CHAPITRE V
913. (]ela nous amène à dire quelques mots du problème de la déformation infiniment petite dos surfaces minima'.
En nous reportant au n" 203, nous reconnaîtrons aisément que, si l'on prend les équations qui définissent une surface minima sous la forme suivante :
^^J jpdu -,ij-d.,
u, V désignant des fonctions de u et de v respecli\cmcnt, l'équation différentielle des lignes asjmptotiques prendra la forme
du- — dv- = o.
Les cosinus directeurs de la normale seront ici
i+UV i^UV
Si, au lieu d'introduire les paramètres
I — UV
n-UV'
des deux familles de lignes asjmptotiques, on conserve les variables u et (', les trois fonctions 9,, 0^, 9, considérées ;iu n" 870 auront les expressions suivantes
I— UV
et elles satisferont à l'équation aux dérivées partielles
ai 0 (n 0
Ou- Ov-
,vU'
vu^
qui remplacera l'équation (19) du n" 870, et qui est celle qu'il faudra intégrer si l'on veut résoudre le problème de la déformation infiniment petite de la surface minima. Or, cette équation
appartient au type de celles que nous ayons nommées harmoniques [II, p. 193]. Ainsi :
La détermination de la déformation infiniment petite d^nne surface minima quelconque se ramène à l'intégration de l'équation linéaire harmonique la plus générale.
L'étude des équations harmoniques a été faite au Livre I\ , Chap. IX. Nous n'y reviendrons pas ici.
Revenant au problème du numéro précédent, nous nous contenterons seulement d'indiquer comment on détermine les surfaces normales aux droites de chacune des congruences obtenues.
Si l'on pose
. i-f-UV .
on aura
et l'on reconnaîtra aisément que ^4 est encore une solution particulière de léquation (9). Cela posé, la surface normale aux droites de la congruence sera définie par les formules
où l'on a
les coordonnées x,, >-,. ^1 de la surface ($,) étant définies par les formules analogues
Si 1 on veul que la surface movenne l^S, i se réduise à un plan, on
g4 LIVRE VIII. — CHAPITRE V.
pourra preinlre
h d(^sii;nnnl uue consianto tjuelconque.
tlii. Dans le cas qui nous occupe, il y a lieu do signaler une propriété iulérossanle A\\ groupe des douze surfaces. D'après la proposition générale qui a été établie au u" 81)5, la surface que nous avons désignée par (V,) esl la polaire récipro(]ue de la surface (A.) par rapport à la sphère de rayon i admettant pour centre l'origine des coordonnées; et elle est, par suite, l'enveloppe du plan dont l'équation est (i(>^ fi.X -h8..Y H-e^Z H-w = o.
l\lle correspond à la surface uiinima (S) avec parallélisme des plans tangents, et nous savons, de plus, que les lignes asyuiplotiques de (S) correspondent à un réseau lonjugué de (A,) (n" 897). Gela posé, introduisons la surface uiininia (S') qui est l'adjointe de (S) (n" iilO^. D'après les relations établies entre (S) et (S'), nous voyons que la correspondance entre (S') et ^^A| ) aura lieu avec parallélisme des plans tangents et, de plus, que les lignes de (ourbiire de (^S) [correspondant, nous l'avons vu, aux lignes asymptoliques de (S)| correspondront à un réseau conjugué de (A,V Nous concluons de là que le réseau conjugué commun à (S') et à (A|) sera formé des iignes de courbure de ces deux sui'/aces, et qu* elles auront Vune et Vautre la même représentation sphérique de leurs lignes de courbure. Ainsi :
Chaque solution du problème de la déformation infiniment petite dUtne surjace minima fait connaître une surface ayant même représentation sphérique que la surface ruinima adjointe et vice versa.
Ces deux problèmes : déformation infiniment petite d'une surface minima, détermination des surfaces ayant même représentation sphérique de leurs lignes de courbure de l'adjointe à la surface minima, se ramènent l'un à l'autre, et dépendent de la même é(|uation linéaire harmonique. Le lecteur établira aisénieul ce résultat par l'analyse eu remaniiiaut (jue a = m -f- v et (5 = m — v sont les paramètres des lignes de courbure de l'adjointe, et appli-
quant à ce cas particulier la solution du problème de la représentation sphorique indiquée au n" 162.
