XX
-^yy.^zz,
^■r.^yy.^zz,
.r^,--XK,^--2,
Les quatre équations à invariants égaux qui correspondent aux quatre surfaces peuvent être intégrées dfs que 1 on a intégré l'une d'elles. C'est ce qui résulte de l'Analyse précédente et ce que l'on pourrait déduire aussi du théorème de M. Moutard. Mais, tandis que toute déformation intinimenl petite de (S) donne sans aucune quadrature, comme nous lavons vu, une déformation infiniment petite de la polaire réciproque (io^ il faudra, au contraire, effectuer des quadratures pour trouver une déformation infiniment petite de lune ou l'autre des deux surfaces (i), (So). polaires réciproques l'une de l'autre.
906. A la transformation homographique, à la transformation par polaires réciproques, à 1 inversion composée on peut joindre encore une dernière transformation, celle qui est définie en prenant pour X. y. Zy X| , Vi , -i des fonctions linéaires à coefficients constants de nouvelles variables x', y', z' , x\, y\. z\, assujetties à la condition de reproduire, à un facteur constant près, la forme
quadratique
d-x dxi -+■ dy dyy -i- dz dzi,
c'est-à-dire à donner
dx dxi -+- dy dY\ ■+■ dz dzx = h {dx dx\ -h dy' dy^^ H- dz dz\ ).
Le lecteur, familiarisé avec cette théorie, reconnaîtra sans peine que pour obtenir, de la manière la plus générale, de telles transformations, il suffira de soumettre 9,, 9o, O3, w à la transformation linéaire et homogène la plus générale, c'est-à-dire de poser
/ f)', = hi()i= A, 62 -H /iCis-
niibi, , . --.-. --.-. ...... m,u>,
l 6', = ^36,= A-3 61 -+- h, 63 -H mr, w, to' = /jiOi = Ai 6. -+- /iOs-H mio),
A,, Ar,, /,, nii désignant des constantes quelconques. La surface (S') qui correspond ainsi à (S) aura sa déformation infiniment petite dépendante de la même équation aux dérivées partielles que la surface (S). Cette transformation générale, dont nous ne dirons qu'un mot, comprend évidemment, comme cas particulier, celle que nous avons considérée au n° 900. Remarquons d'ailleurs
=^ X Xxi
= 7 — JlJ
— Z — Si.
qu'elle correspond purement et simplement, d'après les équations (6) du n" 883, à une transformation hdmographique aussi générale que possible de la surface (A).
907. Nous n'insisterons pas davantage sur toutes ces transformations; il nous paraît bon cependant de montrer quelle est la véritable origine de l'inversion composée, et comment elle peut être rattachée à quelques notions très familières aux géomètres, relatives aux formes quadriques dont les coefficients sont constants.
Etant données deux surfaces (S), (Si), lieux des points ^^(^5^5-)) M^Oa?,,, ji, ^,), posons
I\ ^= X -'r- Xx, 'n = 7-+-Jl> (29)
On aura identiquement
(3o) li{dxdxy-^ dy dy\-\- dz dz^) = d';--h dr^'--h dZ'-~ dW — dx([ — dt\ ;
de sorte que, si les surfaces (S), (Si) se correspondent point par point avec l'orthogonalité des éléments linéaires, les deux surfaces (U), (U/), lieux des points a(ç,vî, Oj a'(^i,Tf]i, Ci ) sont applicables Tune sur l'autre. Cela posé, considérons la forme quadratique
(3i) F = di:-^drr-^dX:^—d\\—dr,\ — d-Ç\,
qui peut être mise sous la forme de six carrés :
(32) F = dir-^d-r:-^dx:--^{di\,)'^^{di-r^CT-+{dr^xT-.
Si l'on considère, dans l'espace à six dimensions, le point [x dont les coordonnées rectangulaires sont
;, T), s, i|i; it\\, iZi,
il sera représenté dans l'espace ordinaire, soit par le couple des points M, Mh, soit par celui des points a. a'. Or la forme F se reproduit lorsqu'on etrectue, dans l'espace à six dimensions, un déplacement quelconque, c'est-à-dire lorsqu'on soumet P, yj, t, ili, ir]i, i^i à une substitution linéaire orthogonale quelconque. Elle se reproduit même à un facteur constant près si l'on combine
ce déplacenieat avec une transformation honiothétique arbitraire. Gela donne, dans l'espace à trois dimensions, la Iranstormation du numéro précédent, et l'on voit que la forme F ne cessera pas d'être nulle, après cette transformation, si elle l'était auparavant. Ainsi se trouvent établis les résultats des n"' 900 et 906.
Mais la forme F se reproduit aussi, à un facteur prés, lorsqu'on soumet les mêmes variables ;, r,, ... à une inversion; c'est-à-dire lorsqu'on effectue une substitution de la forme
^1 ;i v~-fr-V—^\ —
Si donc elle était déjà nulle, elle ne cessera pas de l'être. Par suite, la transformation définie par les formules précédentes transforme un couple de surfaces applicables en un autre couple de même nature.
Si l'on prend partout le signe — et si l'on introduit les variables X. y. z. Xi. »,. Zi, les formules précédentes deviennent
o,^ li- = -L — il = "il = il =z " ' = —
./•, ), Zi .r y z ./•./, — Il , -1- r^i
Ce sont celles que nous avons données au n" 903 et qui conservent la propriété de deux surfaces de se correspondre avec orthogonalité des éléments linéaires.
908. En terminant ce Chapitre, nous montrerons que les formules précédentes comprennent, comme cas-limite, celles qui ont été données au u" 902.
Remarquons d'abord que, dans la forme
(Ix dxi ■+- dv rfi 1 ->>- dz dz\.
on peut toujours remplacer x, par ax^ et x par^ — '■ — , a désignant une constante. Si l'on remplace en outre x' par x — a et k- par — a, les formules se présentent sous la forme suivante
(uci ^^ Zi X -*- a r ; ./'i i .r ^ « ) -i- i » i
Faisant croître a indéfiniment, on trouvera
.] ^ ' ^ -Ij. ^ 11 ^ ,.■ ^ !
86 LIVRE VIll. — CHAPITRE IV. — TRANSFORMATIONS DIVERSES.
puis
a-Xi \ .r.ri -+- >7-, -4- ::ci jc = iim| a r ' —
,j:i{x -h a) -h vj'i -+■ --i
Oa a ainsi
xxi-hyy^-h zzi , I
Xi "^ Xi
Aux notations près, c'est le résultat signalé au n" 902.
