CHAPITRE YI
ROULEMENT DE DEUX SURFACES l'u>E SUR l'aUTRE.
Rappel des forninles données au Livre VII, Chapitre III. — Relations entre les quantités D, D', D' de Gauss et les rotations />, q, r, p^, q^, i\. — Roulement d'une surface (0) sur une surface applicable (9i). — Formules données au Livre I; formules complémentaires. — Comment on peut rattacher à la considération du roulement une nouvelle méthode de recherche des surfaces applicables sur une surface donnée. — Tout mouvement particulier contenu dans le déplacement général se ramène au roulement dune surface réglée sur une surface de même nature et applicable sur la première. — Premier cas oii ces surfaces réglées sont développables. — Extension de la notion de réciprocité relative aux tangentes conjuguées. — Second mouvement particulier dans lequel les surfaces réglées sont développables. — Système conjugué commun à (0) et à (0,) considéré par Ribaucour. — Théorèmes de M. Kœnigs relatifs à ce système conjugué commun. — La théorie des systèmes cycliques et le théorème fondamental du n* 761 rattachés à la considération du déplacement étudié dans ce Chapitre. — Propriété relative aux congruences engendrées par des droites parallèles et pour lesquelles les développables se correspondent. — Propriétés diverses des différents systèmes cycliques que l'on peut rattacher au même déplacement. — Comment la connaissance d'un couple de surfaces applicables peut conduire à une infinité de couples de surfaces admettant la même représentation sphérique.
925. Les propositions que nous avons développées dans les Chapitres précédents nous font connaître un nombre illimité de couples de surfaces (©), (©i) applicables l'une sur l'autre. Or, si l'on considère une de ces surfaces, (0)) par exemple, comme fixe, on peut toujours amener la seconde (6) à être en contact avec la première, de telle manière que les deux surfaces se touchent par deux points homologues, et que les courbes homologues des deux surfaces qui passent en leur point de contact y admettent la même tangente. On obtiendra ainsi une série de positions de la surface (©), qui dépendront de deux paramètres; et l'on aura ce cas particulier du déplacement à deux variables dont il a été question aux n"* 58 et suiv. [I, p, 69 et suiv.]. Le moment est venu d'étudier ce déplacement d'une manière plus complète. Nous rappellerons
d'abord quelques résultats déjà établis au Livre VII, Chap. III [III, p. 242 et suiv.].
Nous avons vu que, si x^ r, z et c, c', c" désignent respectivement les coordonnées rectangulaires d'un point d'une surface (0) et les cosinus directeurs de la normale en ce point, ces quantités, considérées comme fonctions des coordonnées curvilignes u et v., satisfont à des équations de la forme suivante
i ô-x D , ôx . âx
1 — = TT c -f- A — H- A] — ,
\ OU1 11 (fit o\>
I rpx D' âx dx
^ ' \ du ÔP \ l du. i)v
à-x D" „ <)x àx
-7-7 = -TT ^'^^ ~i '"^1 "7"'
ov- 11 , <)u fh'
et à celles qu'on obtiendrait en j remplaçant x et c par y et c' ou par z et c" . Dans ces équations A, A,, B, Bi, C, C( dépendent exclusivement de l'élément linéaire et sont déterminés parles équations suivantes [III, p. aSi]
AH2= -^-pf— - ' — V 7. du \du ^; dv J
(2) yBHî= J -—5
^2 dv :>. du
c'c 1 du j 2 É^t'
•X du \ du 2 dv I
1 \(y(' 2 (/w / 2 «-yp
Quant à D, D', D'', ce sont les déterminants définis par les formules (6) [III, p. 244] et qui donnent naissance à l'identité
(4 ) ^dc dx ^ — ^(Ji du"- -^ i\y' du dv -\-V)" dv"- ).
926. Les relations différentielles entre D, D', D" sont établies par les formules (24) et (20) [III, p. 248]. On pourrait les déduire aussi du système (i). Car, si l'on retranche la seconde équa-
ROULEMENT DE DEUX SURFACES LUNE SUR LAUTRE. Il3
tien de ce système, difiorenliée par rapport à u, de la première différentiée par rapport à v, si l'on remplace les dérivées de c par leurs expressions ( 8 ) [ III, p. 244 ] et les dérivées secondes de x par leurs valeurs déduites des formules (i) elles-mêmes, on trouvera une expression linéaire par rapport à c, y-» ^) dans laquelle les coefficients de ces trois quantités devront évidemment être nuls. En particulier, si on égale à zéro le coefficient de c. on aura la première des relations suivantes
( ô. UJ-àu ( H ) ^ ^' H ^'^ - "^'^ H - ^ ÏI = ''^
doù la seconde se déduit par une permutation facile. En développant on reconnaîtra aisément que ces formules sont identiques à celles qui ont été données plus haut [III, p. 248].
927. Nous avons déjà remarqué (n" 700) que ces équations, jointes à la formule finie (21) [III, p. 246] peuvent remplacer les formules de M. Codazzi. Au reste, si l'on veut établir la relation entre le système précédent et celui qui est développé au Livre V, Chap. II. et qui repose sur la considération du déplacement du trièdre (T), il suffira de remarquer que l'on a
(6) dx = ai ; du •+- zi dv) -i- 6(t, du ■+- t^i «?p),
( 7 ) de = a(q du -h qi dv) — b i p du -4- /> 1 dv\
et, par suite,
• 81 ^ de d.r = i qdu-^qi d\. ) ( ; û^m -r- ; 1 </«•) — ( pdu-\-px dv) (t, du -+- r^ 1 dv ) .
En comparant à l'équation (4) donnée plus haut, on voit que l'on doit avoir, conformément aux formules (43) [II. p. S^SJ,
( D'=H(/>,T,, — y,=,i et de là on déduit, comme il fallait s'y attendre,
(10) DD'— D'2= H2(/>^i— g'/),)(ÏT,,— T.^i) = ryj^i— yp,)(:T,i— T,5,)3.
DARBOUS. — IV. 8
Il4 LIVRE VIII. — CHAPITRE VI.
Le rapprocliomont des formules précédentes (4), (8) et de l'équation ( 17) [II, p. 354] nous montre que l'on aura
(11) 'J^ ^ s f/c dx == -^ ( IJ diC^ -^ -i B' du dv + D" dv^ ),
p„ désignant la courbure de la section normale dont la direction est définie par les différentielles du, dv.
928. Cela étant, revenons au mouvement delà surface (0), qui, d'après les propriétés déjà données au n" 60, peut être défini un roulement de (0) sur (0i). Nous avons vu que tout déplacement élémentaire de (0) est une rotation autour d'un axe passant par le point de contact, situé dans le plan tangent commun à (0) et à (01 )j G^ nous avons obtenu les formules suivantes.
Soient a?, j-, z les coordonnées rectangulaires du centre instantané, c'est-à-dire du point de contact de (0) et de (0|), rapportées à des axes invariablement liés à (0). Désignons par P, Q, R, P, , