CHAPITRE IV
TRASSFOBMATIOMS DIVERSES. lîfVERSiOH COMPOSÉE.
Les six couples de surfaces qui se correspondent avec orthogouaiité des élémentslinéaires. — Théorème et construction de Ribaucoar. — Quand on sait résoadi-e le problème de la déformation infiniment petite pour une surface donnée, on sait résoudre ce même problème pour toutes les surfaces homograpliiques et corrélatives. — Démonstration de ce théorème général pour les homographies qui conservent le plan de l'infini; pour la transformation par polaires réciproques relative au paraboloïde défini par l'équation z = — Ces deax
cas particuliers entraînent le théorème général. — Définition de Yinversion composée : sa propriété fondamentale. — Quand on sait résoudre le problème de la déformation pour une surface (S), on sait aussi le résoudre pour toutes celles qui en dérivent par l'inversion composée. — L'inversion composée rattachée aux notions relatives aux formes quadratiques dont les coefficients sont constants.
898. D'après les résultats que nous avons établis au Chapitre précédent, on voit que, si Ion connaît deux surfaces (S), (S|) qui se correspondent point par point avec orlhogonalité des éléments linéaire», on pourra en déduire, par de simples opérations algébriques, cinq autres couples qui seront formés de surfaces se correspondant l'une à l'autre de la même manière que les deux premières.
Si nous rangeons ces couples dans Tordre suivant
(S),(St);(2), (A);(£3), (A3); (S,), (S,); (A,), (S,); (A,), (SO; (S), (S.),
on reconnaît que chacun d'eux se déduit de celui qui précède toujours par la même opération, celle qui nous a permis, étant donné le couple (S), (S,), d'en déduire le suivant Ci), (A). Il semble, à la vérité, que, la relation entre deux couples consécutifs étant parfaitement réciproque, cette opération, appliquée sans modification à chaque couple, devrait redonner le précédent: mais, comme elle dépend de l'ordre des surfaces qui composent le
couple, il suffit de changer cet ordre pour obtenir le couple qui suit.
On peut interpr(^ter géométriquement les formules que nous avons données et qui permettent de passer de chaque couple au suivant. Mais la construction à laquelle on est ainsi conduit prend un énoncé plus simple, si l'on substitue aux couples de surfaces qui se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires les couples, formés de surfaces applicables, qu'on peut leur associer d'après la méthode du n° 854. Pour cela, portons à partir de -chaque point M de la surface (S) {^fig- 83), et sur la directrice de
Fiij. 83.
la déformation relative à ce point, c'est-à-dire sur la parallèle au rayon vecteur correspondant de (S,), des longueurs Ma, Ma', égales et de sens contraires, proportionnelles au module de la déformation, c'est-à-dire égales au rayon vecteur de (Si) multiplié par la constante A, les deux surfaces (U), (U'), lieux des points a et a' seront applicables l'une sur l'autre. Opérons de même pour la surface (2), au point P qui correspond à M; c'està-dire prenons, sur la droite parallèle au rayon vecteur correspondant de (A), des segment^ égaux P6, P6' dont la longueur commune soit égale à ce rayon vecteur multiplié par la constante A ' : nous obtiendrons un nouveau couple (V), (\') formé des surfaces lieux des points h et 6' qui seront, elles aussi, applicables l'une sur l'autre. D'après les propriétés démontrées au n° 886, le plan perpendiculaire sur le milieu de aa! sera tangent en P à (2) et le plan perpendiculaire sur le milieu de hh' sera tangent en M à (S); la droite MP, tangente commune à (S) et à (i), sera perpendiculaire à la fois à aa! et à hh' . Remarquons d'ailleurs que, si \
désigne l'angle des plans tangents en M et en P aux surfaces (S) et (i), on a, d'après les équations ( 1 1 i du n" 885,
(l) MaPÂ sinV = /i"Mp,
h étant une constante égale au produit de k et de A'.
Nous pouvons, daprés cela, énoncer la proposition suivante :
Lorsqu'on connaît un couple de surfaces {V), (U') applicables lune sur l'autre, on peut en déduire un couple nouveau par la construction suivante : Le plan perpendiculaire sur le milieu M de la droite aa' qui joint les points correspondants a, a des deux surfaces enveloppe une surface (2 ) qu'il touche en un certain point P; et la droite MP, nécessairement tangente en P à la surface (2), est aussi tangente en M à la surface (S) lieu du point M. Si, sur la parallèle menée par le point V à la normale de (S) en M, on porte de part et d'autre deux segments égaux P6, P6' dont la longueur commune soit définie par la relation ( i ), les deux surfaces (V), {\'), lieux des points b et b', sont aussi applicables l'une sur l'autre (').
