CHAPITRE III

surfaces (84 ) et (A). Soient (yfig. 82) M, ^, M| u les tangentes aux courbes de paramétres a et ^5 sur (S, ); A^' A m' les tangentes aux courbes correspondantes de (A), tangentes nécessairement parallèles aux premières. A une direction arbitraire M, /i de la première surface correspondra non plus la direction parallèle AA' de la

seconde, mais la conjuguée harmonique AA' de cette direction par rapport aux deux tangentes Ai', A a'; de sorte que, à deux directions Ml A, M,/., divisant harmoniquement l'angle des tangentes Mi^, M|M, correspondent, mais en sens inverse, deux directions parallèles de la seconde surface.

Analytiquement, cette propriété correspond à la transformation suivante que l'on peut faire subir au système (7). Écrivons-le comme il suit

"TJT^

co-l m —

-7- = - '"^- fn -T-

i)a\ da

àa\

En prenant comme nouvelles variables les paramétres des deux familles de courbes définies par la double équation différentielle

on lui donnera la forme

n cYa = zLz m d'^j,

dont l'iaierprétation géométrique fournit la proposition déjà obtenue.

894. Celle proposition comprend comme cas particulier la suivante :

Les lignes asymptotiques de l'une quelconque des surfaces (A) et (S, ) correspondent à un système conjugué tracé sur Fautre surface.

que l'on peut vérifier comme il suit. Ecrivons l'équation différentielle des lignes asjmptotiques. Si l'on pose, pour abréger,

\àa àa d^a\ ., \da da â*-a\

^ \aj. Oj àz- ]oz Oj ai- \

et si l'on tient compte du système 17), on trouvera que les lignes asvmptoliques de (A") sont définies par l'équation différentielle

( 43 I L dz'- -t- .M (Tj- = o.

et celles de (S| l par la suivante

et de ce résultat analytique découle la proposition annoncée. En effet, sur une surface quelconque où les coordonnées d'un point seraient des fonctions de a et de 3. les équations (43) et (44 • définissent deux réseaux de courbes telles que les tangentes aux courbes du premier divisent harmoniquement Tangle des tangentes aux courbes du second. Nous rencontrerons souvent cette relation dans la suite de ce Chapitre et nous dirons (\\x' alors les réseaux se divisent harmoniquement. Par exemple, un réseau conjugué divise harmoniquement le réseau des asymptotiques et vice versa. Si les équations précédentes sont privées du terme en dy.dS, c'est que les asrmplotiques divisent harmoniquement le réseau conjugué formé des courbes de paramétres a et 3.

D'après cela, considérons les trois réseaux définis par les équations

di ûTî = 0.

L dx^- — M dy- = 0.