Cette solution générale du problème posé nous conduit

(') Celte construction a cti'- donnée par M. C. Gujchard dans une Note : 5a/' les congruences dont la surface moyenne est un plan^ insérée en 1S92 au tome CXIV des Comptes rendus, p. -/i-.). M. Guicliard dit aussi quelques mots du cas où les droites de la conirruence sont les normales d'une surface.

à examiner le cas particulier où l'on exige, non seulement que la surface raovenne soit un plan, mais aussi que la congruence soit formée des normales à une surface. D'après la construction précédente des plans focaux, il sera nécessaire et suffisant qu'en chaque point de (S) les tangentes asvmplotiques soient rectangulaires, c'est-à-dire que (S) soit une sur/ace minima.

Ainsi, pour obtenir toutes les congruences de normales dans lesquelles la surface moyenne est un plan, il suffira d'établir^ comme on Va indiqué plus haut, une correspondance avec orthogonalité des éléments entre une surface minima quelconque et un plan, puis de mener, par chaque point du plan, une droite parallèle à la normale au point correspondant de la surface minima .

912. Plus généralement, proposons-nous le problème suivant : Déterminer toutes les surfaces pour lesquelles les développables formées par les normales découpent sur la développée moyenne un réseau conjugué. Nous donnons ici le nom de développée moyenne à la surface décrite par le milieu du segment formé sur chaque normale par les deux centres de courbure. Nous allons voir que la solution de cette question est liée à l'étude de la déformation infiniment petite des surfaces minima.

Reportons-nous, en effet, à la construction donnée au n° 891, et qui nous fait connaître toutes les congruences pour lesquelles les développables découpent sur la surface movenne un réseau conjugué. Pour que ces congruences soient formées de normales, c'est-à-dire pour que les plans focaux de chaque droite soient rectangulaires, il sera nécessaire et suffisant qu'en chaque point de (S") les tangentes asvmptotiques soient rectangulaires, c'està-dire que (S) soit une surface minima. Ainsi :

Pour obtenir la congruence de normales la plus générale dans laquelle les développables découpent sur la surface moyenne un réseau conjugué, il suffira de déterminer la surface la plus générale (S,) qui correspond avec orthogonalité des éléments linéaires à une surface minima quelconque: puis de mener par chaque point de (S,) une parallèle à la normale au point correspondant de\^S).