La relation établie par celte proposition entre les deux couples (U), (U') et (Vj, (V) est parfaitement réciproque, de telle manière que la construction indiquée, appliquée au couple (V), (V), redonnerait le couple primitif. Pour obtenir tous ceux que nous ont fournis les méthodes du Chapitre précédent, il faudra continuer à appliquer la même construction, mais en remplaçant lune des surfaces (V), (V'^ par sa symétrique relative à l'origine des coordonnées.
899. Nous reviendrons plus loin sur les couples de surfaces applicables, qui méritent une étude spéciale. Nous bornant, pour le moment, aux surfaces qui se correspondent avec orthogonalité
(•) Cette élégante proposition se trouve déjà énoncée, bien que d'une manière incomplète, dans la première Communication de Ribaucoar, relative au sujet qai nous occupe : Sur la théorie de l'application des sur/aces les unes sur les autres (Bulletin de la Société Philomathique, i3 novembre 1869); Ribaacour l'a rappelée sans la démontrer, mais en donnant son énoncé tout à fait complet, dans son Etude des Élassoîdes.
76 LIVRE Vin. — CHAPITRE IV.
des éléments linéaires, nous allons éludier les cinq couples que les méthodes du Chapitre précédent font dériver du couple primitif (S), (S,).
Parmi ces cinq couples, l'un d'eux mérite une attention particulière : c'est celui qui est formé des surfaces {^2) et (Ao). En effet, la surface (i.,) ne dépend en aucune manière de (S,)., puisqu'elle est simplement la polaire réciproque de (S) par rapport à la sphère de rayon i qui a l'origine pour centre. Par suite, on déduira de toutes les surfaces (S|) qui correspondent aux différentes déformations infiniment petites de (S) toutes les surfaces (A^) qui définissent de même les déformations infiniment petites de (.Sa). Ainsi
Quand on sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour une surface donnée^ on sait résoudre ce mêm,e problème pour sa polaire réciproque relative à une sphère.
t)()0. Cette proposition n'est qu'un cas particulier de la suivante que nous allons établir dans toute sa généralité :
Quand on sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour une surface donnée., on sait résoudre ce même problème pour toutes les surfaces nouvelles qui en dérivent par Vhomographie ou la corrélation les plus générales.
En effet, commençons par considérer les tranformations homogaphiques qui conservent le plan de l'infini et qui sont définies par des formules telles que les suivantes :
( .'/•'=:= ax -+- h y -h cz -+- h, (2) < y — a\ x -hb^y-+-CiZ-h- Ai,
[ z' = a>x-hbir-hc.,z-¥- h»;
il est clair que, si l'on définit a? j , y\, z\ en fonction de Xi, 1 4, g< par les rela lions
!Xi — ax'i -+■ «ij-"'. H- a^tz'i -+- /., V) = bx\ -+- biy\ ■+- h^z\ -+- X|.
Zi = CX\ -(- C] >-', -+- c, z\ -h /•*,
on aura identiquement
( 4 ) iLt dxi -i- dy d\\ -h dz thi — dx d.r\ — d\ dy\ -r- dz dz\.
Par suite, à toute solution de l'équation (5, dx djTi-i- dy d\x^^ dz dzi=^ o.,
les formules (a) et (3) feront correspondre une solution de l'équation
{6i dx'dx\ -i- dy' dy\ -+- dz dz\ = o.
et vice versa. C'est la démonstration du théorème que nous avons en vue pour le cas spécial où F on soumet la surface (S) à toute transformation homographique qui conserve le plan de linfini.
901 . Considérons maintenant le svstème 1 dz = /> dx -H q dy, (7) dyi = —ridx— q dzx.
' dxi= rid} — pdzi,
déjà donné au n" 867, et qui remplace l'équation à vérifier (5); p et q y désignent, nous l'avons vu, les dérivées de z considérée comme fonction de x et de r. Emplovons la transformation déjà mise en usage au n" 880. et introduisons les nouvelles variables
( z/ = px -t- qy — -.
{S) < «■=— .>i —rix—qzi,
' tp= —r,y-^pzi -!- Xi.
La différentiation nous donnera, en tenant compte des relations (7).
1 du = ./■ (/p -i- r dq.
(9) • di — — X dry— Zidq,
I rfu=: — \- dri-^ z-idp.
et de là on déduit
( 10) du dr^ -H dv dp -><- dw dq = o.
C'est dire que la surface lieu du point (p, q^ u) et la surface lieu du point (f, tv, r,) se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires.
