CHAPITRE V

APPLICATIOAS DIVERSES.

Étude du cas particulier où la surface (S,), qui correspond à (S) avec orthogonaiité des éléments linéaires, se réduit à un plan. — Ce que deviennent alors les douze surfaces. — Application à la question suivante : déterminer toutes les congruences rectilignes pour lesquelles la surface moyenne est un plan. — On détermine, parmi ces congruences rectilignes, celles qui sont formées des normales à une surface. — Étude du problème plus étendu : déterminer toutes les surfaces pour lesquelles les développables formées par les normales découpent, sur la développée moyenne, un réseau conjugué. — La solution de ce problème se ramène à la détermination de la déformation infiniment petite des surfaces minima. — Cette détermination se ramène d'ailleurs à l'intégration d'une équation linéaire harmonique. — C'est de la même équation aux dérivées partielles que dépend la détermination des surfaces aj'ant même représentation sphérique de leurs lignes de courbure que la surface minima adjointe à la proposée. — Comment on retrouve les surfaces minima dans l'étude de la déformation infiniment petite de la sphère. — Développement des calculs. — Déformation infiniment petite d'une surface à courbure constante négative. — L'une des douze suifaces devient alors une de ces surfaces, considéi-ées en premier lieu par M. Voss. et sur lesquelles il y a un réseau conjugué exclusivement composé de lignes géodésiques. — Étude des développantes de ces surfaces. — Elles constituent l'une des nappes dune congruence rectiligne pour laquelle les développables correspondent aux lignes de courbure sur les deux nappes de la surface focale. — Démonstration géométrique des théorèmes de M. Guichard, relatifs à ces surfaces. — Le Chapitre se termine par la démonstration d'un lemme dont il a été fait usage dans la démonstration précédente, et qui est susceptible de nombreuses applications k la théorie des congruences rectilignes.

909. Nous avons déjà signalé plus haut une solution évidente du problème des éléments rectangulaires : c'est celle où, la surface (S) étant quelconque^ la surface (S,) est un plan. 11 est intéressant de rechercher ce que deviennent, dans ce cas spécial, les douze surfaces définies au Chapitre précédent. On a alors

•l'i = a„-r- Cl y — ùi.

' z-i = c,,-*- bix — aiy:

88 LIVRE Vm. — CHAPITRE V.

ao, ^0 5 '^oj ^^1 ^it ^1 désignant six constantes quelconques. D'après nos tableaux et nos formules, on reconnaît sans peine que les quatre surfaces (Si), (A), (S^), (Ao) se réduisent à des plans, tandis que leurs polaires réciproques, les surfaces (i»), (A,), (^.t), (A3) se réduisent à des points. Il reste donc à examiner seulement les trois surfaces (2), (S2), {^2) (\\ù, avec (S), complètent le système cherché. Or, la surface (i) est, en général, l'enveloppe du plan défini par l'équation

(2) ;ri(X — .r)-t-;>.-i( Y— >-)-+- :;j(Z — .;) = o,

qui devient ici

a„(X — x) -t- b„{\ — .)') -+- Cn(Z — ::)

-hUiizY — yZ)-^ bi (.r Z — ; X) -t- c, (y X — x Y) = o.

Le lecteur reconnaît l'équation du plan formé par toutes les droites qui appartiennent à un complexe linéaire, et passent par le point (x. r, z). La surface (2) est donc la polaire réciproque de (S) par rapport au complexe linéaire défini par les six constantes «05 ^0, Co, — «t, — bi, — Ci. C'est un résultat qu'il était aisé de prévoir. Nous savons, en effet, que, dans le cas qui nous occupe, il ne s'agit pas (n" 856) d'une véritable déformation de la surface (S), mais d'un simple déplacement d'ensemble de cette surface. Pour chacun de ses points, la directrice de la déformation devient la direction de la vitesse du point, dans ce déplacement; et le plan perpendiculaire à celte directrice, plan qui enveloppe la surface (2), n'est autre que le plan du complexe linéaire engendré par toutes les droites qui, dans le déplacement considéré, sont normales à la vitesse d'un de leurs points. Ainsi se trouve confirmée la relation établie par le calcul entre (S) et (2).

