X.j, J2, ^2, J^:i,7:i, -:;, On a

.Vi r, zi .X y z xxi^yyi-h zzi

de sorte que ces équations ne changent pas si l'on échange les indices 2 et 3, o et i. Par suite, si l'on voulait continuer l'application de notre méthode à la relation (53), on retrouverait les deux surfaces (So) et (S^).

On vérifiera aisément les relations

/ dxz=^ c.-. dy-y — b<, dz-i^

(69) \ dy:>, = a^ dz't — c» dx^,

\ dz^ = b- dx-i — «3 rf/o,

toutes pareilles au système (66).

Ainsi se trouve constitué l'ensemble des douze surfaces

(S), (Si), (2), (A), (2,), (Al), (i:a), (A3), (S2), (A.,), (Sa), (S.), que nous avions annoncé. On peut les grouper comme il suit :

Couples de surfaces qui se correspondent point par point.

1* avecorthogonalité >• par plans ',• comme focales

des tangents 3^ par polaires dune même

éléments linéaires. parallèles. réciproques, congruence rectiligne.

(A), (S); .A.), (S); (Sx), (2=); (S,), (Si);

Ce Tableau conduit à un grand nombre de conséquences. Nous allons le compléter par le suivant.

Les trois réseaux que nous avons désignés par les n"' I, II, III, qui sont harmoniques et qui sont formés respectivement des licnes asvmptotiques de (S), de (Si) et de (A), se retrouvent sur les douze surfaces. Nous avons vu que le système III correspond à un réseau conjugué sur (S) et sur (84). D'après le Tableau précédent, il correspondra encore à un réseau conjugué sur les polaires réciproques ^^— o), ( i, I de ces surfaces aussi bien que sur (i), (ii ) qui leur correspondent comme focales d'une même congruence rectiligne. Considérons en particulier (i). (2-,) ou (S^), (io) q«i se correspondent par plans tangents parallèles. Nous avons vu (n" 890) que les réseaux conjugués communs correspondent à une équation ponctuelle dont les invariants sont égaux. D'après cela, le sTstème III. qui correspond sur (ij). li;) à des réseaux conjugués ayant leurs invariants ponctuels égaux, donnera nécessairement, sur les polaires réciproques, des réseaux conjugués dont l'équation tangentielle aura ses invariants égaux. Ainsi :

Lorsque deux surfaces se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires^ nous avons vu que les lignes asvmptotiques de chacune correspondent sur Vautre à un réseau conjugué dont les invariants ponctuels sont égaux. Nous reconnaissons de plus que le système conjugué commun aux deux sur/aces a ses invariants tangentiels égaux et que les trois réseaux sont en relation harmonique.

D'après cela, les systèmes I, II, III correspondent, sur chacune de nos douze surfaces, au réseau des asymptotiques, à un réseau