Or, p, </, u sont les coordonnées du pôle du plan tangent à la surface (S) relativement au paraboloïde défini par l'équalion
(II) z = -^ .
Donc, quand on sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour une surface (S), on sait aussi résoudre le même problème pour la polaire réciproque de (S) relativement au paraboloïde défini par F équation ( 1 1 ).
Ce cas particulier, ajouté à celui que nous avons déjà étudié dans le numéro précédent, nous suffit pour établir le théorème général que nous avons en vue; car il est aisé de reconnaître que toute transformation homographique et toute transformation corrélative s'obtiennent par l'emploi répété des deux transformations particulières que nous avons considérées.
Ainsi, à toute solution du problème des éléments rectangulaires ou de la déformation infiniment petite obtenue pour une surface (S), on peut faire correspondre^ par voie algébrique., une solution pour les surfaces qui dérivent de (S) à l'aide de la transformation homographique ou corrélative la plus générale.
Il est intéressant de voir ainsi s'introduire les propriétés projectives dans le problème de la déformation infiniment petite, alors que le problème de la déformation finie paraît dépendre avant tout des relations métriques.
902. Au reste si, pour arriver à la transformation homographique la plus générale, on ne veut pas employer l'intermédiaire d'une transformation par polaires réciproques, on pourra joindre à l'homographie que nous avons étudiée en premier lieu celle qui est définie par les formules suivantes :
On verra facilement que, si l'on pose
(,3) < = :^, y\=yi, ^,^^xx,^yy,-^zz.
on aura la relation
{ i4) dx' dx\ -H dy' dy\ -t- dz' dz\ = — j {dx dx\ H- dy dy\ -f- dzdz\ ),
qui établit encore, pour ce cas spécial, la proposition que nous avons en vue. La transformation définie par les formules (12) et (i3) est un cas limite de celle que nous allons étudier, ainsi que nous le montrerons au n" 908. Mais c'est un résultat bien connu qu'en combinant les homographies définies par les deux systèmes (12) et (2) on arrivera à l'homographie la plus générale.
903. Si l'on étudie attentivement le second Tableau donné plus haut [p. ja], on y verra que toujours une surface déterminée y est accompagnée d'une même surface. Ainsi, dans chacune des places où se trouve (S), on rencontre (So); de sorte que les trois réseaux de courbes désignés respectivement par les chiffres romains 1, II et III jouent le même rôle sur (S) et sur(S2). Par exemple, comme les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux surfaces, on voit qu'à tout réseau conjugué tracé sur (S) correspond un réseau conjugué tracé sur (S2). La relation est de même nature entre (Si) et (S3). Etudions la transformation par laquelle on déduit directement (S.j), (S3) de (S") et de (S,).
Elle est définie par les formules
/l V, Cl ./■ )- ; XXi-,- Wi— ZZi
elle est donc purement ponctuelle: cest-à-dire qu'elle fait correspondre aux deux points M{x, r, z), M|(x,,^',, 5,) de (S) et de (S,) deux points M^{xn, jks, ^2), M;,(a:3, y^, z^,) de (So) et de (S3) dont les coordonnées dépendent seulement de celles de M et de M4. Mais elle offre un autre caractère sur lequel il importe dinsister : les coordonnées de Mo dépendent, à la fois, de celles de M et de celles de M, ; de sorte que la transfoimation s'applique, non à des points isolés, mais à des couples de points. On peut bien faire correspondre Mo à M et M;, à M,, mais Mo variera si M, varie, alors même que M resterait fixe.
Comme la transformation se réduit à l'inversion ordinaire, quand les deux points M et M, coïncident, nous lui donnerons le
8o LIVRE VIII. — CHAPITRE IV.
nom à^inversion composée. Pour l'étudier, nous écrirons les formules précédentes sous la forme un peu plus générale
(ifi)
xi ti ^1 x y z xx^^yyx
qui fait correspondre aux points M, M| des points [x\ y', z'), (;r', , r'j, z\ ). désignés maintenant par M', M',. Des formules précédentes on déduit la suivante
(17) X .r, -4- r ri-H .- .
xxi-\-jyi-i-zzi
d'où il résulte immédiatement que la transformation est involutive. Si au couple M, M^ correspond le couple M', M',, réciproquement à M', Mj correspondront M, Mi.
C'est ce qui résulte aussi de la construction géométrique suivante des points M', M', , Soit O l'origine des coordonnées que nous appellerons aussi, par analogie, le pôle de l'ùiçersion, P la projection de M, sur OM, P^ la projection de M sur 0M^ . Le point M' sera sur le i^ayon 0M| à une dislance du point O définie par la relation
(18) 0M'.0Pi=X:2
et, de même, le point M', sera sur OM à une distance définie par la relation
(19) OM'i OP = A"2.
