III
L dz-- -^ M <52 = 0.
DARBOCV. -
66 LIVRE Vlll. — CHAPITRE III.
Sur chaque surface ces trois réseaux se divisent harmoniquement. Sur la surface (S) le premier est formé des lignes asymptotiques, les deux autres sont conjugués. Sur la surface (S<) le système (II) donne les lignes asymptotiques; (I) et (II) définissent des réseaux conjugués. Enfin, sur la surface (A) les systèmes (I) et (II) sont conjugués, le système (III) est composé des lignes asymptotiques.
895. Pour obtenir des résultats plus complets encore, nous sommes conduit à adjoindre aux quatre surfaces (S), (S^), (i), (A) deux nouvelles surfaces (^i) et (A,) qu'on définira de la manière suivante.
La relation entre (S) et (Si) étant parfaitement réciproque, on peut faire correspondre au système (5) le suivant
/ dxi = Cl dy — èi dz,
( 45 ) < dyi = cil dz — Ci dx,
( dzi = bi dx — (Il dy,
que l'on en déduira par l'échange de X], jKi, ^i, enj;,y, z. D'après cela, si l'on introduit, comme au n" 88o, les nouvelles variables définies par les formules
!Xi= X, — Civ -+- hiz, Yi = yi— cciz-h c,x, 'Li = Zi — bix -h a^y,
Xi, Yf, Tuf seront les coordonnées d'un point Pi décrivant une surface (^i ) dont la relation à (S^) sera la même que celle de (H) à (S). C'est-à-dire que (2|) et (S|) seront les deux surfaces focales de la congruence engendrée par la droite qui joint leurs points correspondants; à tout système conjugué tracé sur (Si) correspondra un système conjugué sur {^^)', et, de plus, les équations (46) nous donneront par la diff'érentation les suivantes
/ dX 1 = z db, — • y dci ,
J f/Yi = X dci — z dtti ,
f c/Zi = y da , — x dbi,
d'où l'on déduit
dXi dcii H- dYi dbi -h d7.i dci = o-
Ainsi la surface (—4) correspond à la surface (Ai) avec orthogonalité des éléments linéaires. Remarquons que, si l'on échange (S) et (S|), il faut, pour conserver les relations géométriques, échanger ( i) et ^i< ), (A) et (A, ).
896. Mais les surfaces (A) et (A,) sont liées par une relation géométrique des plus remarquables. Elles sont polaires réciproques l'une de l'autre par rapport à la sphère de rayon \î — I ayant pour centre V origine des coordonnées.
Si l'on porte, en effet, les valeurs de dx\j dyt, dz^ tirées des
formules (i^) dans les équations (5) en tenant compte de la
relation évidente
a d.f -+- b d\ -^ c dz ^ o, il vient
(49) «rt l -^ 661 -H CCi -f- I = O.
D'autre part, si, dans la relation
«1 djTi-i- bidvi — C\ dzi = o,
on remplace les dérivées de x,, 1 (. -^i par leurs valeurs déduites du système (7), il vient
da . Ob de àa , db de
ai — H- 6, ;5- H- c, — = o. «1 x^ -*- "1 je -*- Cl :j^ = o,
o-x ax ux dp di dp
d'où l'on déduit
(50) ai da -^ bidb -¥- Ci de = o.
Cette relation différentielle, rapprochée de l'équation (49)> achève de démontrer la proposition que nous avons énoncée. Remarquons d'ailleurs que, les deux surfaces (A) et (A,) étant polaires réciproques l'une de l'autre, il y a correspondance entre leurs lignes asymptotiques et leurs réseaux conjugués.
La relation entre les surfaces (A) et (A,) se déduit encore très simplement des remarques suivantes.
En vertu de la relation d'orthogonalité
d.r dxi -f- dy d^i -h dz dzi = o.
il existe une droite (D) dont les coordonnées (n" 139) sont dxi. dvi, dzi. — dx. — dv. — dz
et les formules (5) expriment que cette droite passe par le point (a, 6, c). Cette droite, ayant ses cosinus directeurs proportionnels à dx^, dyn^ dz^, est nécessairement tangente à la surface (A) décrite par le point (a, è, c).
Pour le même motif, la droite (D^) dont les coordonnées sont
dx, d}', dz, — duij — <^>'i, — dzt,
est tangente à la surface (A,) lieu du point (a^, bi, c^). Et, comme les deux droites (D), (Di) sont polaires réciproques par rapport à la sphère de rayon i admettant pour centre l'origine des coordonnées, il doit en être de même des surfaces (A) et (A,).