915. On retrouve encore les surfaces minima en étudiant une autre application particulière de nos propositions générales.
Supposons que la surface (S") soit une sphère définie par l'équation
et reportons-nous à nos Tableaux [p. 71].
La surface (ij ) polaire réciproque de (S) sera aussi une sphère, identique à la première; et les deux points homologues de (S) et de (ij > seront diamétralement opposés.
Les surfaces (S,) et (Aa) qui correspondent aux deux sphères avec orthogonalité des éléments linéaires seront (n" 863) les surfaces moyennes de deux congruences isotropes.
Pour indiquer ce cpie sont les huit autres surfaces, remarquons tjue, le système I étant formé des lignes de longueur nulle de S) et de (^3), les réseaux II et III qui lui sont harmoniques sont formés nécessairement, sur chacune de ces sphères, de lignes orthogonales. Ces deux réseaux auront leurs invariants ponctuels (ou tangenliels, ce qui est la même chose dans le cas de la sphère ei de toute surface du second degré) égaux; et. comme ils sont harmoniques Tun à l'autre, les courbes appartenant à l'un d'eux bissecteront en chaque point l'angle formé par des courbes appartenant à l'autre.
Comme la sphère (S> et la surface (^A,> se correspondent par plans tangents parallèles, le svslème 11, qui est conjugué sur ces deux surfaces, sera nécessairement formé, sur (A,), des lignes de courbure; et comme, sur (A,) et sur (S), les tangentes aux courbes du système I sont parallèles aux points correspondants des deux surfaces ('), il en résulte que, sur (A,), le système I sera néces-
{'> hn géDéral, si l'on choisit parmi les douze surfaces deux quelconques de celles qui se correspondent par plans tangents parallèles, noos avons tu au n* 893 qu'en des points correspondants de ces deux surfaces les courbes de l'un quelconque des réseaux I, II, III ont leurs tangentes parallèles. Seulement, tandis que, pour l'an d'eux qui est le réseau conjugué commun, les courbes cor-
saireinent formé des lignes de longueur nulle. Ce système étant conjugué, (A,) sera une surface rninima; et la relation entre (A() et (S) sera telle que les lignes de longueur nulle se correspondront sur les deux surfaces, les lignes asymptotiques de (A<) correspondant à un système rectangulaire de (S). Nous retrouvons les propriétés essentielles relatives à la représentation sphérique des surfaces minima.
Le raisonnement précédent s'applique à (1, ), qui dérive de (io) comme (Ai) de (S). Les deux surfaces minima (A,), Ç^k) se correspondent avec parallélisme des plans tangents, similitude des éléments infiniment petits; les lignes asymptotiques de l'une correspondent aux lignes de courbure de l'autre. Gela résulte des Tableaux de la page 71. Nous verrons plus loin que ce sont deux surfaces adjointes l'une à l'autre.
La définition des autres surfaces ne présente plus aucune difficulté.
La surface (i), associée à (S), et la surface (So), associée à(i^), constituent les deux nappes des surfaces focales de deux congruences pour lesquelles les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes. Par exemple, les lignes asymptotiques de (2) correspondent aux génératrices rectilignes de la sphère (S).
Les surfaces (A) et (S)) sont, d'après les Tableaux, des polaires réciproques de surfaces minima. Enfin, les surfaces (2^) et (A;,) sont les polaires réciproques des surfaces moyennes de deux congruences isotropes.
Sur toutes ces surfaces, on saura déterminer les réseaux I, II, III par de simples quadratures.
Si l'on associe la surface moyenne (S)) à la surface minima (i,), ou voit qu'elles sont les deux nappes de la surface focale d'une congruence à lignes asymptotiques correspondantes. Ainsi, les lignes asymptotiques de la surface moyenne (S)) correspondent à celles de la surface minima (2i| ).
