfaces correspond un système conjugué tracé sur ht seconde. INous avons déjà remarqué (n" 000) que lorsqu'une correspondance />om^/?«r/>omi est établie entre les points M et P de deux surfaces, le rapport anharmonique de quatre tangentes au point M de la première est égal au rapport anharmonique des quatre tangentes correspondantes au point P de la seconde. D'après cela, supposons qu'à deux tangentes conjuguées de la première correspondent toujours deux tangentes conjuguées de la seconde : il sera nécessaire que la correspondance subsiste lorsque ces deux tangentes conjuguées se confondront entre elles, c'est-à-dire se réuniront en une direction asymptotique. Et, réciproquement, si les tangentes asymplotiques se correspondent sur les deux surfaces, à deux tangentes conjuguées de Tune, c'est-à-dire à deux tangentes divisant harmoniquement l'angle formé par les directions asymptotiques de la première surface, correspondront nécessairement deux tangentes de l'autre surface divisant harmoniquement l'angle formé par les tangentes asymptotiques de cette surface, c'est-à-dire encore deux tangentes conjuguées.

Par suite, à tout réseau conjugué sur la première surface correspondra un réseau conjugué sur la seconde.

888. La congruence des droites MP définies par les formules (li) jouit donc d'une propriété sur laquelle nous avons, à deux reprises déjà, appelé l'attention (n°* i83 et 765). Les asymptotiques se correspondent sur les deux nappes (S), (2i) de la surface focale. Réciproquement, nous allons établir avec M. Guichard (') que toute congruence jouissant de cette propriété s'obtient par les méthodes que nous venons de faire connaître.

(■) C. Guichard, Détermination des congruences telles que les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface focale {Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. CX, p. 126; janvier 1890).

Considérons, à cet effet, une toile congruence et prenons pour variables indépendantes les paramètres des lignes asyniptotiques sur les deux nappes de la surface focale, nappes que nous désignerons encore par (S) et par (2); elles seront respectivement définies par des formules telles que les suivantes :

où 0,, O2, 0;. sont solutions particulières d'une équation de la forme suivante

et où 5-|, To, 73 satisfont à une autre équation de forme analogue

On aura d'ailleurs, en désignant par p un facteur de proportionnalité, les relations

tt^J.;— 3,f):; bjî, — 7:;()i 0,7.— 7ib.>

par lesquelles on exprime que la droite de la congruence est tangente aux deux nappes (S), (1).

Différentions par rapporta a l'équation

obtenue en égalant à p le premier rapport. Il viendra, en remplaçant-t-> -j- par leurs valeurs déduites des formules ( 19)61(20),

ax 03. ax ox

Multiplions par 0, et ajoutons l'équation ainsi obtenue à celles

que l'on obtient en etTectuant des permutations circulaires sur les indices i, 2, 3. Nous aurons

A = p A', A et A' désignant, pour abréger, les deux déterminants

Multiplions maintenant l'équation (24) paro-| et opérons de même :

nous aurons, cette fois,

A'=pA.

Il faut donc que l'on ait

à moins que les deux déterminants A, A' ne soient nuls. Mais alors on aurait

ff<X 07. (J7.

Ox à y àz

da. ao. ():>.

en répétant un raisonnement analogue sur la variable (3, il faudrait joindre à ces deux équations les suivantes

. ^X ,, àY ^ f)Z

r/|j Oj (Ij

dx dy <):■

o{j dp ()j

En vertu de ces quatre dernières relations, les deux surfaces (S) et (S) auraient leurs normales constamment parallèles, ce qui est absurde.

On doit donc supposer

et, comme il est permis de changer le signe de tous les a ou de tous les 0, on fera

L'équation (24) deviendra donc

LES DOUZE SURFACES. Sj

H résuhe de là que. si ix désigne une fonctioa auxiliaire, 0,el j, satisfont à l'équation

pour i = i , 2, 3.