Quant aux surfaces (Sa) et (^2)? elles sont, d'après le Tableau de la page 71, les polaires réciproques de (1) et de (S) par rapport à la sphère de rayon i ayant l'origine pour centre. Cela suffit à les définir et à montrer qu'elles sont, entre elles, dans la même relation dualistique que (S) et (2), pourvu que l'on substitue au complexe linéaire défini plus haut son polaire réciproque par rapport à la sphère de rayon i. Les surfaces (S) et (So) sont évidemment en relation homographique puisqu'elles sont les polaires réciproques d'une même surface (i) l'une par rapport à un com-

plexe linéaire, l'autre relativement à une sphère. La même remarque s'applique aux surfaces (i), (—a), qui sont les polaires réciproques de (S).

Celte solution tout exceptionnelle du problème proposé s'obtient en prenant pour oj dans les formules (G) [p. ^-^J une combinaison linéaire à coefficients constants des solutions particulières Oi, Oo. 0;, à savoir

I i) t.) = — rtiôi— 6162— c, 63.

Si le lecteur voulait en déduire des couples de surfaces applicables conformément à la méthode du n" 854, il reconnaîtrait aisément qu'on obtient seulement ainsi deux positions différentes d'une même surface ou deux surfaces symétriques. On peut rattacher cette remarque à un beau théorème de Chasles relatif au solide milieu dans le déplacement fini d'une figure invariable quelconque. Dans un article publié en i83i ('). Pillustre géomètre énonce la proposition suivante :

Quand on a dans l espace deux corps parfaitement égaux, et placés d'une manière quelconque , si Von joint par des droites les points du premier aux points homologues du second, les points milieux de ces droites formeront un second corps solide qui sera tel qu'on pourra lui donner un mouiement infiniment petit dans lequel tous ses points se dirigeraient suivant ces mêmes droites (-).

11 suffît évidemment d'appliquer cette proposition au cas où les deux corps égaux se réduiraient à des surfaces égales pour retrouver le cas particulier de la déformation infiniment petite étudié au commencement de ce numéro.

(') Chasl^ IS'ote sur les propriétés générales du système de deux corps semblables entre eux. et placés d'une manière quelconque dans l'espace et sur le dépl are ment fini ou infiniment petit d'un corps solide libre: communiquée à la Société Philomatique, séance du 5 février i83i (Bidletin de Férussar, t. XIV, p. 32i-3>6).

(-) Si les deux corps dont il est question dans le théorème de Chasles, au lieu dVtre parfaitement égaux, étaient symétriques, le solide milieu se réduirait à un plan.

go LIVRE VIll. — CHAPITRE V.

910. Ce cas particulier que nous venons de considérer intervient de la manière la plus simple dans la solution de la question suivante :

Déterminer toutes les congruences rectilignes pour lesquelles la surface moyenne est un plan.

Si, en effet, la surface moyenne est un plan, le réseau intercepté sur ce plan par les développables de la congruence est nécessairement conjugué, comme tous les réseaux plans, et il n'y a plus qu'à appliquer la proposition générale des n"^ 891 et 892 en supposant seulement que la surface (Si) se réduise à un plan (P).

A cet effet, on prendra arbitrairement la surface (S), et l'on adjoindra au plan (P) une droite fixe (<i) perpendiculaire à ce plan. On fera tourner la surface (S) de 90' autour de {d); puis on projettera tous ses points sur le plan (P). A chaque point M de la surface primitive (S) correspondra ainsi un point M' du plan (P). La correspondance établie par cette construction sera évidemment telle qu'à tout élément linéaire de (S) corresponde un élément linéaire orthogonal de (P), et l'on reconnaîtra sans peine qu'elle devient la plus générale de toutes celles qui satisfont à cette condition, si, dans la construction, on substitue à (S) une de ses homolhétiques par rapport au pied de la droite [d) sur le plan (P).

Si l'on applique maintenant à l'ensemble des deux surfaces (S) et (P) la proposition du n" 892, on voit que, pour obtenir la congruence cherchée, il suffira de mener par chaque point M' du plan (P) une droite qui soit parallèle à la normale menée en M à la surface (S). On peut ajouter que, d'après la proposition générale indiquée au n" 891, les plans focaux de celte droite de la coagruence seront perpendiculaires aux tangentes asymplotiques relatives au point correspondant de la surface (S) ( ' ).