Il ne reste plus qu'à donner les résultats des calculs.
respondantes adinelteiit. des tangentes parallèles; pour les deux autres, qui sont fornaés des lignes asymptotiques sur l'une ou sur l'autre des deux surfaces, ce sont les tangentes aux courhes non correspondantes qui sont parallèles (n<» 893 et 894).
APPUCATIONS DIVERSES. 97
916. Les coordonnées x, y, z d'un point de la sphère (S) seront définies en fonction des paramétres y. et 3 des lignes asymptotiques, c'est-à-dire des lignes de longueur nulle, par les formules si souvent employées
,«x a-i-3 .3 — 3. aS — 1
Les quantités Ôi,.Ô2> O3 qui figurent dans le Chapitre précédent et sont reliées aux cosinus directeurs de la normale par les formules (17^ du Chapitre II, où À est déterminé par l'équation (27) du même Chapitre, auront ici pour expressions
Elles satisferont, comme x, y, z, à l'équation du second ordre
Si on les porte dans les formules de M. Leiieuvre, elles donneront naissance aux identités
fJz .'^ ■ '>•'
àz â:t i):l l <^S d^j à
I àz âv . àx
, , <).c ôz .')v , ^ ) dx àz .àr
i as. àx àx ï ''h ^? ^?
ày .*^^ - '^- f ày dx . àz
auxquelles on peut joindre les suivantes, qui s en déduisent immédiatement par dilTérentiation,
à Y àz ày àz lix
à^ à^~ à^ ài^~ ,1 — ai)^'
, ,x I àz àx àz àx ^rr
^^ ' ^ ai àE ~ à^ àl ^ ~ {i -t- x'^)i^
àx ày àx ày 21 z
àa. à^ àçj àx {^ ^ ^^}-
Remarquons encore que x, v, z sont des solutions particulières
98 LIVRE VIll. — CHAPITRE V.
des deux équations
<ya'- 1 -1- a'j rVa
^,32 I + aji <rp
ce qui permet de simplifier les calculs.
917. Pour trouver la surface (Si) qui correspond à la sphère (S) avec orthogonalité des éléments linéaires, il faut d'abord intégrer l'équation aux dérivées partielles (20). L'intégrale générale de cette équation est
<p(a) et 4'(P) désignant deux fonctions arbitraires. Mais, afin que la surface (Si) soit réelle lorsque © et J; sont des fonctions imaginaires conjuguées, nous prendrons pour la solution co du Chapitre II, l'expression suivante
Remarquons les deux relations identiques
auxquelles satisferont 0.
Les coordonnées x^^ y s, Zi de (Si) sont alors définies par des quadratures telles que la suivante
(30) a:,= ij (^^--.^-yi.-(^^--Q-^jcl,,
quadratures que l'on effectue sans difficulté. '
Si l'on pose
(7 sera encore une solution de l'équation (20), solution que l'on
déduirait de 0 en y remplaçant respectivement o((x), ^{â) par i^{x) et — i'h(^). On trouvera
. àx ., àx .,, , 'iKz — •!/ 'i
• dx ' â6 ^ . ■ 1 -H a;
. àv ., àv ... , z -h-l
'■ > ' • ' Éfjt (/;i ■ I -H a.j
r, = -::-i-2tc -r 2 ri -rr = ii-> — = )--h2i :
On a vu que (S,) est la surface moyenne dune congruence isotrope (n" 863). Les plans focaux de cette congruence seraient définis ici par les équations
{ (i — a- ».ri-^ /(i -4- a- )ri-t-2 2^i = U?i<^), ( 33 ) -
( (i— S-).ri— i(i -t- ,3^ ivi-t- 2 3;i = — 4ï']/(P).
Après (Si), toutes les autres surfaces s'obtiennent sans aucune quadrature. Les coordonnées a, 6, c d'un point de (A) ont pour expressions
La polaire réciproque (Ai) de (A) est définie parles formules
,' (i-4-a3)ï/«W àx àQ âx\ ! «.=-e.r (r^-^^àià^r
OU, en développant les calculs,
On trouvera de même, pour les coordonnées d'un point de ( i^
lOO LIVRE VIII. — CHAPITRE V.
les expressions
(36) \y=y^'4'!z^zïù:,
y __ ^ '>-o âz 2'b ()z
et pour celles du poinl {X^, Yi, Zi) de (1,)
Xi = j.r -t-
/à^ dx fh àx\
/'3»\ j V (i-+- a(i)2 /c?(T ày àa ày
„ (1-4-0(3)2 /r^j r;s (h dz
OU encore
I = — { œ — ?a3 -I- ?. 5 -+- t !— 'L"-t- f îi'I/' — ri.