En opérant de même pour la variable 3, on verra que les mêmes fonctions satisfont à 1 équation analogue

(26) -T^ ^ -ié ^l^K^i-^''i'■ ^ ai a^

Différentiant l'équation (26) par rapport à 3 et tenant compte des relations (21 ), (22 ), (26), nous trouvons

k e, — /.-, 7, = -xaV 0, — Tj ) -i- a r 0, -+- 7/ » -^ , et, par suite,

(27) A- — au — -y- = o. Al — ;jt;jL -i- — 7; = o.

Cf-i Cri

La dilTérentialion de l'équalion (26) par rapport à a nous conduirait de même aux relations

(28) A - uu'- ^ = u. A, - -i-jL-^ $ = o.

La comparaison des équations ainsi obtenues, (2-) et(28), nous donne

ce qui permet de poser, co étant une fonction auxiliaire,

I àui , I '^oj

SX =

11 vient ensuite

(29) A = --7— p:? kl 10= \o>

f) az Oj

Le reste du calcul s'achève sans difficulté et nous fournil la

solution à laquelle nous avait conduit le problème de la déformation infiniment petite.

889. En étudiant un cas particulier des congruences précédentes, nous avons rencontré (n" 763) une relation entre les courbures des deux nappes de la surface focale que nous allons maintenant généraliser.

Si nous désignons par c, c', c" les cosinus directeurs de la normale à (S), par R et R' les rayons de courbure principaux de cette surface, nous avons vu (n"' 870 et 873) que l'on a

(3o) 61 = c V— l^R', 6 2 = c' V — H H', 0:; = c" V — RK'.

Si Cl, c\, c'[. R,, R', désignent les mêmes grandeurs pour la surface (i), nous aurons de même

(3i) C7, = Cl (, — Hi H', , c7ï = c'i {/— H, R'i, d;; = c'\ { — Hi R'i.

Les formules (23) nous donnent, p devant y être remplacé par i, des relations telles que la suivante

X — .r = V — HR' t/— Kl H', {cc'[ — c\ c"), d'où l'on déduit pour le segment focal MP l'expression Mp' = §(X — xy = V — ^^' V^— Ri R'i sinn-,

V désignant l'angle des plans focaux. Elevant au carré, nous obtenons la relation

(32) MÎP'= RR'RiR'i sin-V,

comprenant comme cas particulier celle que nous avons obtenue au n" 7()3 (').

(') Dans des Notes présentées en 1894 à l'Académie des Sciences, M. A. Demoulin et M. E. Cosserat se sont occupés récemment de cette relation, signalée en premier lieu par Ribaucour dans son Étude des Élassoïdes, démontrée ensuite par M. Bianchi dans le Mémoire inséré au t. XVIII, 2" série, des Annali di Matematica pura et applicata et intitulé : Sopra alciine nuove classi di superficie e di sisterni tripli orthogonali. M. Demoulin l'a démontrée de nouveau par une méthode élégante et M. Cosserat a établi qu'elle constitue une pro-

890. Après avoir étudié la surface i i ) passons à la surface (A), lieu du point (a, 6, c), qui correspond à ( i ) avec orthogonalité des éléments linéaires. Il résulte immédiatement des formules (6) que le rayon vecteur de (A) est parallèle à la normale de (S), et des formules (-'i qii^ elle correspond à (St) arec parallélisme des plans tangents.

Ces formules (7) expriment, en effet, que, sur les deux surfaces (A) et (S|). les tangentes aux courbes de paramètre 5 et aux courbes de paramètre a sont constamment parallèles. De là résulte la propriété annoncée et Ton voit de plus que les deux familles de courbes de paramètres a et 5 sont conjuguées à la fois sur les deux surfaces. Nous retrouvons la correspondance par plans tangents parallèles si souvent employée dans les Livres précédents [11. p. 284 et suiv.]. Ce qu'il importe de mettre en lumière, ce sont les caractères distinctifs du cas spécial que nous rencontrons ici.

