LIVRE VIII. — CHAPITRE V. — APPLICATIONS DIVERSES

D'autre pari, quand le point y. décrit la courbe //(S, le plan focal de MM' se confondant avec le plan /jlMM', le déplacement du point O a lieu nécessairement dans ce plan. Mais le plan focal de M^ M'j étant distinct de ;j.MM'. le déplacement du point O, qui se fait aussi dans ce second plan focal, ne peut avoir lieu que suivant son intersection OMiM'^ avec le précédent. Donc, les droites OM, OMi sont conjuguées par rapport à (E) et les courbes auxquelles elles sont tangentes correspondent bien, comme il a été annoncé, aux développables de l'une ou l'autre des congruences (C)ou(C').

923. Si l'on suppose maintenant que la surface (i) se réduit au plan de l'infini, les deux droites correspondantes des congruences (G) et (C) deviennent parallèles. De plus, tout réseau plan étant nécessairement conjugué, la double condition que nous avons imposée aux développables de (C) et de (C) de se correspondre et de couper la surface (2) suivant les courbes d'un résean conjugué se réduit à l'unique condition que ces développables se correspondent dans les deux congruences. Les nappes (S), (S') ont leurs plans tangents parallèles ainsi que les nappes (S<), (Sj) et nous retrouvons le théorème dont nous avons fait usage plus haut (n" 920). Nous donnerons plus loin, n*"* 941 à 944, une démonstration directe et des compléments de ce théorème.

924. Revenons à la proposition générale. Si nous la transformons par polaires réciproques, elle se change dans la suivante :

Si les déçeloppables de deux congruences se correspondent de telle manière que les droites qui joignent les points focaux correspondants soient deux tangentes conjuguées d'une même surface {U) les plans focaux correspondants se coupent suivant deux tangentes conjuguées d'une autre surface (E'),

qui n'est autre que la réciproque de la proposition primitive.