^ — 9 — «9 -H i H- ^ 'V— S'L'-f- -ii,
V Zi = t( — as"-)- ©'-I- ■■i-v' — -y ),
ces valeurs se déduisant de celles de a, , fti , c, où l'on remplacera 0 par — a, c'est-à-dire cp et ^1» par — «cp etf\p.
(3n trouve ensuite, pour les antres surfaces, les formules suivantes
Xo
(A,) / /.,=YO=vO-2?^'-2.^^', (2:,) )y,=-j,
Zn = -f^, ' Al
Al Z,
■?iz ').!• 9 1 'Il àx
■y.io ')y yi-l) ây î /« 7 ai
>iz i)z ?./6 âz
et
où Ton a posé
(38) aiJ'i-h hiyi-r-Ci z, = /i, = /< »9r'— r " ' — '' 'r/— "r ■ '• Signalons encore les identités
(39) ax -4- l>y -+- rc = -, .r.r, — rr, — r^i = t.
qui penneltenl de simplifier les calculs.
918. Nous terminerons ce Chapitre, consacré à des applications, en indiquant plusieurs propositions intéressantes relatives au cas où la surface fondamentale (^S) a sa courbure constante et négative. Nous supposerons, comme toujours, que cette courbure totale ait la valeur — i. En changeant un peu les notations et désignant par li la fonction que nous appelions oj au n" 879, nous aurons réquation aux dérivées partielles
X el ^ désignant toujours les paramètres des lignes asjmptoliques. Avec ces notations, l'élément linéaire de la surface serait défini par la formule
( 4 1 ) ds'- = (h- ^ ,iy- -+- ■> c(i> ■} t> dz </>,
déjà rappelée au même endroit.
Les cosinus directeurs 0,, Oo, 0^ de la normale satisferont maintenant (^n" 879) à l'équation aux dérivées partielles
(4.) ^ = Ocos.Q:
ot si 0 désigne la solution la plus générale de cette dernière équa-
lion, c'est C(3tte solution qu'il faudra substituer à oj dans les formules (G) [p. 25] pour obtenir la surface la plus générale qui correspond à (S) avec orlhogonalité des éléments linéaires.
Considérons ici encore la surface (Ai) qui correspond à (S) avec parallélisme des plans tangents aux points homologues. Cette surface est, nous l'avons déjà remarqué, l'enveloppe du plan défini par l'équation
(43) 0|X + OïY -t-Op,Z H-0 = o,
tout à fait semblable à celle qui a été indiquée au n° 914.
Nous avons vu d'une manière générale (n" 897) que les lignes qui, sur (A, ), correspondent aux lignes asjmptotiques de (S) forment dans tous les cas un réseau conjugué de (Ai). Nous allons démontrer qu'ici ce réseau est entièrement formé de lignes géodésiques.
En effet, pour obtenir le point de (Ai ), il faut adjoindre à l'équation précédente ses deux dérivées par rapport à a et à (3
(IX (77. (Jy. (jy.
17 j (Jt> (/^ l/j
On peut joindre à ces équations les suivantes, bien souvent rappelées,
^^^^ ■ - (JO, ()\ n 6>0, ()X
où V désigne le signe de Lamé. Diff'érentions la dernière par rapport à {3; nous aurons
Sâ^,)^ n ,n{)\ ()\ T77 7^ "*" O <)y. ()':■> <^ ~ '^'
La deuxième somme est nulle; on le reconnaît immédiatement en remplaçant les dérivées secondes de 0,, Oj, 0;, par leurs valeurs déduites de l'équation (42). H reste donc la relation
APPLICATIONS DIVERSES. Io3
Celle relalion. rapprochée de la dernière des équations (45)» montre que la droite dont les paramètres directeurs sont
<W, à^i rM::
âx àx àx
est normale à deux tangentes consécutives de la courbe de paramètre X tracée sur (A,). C^est donc la normale au plan oscillateur de cette courbure.