Nous pouvons faire d'abord la remarqu*^ suivante : les lignes de paramètres a et (3, qui correspondent sur i A ) aux lignes asvmptotiques de (S), correspondent par cela même aux lignes asvmptotiques de (2) et doivent former par suite, sur (A), un réseau conjugué dont l'équation ponctuelle ail ses invariants égaux ( n"883). Ainsi, sur (^\) et sur (^S, ). les deux systèmes conjugués formés des courbes de paramètres a et ^, courbes dont les tangentes correspondantes sont parallèles, ont leurs imariants ponctuels égaux. Au reste celte proposition se vérifie immédiatement à l'aide des formules ( 7 t; car si l'on élimine successivement a et x, entre les deux équations

àxi i)a

fh. 'h. '

priété caractéristique des coDgruences dont nonsnons occupons ici. M. E. Waelsch la rattacliée. avec d'autres propriétés, à la théorie que nous lui devons des invariants projeclifs pour congruences rectilignes.

Voir A. Demoulix, Sur une propriété métrique commune à trois classes particulières de congruences rectilignes {Comptes rendus de l' Académie des Sciences, t. CXVIII, p. 242).

E. CossBRAT, Sur des congruences rectilignes et sur le problème de liibaucour (même tome, p. 335).

E. Waelsch, 5ar le premier invariant différentiel proj'ecti/ des congruences rectilignes (même tome. p. 736).

6o LIVRE VIII. — CHAPITRE III.

on oblient, dans l'un et l'autre cas, une équation linéaire du second ordre à invariants égaux.

Examinons maintenant les propositions géométriques qui se rattachent à cette notion purement analytique de l'égalité des invariants. Et, pour cela, considérons d'abord les systèmes tels que le suivant ,„,. ()Xi , (ht ')Xi ()a

qui convient à la correspondance la plus générale par plans tangents parallèles entre derux surfaces : (S, ), lieu du point (j?i , ^i , s, ) et (A), lieu du point (a, 6, c). Le système (33) s'en déduira en supposant

Parmi les éléments géométriques qu'il convient d'associer aux surfaces (A) et (S,), nous signalerons en premier lieu le suivant.

Par les différents points de l'une des surfaces, de (S^) par exemple, menons des parallèles aux rayons vecteurs correspondants de (A). Ces droites engendrent une congruence (G). Nous savons déjà (n" i2()) que les développables de celte congruence correspondent aux courbes du système conjugué commun. Au reste, on le vérifie immédiatement comme il suit. Les deux points F, F,, définis par les formules

(35) Y = ,-,-Xè, (36)

[ Z — zi — Àc,

sont évidemment situés sur la droite de la congruence; et ils décrivent, le premier lorsque a varie seul, le second lorsque (3 varie seul, des courbes tangentes à cette droite. Ces deux points F, F, sont donc les points focaux situés sur la droite de la congruence; et les développables de cette congruence correspondent aux courbes de paramètres a et j3. De plus, si IVL désigne le pied (^1, r,, Zj^ ) de la droite sur (Si ), on a, d'après les formules précédentes,

\\ — Xi —

ac/,

Yi=.Vi-

LES DOUZE SURFACES. 6l

Par >uile ?i. comme il arrive dans les formules < 33 ), on a Â^ — 'j., le point >[, sera le milieu du segment FF, et la surface (S| ) sera ce que nous avons appelé (n" 260) la sur/ace moyenne de la congruence ( G ).

On pourrait substituer à la congruence (G) la congruence (G') formée par les droites qui joignent les points correspondants de (\) et de (S| ). Le lecteur démontrera aisément que les points focaux de chaque droite do cette congruence divisent harmoniquement le segment formé par ces points correspondants. Cette proposition comprend même la précédente comme cas particulier: il suffit de supposer que la surface (A) grandisse indéfiniment en demeurant homothélique à elle-même.

891. Revenons à la congruence (G). Si l'on remarque que le rayon vecteur de (A) est parallèle à la normale au point correspondant de (S), on voit que la congruence est susceptible d'une nouvelle définition : elle est engendrée par une parallèle à la normale en un point quelconque de (S), cette parallèle étant menée par le point correspondant de (S,). Les résultats précédents peuvent donc s'énoncer comme il suit :

Si deux sur/aces (S) et (S f) se correspondent avec orthogonalUé des éléments linéaires, la droite menée par un point de l'une {'Si), parallèlement à la normale au point correspondant de Vautre {S), engendre une congruence dont les développahles correspondent aux lignes asympotiques de (S) et dont la surface moyenne est la surface (S, ).