En d'autres termes, M' sera le pôle, par rapport à la sphère de rayon k, du plan mené par le point M perpendiculairement au rayon vecteur OMi et de même M', sera le pôle du plan mené par Mj, perpendiculairement au rayon vecteur OM.
\oici maintenant quelle est la propriété fondamentale de la transformation. Associons au couple M, Mi un second couple N, Ni auquel correspondront les deux points IS', N'^ ; on aura la relation géométrique
(.0) M^M^cos(M-N-, m; nQ = >^^ÏNm^cos(MN^^^ ,
OMONOMiONiCosMOMiCOsNOP^i
Si Ton désigne, en effet, par H, 'n, Ç; l\, tQi, Ci; E', vj'. Ç';
TRANSFORMATIONS DIVERSES. 8l
£'j, rj', , Ç', les coordonnées des points N. N<, N', N', . celte relation géométrique se traduit par l'égalité
^ ,>:')(x'.-rt)-Ha''-n')0"i-v,)+(~-- :')(-',-;',)
(21) . ^f,. (JT ~''z)(xi—h)-^(y — r^Xyt— T,i) -i- (z — ":')( zi — l.j)
dont la vérification se fait presque immédiatement. Il suit de là que, si les deux segments MMi. NN^ sont tels que MN soit perpendiculaire à M,N|, il en sera de même pour les segments transformés.
Si l'on suppose que le segment NN< soit infiniment voisin de
MM 1 , en posant 1= x -^ dx. ...,;, = x, — dxi 1 égalité
précédente nous donnera
i d.r fl.i\ ^ dy' dy\ -i- dz dz\
i := « dx dxi ■+- dy d\\ -4- dz dz\ 1.
r \^.r.^i-i- rj ,-t- zzy)- - ' '
et l'on reconnaît ainsi que l'inversion composée conserve toute correspondance entre deux surfaces qui a lieu avec orlhogonalilé des éléments linéaires infiniment petits.
904. Les résultats que nous avons établis relativement aux douze surfaces nous révèlent encore une propriété remarquable de l'inversion composée. D'après la troisième colonne du Tableau de la page 7 1 on voit que la surface i So ) est la polaire réciproque de la surface (-). Or nous avons établi (n° 886) que Ton saura résoudre par des quadratures le problème delà déformation infiniment petite pour (2) dès qu'on saura résoudre ce problème pour (S); (Sa) étant la polaire réciproque de (2), on peut donc énoncer la proposition suivante :
Dès quon sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour une surface (S), on sait aussi le résoudre par de simples quadratures pour la surface (So) qui en dérive si on applique l'inversion composée au couple formé de {^) et de toute surface (Si ) qui lui correspond aiec orthogonalité des éléments linéaires infiniment petits.
905. Revenant à 1 ensemble de nos douze surfaces, nous vojons
DARBOIX.
cju'il résulte des propositions précédentes que l'on saura résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour les quatre surfaces (S), (-), (S2), (^j), dont les lignes asjmptotiques sont formées par le réseau I, dès qu'on saura le résoudre pour l'une d'elles. La première de ces surfaces est définie par les formules (i), [p. 49]? où 0,, O.j, 0;i sont trois solutions particulières de l'équation (2)[p. 49]- Pour obtenir la seconde (i), il faudrait, nous l'avons vu au n" 886, remplacer Oi, Oo, O3 respectivement par— > — î —i et l'équation à invariants égaux correspondant à
celte surface admettrait la solution -• Un calcul facile montrera
de même que, pour obtenir la polaire réciproque (—2) de (S), il faudrait remplacer 0,, Oo, O.i par
et l'équation correspondante admettra la solution
xxy-^yys^ zz.^
'dlX H- 62 K
Enfin, pour la surface (Sa), les nouvelles valeurs de Oi, Gj, (i;,
seraient
X^ w „ „ Y oj „ „ Z oj
XX i
fj" =
yy-,^zz^ - XX, -^yy^-^
et l'équation correspondante admettrait la solution
Oi.r-(- fi., r -4-6:. s
OJ, — —
yyi ■
Ces résultats sont résumés dans le Tableau suivant
fO
xx.^yy^-^ zz^
fi,x
^b,y^h,z Xw
Yo)
b,x^b,y^b^z Zti)
fi,x^%y^^^z 9, a; -1- 0„jK-+- Qj^