Mais, comme on a
et, par suite.
0' — ' + e. -j^ + On -- = o.
')x <ix <)x
on reconnaît immédiatement, dans le cas spécial quînous occupe, que cette normale est parallèle au plan tangent de (A) ). Donc toute courbe de paramètre a, tracée sur (A,), est une ligne géodésique de (A^).
Comme rien ne distingue les paramètres y. et 3, la démonstration s'applique aussi aux courbes de paramétre ,3.
919. Les surfaces qui jouissent de celle propriété d'admettre un réseau conjugué formé de lignes géodésiques ont été considérées en premier lieu par M. \ oss (^' i. On pourra consulter aussi sur ce sujet un important Mémoire de M. Guichard que nous avons déjà cité [p. \o\ et sur lequel nous reviendrons plus loin [p. io5].
Réciproquement, proposons-nous de déterminer toutes les surfaces (V) jouissant de la propriété précédente. Désignons maintenant par a, 5 les paramètres du système conjugué formé de lignes géodésiques et supposons que 0,, Oo. 0, soient les cosinus directeurs de la normale à la surface. Alors on aura
(48) Of -(- O5 -4-0^ = I,
(') A. Voss, Ceber diejenigen Flàchen. auf denen zwei Schaaren geocidtischer Linien ein conjugirtes System bitden iSitzungsberichte der K. Académie zu Munc/ien. mars 1888).
Io4 LIVRE VIII. — CHAPITRE V.
el la surface cherchée sera l'enveloppe d'un plan défini par une équation de la forme
OÙ 0, 0|, Oo, 0:, sont des solutions particulières d'une certaine équation aux dérivées partielles
th. iJI, àx à'j
A, B, C désignant des fonctions de a et de (3. On aura toujours les relations
qui s'appliquent dans tous les cas.
Pour exprimer que la ligue de paramètre a est géodésique, il faut écrire que la droite définie par les paramètres directeurs
^Oi ^;o, ài)>
T"' T"' T~' ooc ax i)x
droite qui est parallèle au plan tangent et qui est normale à la tangente de la courbe, est aussi normale à la tangente consécutive, c'est-à-dire que l'on a
D'aprés cela. diflV'rentions la dernière des relations (5i) par rapport à S, on voit que la relation précédente pourra être remplacée par la suivante
àx (ïj Irl ~ **'
ou, en remplaçant ^' el les deux dérivées analogues par leurs
valeurs déduites de l'éqqation (5o) et tenant compte des relations précédentes
O <Aj à',
APPLICATIONS DIVERSES. Io5
Le coefficient do B ne saurait éire nul, puisque les courbes de paramètre y. ne sont pas des lignes asvmptoliques. On a donc
En considérant de même les courbes de paramètre 3, on trouverait
Donc O4, O2, 0;; satisfont à une équation de la forme
ce qui caractérise les cosinus directeurs d'une surface ù courbure constante; et l'on retrouve la génération de la surface qui nous a servi de point de départ.
920. Dans le Mémoire auquel nous avons fait allusion plus haut (' ). M. Guichard a ajouté aux résultats précédents une proposition élégante et nouvelle que Ton peut énoncer comme il suit :
Désignons toujours les surfaces précédente par la lettre (V), et considérons les développantes (G) des surfaces (V). c'està-dire les surfaces normales aux tangentes de l'une ou l'autre des deux familles de lignes géodésiques composant le réseau conjugué de (V). Si, par chaque point dune surface (G\ on mène la parallèle à la normale au point correspondant de la surface (V) d'où elle est déduite, cette parallèle, qui sera nécessairement tangente à (G), engendrera une congruence jouissant des propriétés suivantes :
1° Si nous appelons ( G ) et (G) les deux nappes de la surface focale, les développables de la congruence correspondront à une ligne de courbure de (G) et à une ligne de courbure de (G'); par suite, les lignes de courbure se correspondront sur (G) et sur (G'), de telle manière que l'arête de rebroussenient de l'une des déve-
(') C. Glicbard, Recherches sur les sur/aces à courbure totale constante et sur certaines surfaces qui s'y rattachent {Annales de VÈcole Sormale supérieure, 3* série, t. VII, p. 233, août 1S90).