En d'autres termes, la représentation sphérique des développables de la congruence est identique à celle des lignes asympotiques de la surface {S); et. par suite, les plans focaux relatifs à chaque droite de la congruence sont perpendiculaires aux tangentes asymptotiques de la surface (S), construites pour le point de (S), qui correspond à cette droite de la congruence.

C'est la proposition de Ribaucour, déjà démontrée par la Géométrie au n" 801.

892. On voit que les développables de la congruence (G)inter-

ceplent sur la surface moyenne (Si) le réseau formé des courbes de paramètres a et ,3, c'est-à-dire un réseau conjugué. Proposonsnous, avec M. Gosserat ( ' ), de définir toutes les congruences rectilignes jouissant de cette propriété. Cherchons même d'une manière plus générale, avec M. Kœnigs, toutes les congruences dont les développables interceptent sur deux surfaces (S) et (T) des réseaux conjugués et qui sont telles en outre que les points focaux de chaque droite divisent harmoniquement le segment de cette droite compris entre les deux surfaces (S) et (T). Il suffira ensuite de supposer que la surface (T) se réduit au plan de l'infini pour obtenir les congruences plus particulières que nous avons en vue.

Or, nous avons déjà considéré les congruences dont les développables interceptent sur deux surfaces (S) et(T) un réseau conjugué et nous avons vu (n" 422) que, si l'on désigne par a et [3 les paramètres des développables, les coordonnées homogènes x^ y^ z. t et <2, 6, c, h des points M et P où la droite de la congruence coupe (S) et (T) peuvent être choisies de manière à satisfaire à des équations de la forme

àx

àh

âv.

àz

d'JL

âi.

àt

àh

ôa

àh

•+- ti.

àc

àt

fVà

àh

Il est clair ici que les points focaux de la droite MP sont définis par des équations telles que les suivantes

.r-i-Àa = X, x-i-ixa^=Xi,

et correspondent, le premier aux développables de paramètre (3, le second à celles de paramètre a. Par conséquent, le rapport

(') E. Gosserat, Sur les cons^riiences de droites et sur la théorie des surfaces (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, p. ?s. i; iSpS).

anharmoaique des deux poinU focaux et des points M et P sera égal au quotient de /. par ,tjL. Doac, pour que ce rapport soit égal à — I , il faudrait que l'on ait

Dès lors, les équations ponctuelles relatives aux systèmes conjugués tracés sur (S) et sur (T) seront à im^ariants égaux, puisqu'on obtiendrait ces équations en éliminant, soit x, soit a entre les deux suivantes

àx , da àx . àa

La question que nous nous proposions est ainsi complèleraent résolue.

Pour revenir au cas particulier où (T) se réduit au plan de l'infini, il faut faire

alors les deux dernières formules (38) et (Sq) donnent

/ = const.

On peut prendre i = i ; alors les équations (38) et ( 89), où a;, y, z deviennent les coordonnées ordinaires, et où l'on a ,u. = — À, reproduisent le système (7). On obtient donc la proposition suivante due à M. Cosserat ( ' ) :

Les congruences dont les développables découpent sur la surface moyenne {Si ) un réseau conjugué ont même représentation sphérique de leurs développables que les lignes asvmptotiques d'une autre surface (S) qui correspond à la surface moyenne avec orthogonalité des éléments linéaires.

893. Un peut, sans avoir recours à une congruence auxiliaire, indiquer d'autres propriétés caractéristiques du système (33). Désignons par M| et par A deux points correspondants sur les

(■) Pour la généralisation que nous en a>ons donnée, on pourra consulter une Note de M. Kœsigs : Sur les systèmes conjugués à invariants égaux {Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. CXIII, p. 1022; 1891).