897. Nous avons déjà six surfaces (S), (Si), (1), (ii), (A), (A,). Mais nous pouvons continuer l'application de notre méthode de déduction et nous allons obtenir six nouvelles surfaces.
La relation différentielle (i3) peut être remplacée par le sys^ tème (12); mais elle peut l'être aussi par le suivant
i da — ^Lzd\ — Ysû^Z,
(5i) db^X^cTL-Z^dyi,
{ dc = Y:,dX — X:,d\,
où X:,, Y:,, Z:{ désignent des fonctions auxiliaires, et qui est nouveau. Opérant comme au n" 885, on introduira les fonctions
i aj= a — Z3Y -h Y3Z,
(52) . 6:,=:^ — Xr,Z-+-ZnX,
qui conduisent à la nouvelle relation
( 53 ) dcis dX-r, ■+- db-i d\i -1- dc-i d'L-i = o,
tout à fait semblable à celles, (i3) et (48), qui ontété déjà déduites de la relation fondamentale (3). Mais ici il se présente une circonstance nouvelle : on peut obtenir algébriquement les valeurs de X:,, Y;j, Z:j, et, par suite, celles de a^, 63, Cu. On déduit, en effet, du système (5i), la relation
( 54 ) Xiida -h Y.-! db -+- Z 3 de — o,
et, si on la compare à l'équation (5o), on voit que X^, Y;,, Z3 sont proportionnels à «<, bi, c^.
Dautre part, de même que la comparaison des systèmes (5) et (45) nous avait montré que (A ), (\^) sont polaires réciproques, de même la comparaison des systèmes tout semblables (i2)et(5i) nous montre que la sur/ace ( i^) lieu du point ( X;. Y;. Z:,) et fa sur/ace i S() sont aussi polaires réciproques. On a donc
(55) X- j-i-H Y.ji-f- Zj^,-t- I = o;
et. comme X3, Y;.., Z3 sont proportionnels à «,, 64, c». on a
,.., X. Yn Zp. I I
ai fil c, r^i./'i-î- 61 Vi-t- ci^i <^,X,— 61 Yi-r- CiZi
Portant ces valeurs dans les formules (52 i. on trouve
' X| Yi Zi r/|.r, -(- 6| j'i -+- Cl ^1 ^ii X] -I- 61 Yi -t- CiZj
On a donc deux nouvelles surfaces, (2.t), déjà définie, et (A3), lieu du point («3, 63, C3), qui se correspondent encore avec orthogonalité des éléments linéaires, en vertu de la formule (53 ).
Les formules analogues
Z n ./• — A > ^ i: z '< \ -(- 6 Y -t- cZ
définiront de même deux nouvelles surfaces (Ao) et (^2)- donnant naissance aux svstémes
rfaj = Zi -rA', — Yj rfZi. ; </«»= Zi ^Aj — Yj rfZ^,
( 60) J «»i = Xi dLy — Z; </Xi, . Gi) ! dbt = X, dL^— Z, ^/X.,
' ^, = Y. </X, — X.> </Y,, ' rfci = Y, d\., — X, fA',,
. rtj = «, — Zi Yi -1- Y; Zi, (62) • 6î = 6, — XîZ,-i- ZjX,,
I Ci = c, — YîXi-t-X.Y,
et à la nouvelle relation
( 63 \ da^ d\t -+- db^ d\ i — dct dL-* — o.
On peut continuer encore et remplacer cette relation par le
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système
d\.,=^ :■:; dbi — yz dct, (6'i) ' <;/Vi= ^:î dCi — z^ dai,
qui conduit à introduire les nouvelles variables
;■ a"i == Xo — 62^3 -(- c-,y>,
(65) {jKi=Yo — CoiTs -(- «i^j,
- Z-i = Z2 — (^ly-i H- ^i^.l!
et donne deux nouvelles surfaces, (Sa), lieu du point { x-^i y-ii ^2), et (S.t), lieu du point (a?;,, r:i, ^u). La différentiation donne encore
/ c/x.. = Co dyz — h-x dz?,,
(66) i dy-i = «o fl';3 — c-i dx-i, ( dz< = 61 «^•^s — '^■i dj'.',,
et, de là, on déduit la nouvelle relation
(67 ) dx-2 dr?, -+- dy-i dy:; -t- dz-i dz,- = o.
Mais ici il faut s'arrêter. Le cycle est fermé. Si l'on calcule, par un procédé analogue à ceux qui ont été employés, les valeurs de