Io6 LIVRE VIII. — CHAPITRE V.
loppables de la congruence soit toujours une ligne de courbure de la surface qui la conlient.
2" Les lignes de courbure de (G) et de (G) ou, ce qui est la même chose, les développables de la congruence correspondent aux géodésiques du système conjugué tracé sur la surface (V).
3" Les surfaces (G) obtenues, comme nous l'avons indiqué, au moyen des surfaces (V) sont les plus générales qui jouissent de la première propriété ; de sorte qu'il revient au même de chercher les surfaces (G) ou les surfaces (V). On passe des unes aux autres par de simples constructions géométriques.
M. Guichard a établi ces propositions par le calcul; il sera plus instructif de les démontrer par la Géométrie, et de les rattacher à un théorème général dont nous aurons à faire usage plus loin.
Voici quel est ce théorème :
Quand les développables se correspondent sur les congruences engendrées par deux droites parallèles [d). {d^ ) ; i " les plans focaux de (d) sont parallèles à ceux de (dt) ; 2" les droites (ô), (ô^) qui joignent les points focaux correspondants de (d) et de (d^) se coupent en un point qui est celui oà le plan des deux droites (d), (<-/,) touche la surface (0) qu'il enveloppe; 3" les deux droites (0), (0,) sont conjuguées par rapport à la surface (0); et les courbes conjuguées qu'elles envelopuent correspondent aux deux familles de développables des congruences considérées.
Admettons cette proposition que nous démontrerons plus loin et appliquons-la de la manière suivante :
Soient (Gi) et (Go) deux surfaces admettant (V) pour développée et dont les normales soient tangentes respectivement aux géodésiques des deux familles conjuguées tracées sur (V). Soient M), Mo les deux points de (Gi) et de (Go) qui correspondent au même point M de (V) et soient (t/i), {d->) les normales en Mi , M2 au plan MMiMo, normales qui sont respectivement des tangentes principales de (G|) et de (G^). Il est clair que les développables engendrées par les droites parallèles (c^i) et (â?o) se correspondent, puisqu'elles correspondent, les unes et les autres, au système conjugué tracé sur (V); soient (G|), (G'^) les deux
nappes focales de la congruence engendrée par (df) et (Go), (G',) les deux nappes focales de la congruence engendrée par (cL).
D'après le théorème précédent, (Gj), (G',) se correspondent par parallélisme des plans tangents. Or le svst»^nne conjugué commun à ces deux surfaces, système évidemment formé des courbes qui correspondent aux déveioppables des congruences engendrées par les droites (dt) et (rf-.), est formé sur (G, ) des lignes de courbure; il en sera donc de même sur (G,), puisque, sur ces deux surfaces, les courbes du système conjugué commun ont, à chaque instant, leurs tangentes parallèles.
Donc, sur les deux nappes focales (G|), (Go") de la congruence engendrée par (d^)- les lignes de courbure se correspondent et correspondent aux déçeloppables de la congruence.
La démonstration s étend évidemment à la congruence engendrée par la droite (rf, ).
02t. Réciproquement, considérons une congruence engendrée par une droite (^</), et pour laquelle les lignes de courbure des deux nappes focales correspondent aux déveioppables de la congruence. Soient (G,), (Gj) les deux nappes décrites par les points focaux de (^d'\. Désignons par ( \ , i et (\ 2 ' celles des deux nappes des développées des surfaces précédentes pour lesquelles le plan tangent est normal à {d). Le système conjugué commun à (\ i) et t \ a ) est évidemment celui qui correspond sur ces deux nappes aux lignes de courbure de Ki| 1 ou de (Go), c'est-à-dire aux déveioppables de la congruence. Or, ce système est formé, nous le savons ( n" 126). de deux familles de courbes se correspondant avec parallélisme des tangentes; nous savons aussi que. des deux courbes correspondant à une même ligne de courbure de (Gi'y ou de (Go^ l'une au moins est une développée de ligne de courbure et. par suite, une géodésique de la surface sur laquelle elle est tracée. 11 en sera donc de même de l'autre, puisque les tangentes aux points correspondants et, par suite, les plans osculateurs des deux courbes sont parallèles. Donc les deux surfaces (\i) et {\ 2) admettront, l'une et l'autre, un réseau conjugué formé de lignes géodésiques, et ainsi nos propositions se trouvent complètement démontrées.
io8
Elles donnent naissance à plusieurs conséquences, tant analytiques que géométriques. 11 nous suffira d'avoir montré comment on peut les rattacher à l'étude de la déformation infiniment petite des surfaces à courbure constante.
Nous terminerons ce Chapitre en donnant la démonstration du théorème sur lequel nous nous sommes appujé plus haut, et même d'une proposition plus générale.
922. Étant donnée une surface (2). soient (C), (C) deux congruences rectilignes distinctes dont les développables se correspondent et interceptent sur (i) un même système conjugué. L'ensemble des deux congruences et de la surface (2) donne lieu aux remarques suivantes.
Fig. 84.
Désignons par (S), (S) ) les deux nappes focales delà congruence (C), par (S'), (S'j) celles de la congruence (C). Soient jjl un poinf quelconque de (i) {Jig- 84); [J-y-, //[S les deux courbes du système conjugué qui se croisent en [x; ^MM, la droite de la congruence (G), dont les points focaux seront M, M^ ; /jiM'M'j la droite de la congruence (C), dont les points focaux seront M', M', ■
Les nappes (S), (S'), (Si), (S',) seront décrites par les points
M, M'. M|, M|. On peut toujours supposer que les nappes (S), (S') soient celles dont les plans tangents en M, M' se coupent suivant la tangente uf à la courbe aa et alors les plans tangents en M, , M', aux nappes (S,), (S'j) se couperont suivant la tangente ,a m à la courbe u3. Cela posé, nous allons démontrer que le plan des deux droites ulM. jlM' touche son enveloppe (Ei) au point de rencontre O des deux droites MM', M| M', ; que ces deux droites sont des tangentes conjuguées de (E); et enfin que les courbes de (E ) auxquelles elles sont tangentes correspondent aux développables de Cune ou F autre des deux congruences (C) ou (C).
En effet, lorsque le point u se déplace suivant la courbe u3, les points focaux M. M décrivent des courbes respectivement tangentes aux droites /xM, ixM'. Les deux plans tangents en M, M' à (S ) et à (Si et les deux plans tangents qui leur sont consécutifs ont un point commun. En effet, l'intersection des deux premiers est la droite ijl/, l'intersection des deux suivants est la droite consécutive k [it quand on se déplace sur la courbe u3. Or, ces deux droites se coupent nécessairement puisque les courbes ua, ,a3 sont conjuguées d'après l'hvpothèse: et leur point commun sera le point focal f, distinct de ii. de la droite 'J.t dans la congruence engendrée par cette droite. Donc les quatre plans considérés ont en commun le point t. Prenons-les dans un ordre différent : les deux plans tangents consécutifs à la nappe (S) se couperont suivant la conjuguée de Mu. qui sera M^ d'après ce qui précède; et de même, pour la nappe (S), la conjuguée de M ;jt. sera M7. Les deux nappes (S), (S') se trouvent donc dans la relation définie aux n°° 423, 424 [II. p. 229 et suiv.J. Les tangentes du système conjugué commun à ces deux nappes concourent, les deux premières en a, les deux autres en t; et, par suite, les développables de la congruence (D) engendrée par la droite MM' correspondent à celles de (C) ou de (C ). Il en est de même pour la congruence (D,) engendrée par M, M, .
Considérons maintenant le plan ,aMM' des deux droites. Quand le point '^ décrit la courbe ,u3, sa caractéristique est évidemment la droite MM'. De même, quand le point a décrit la courbe aa. la caractéristique du plan est M, M,. Donc il touche son enveloppe (E) au point de rencontre O des deux droites.
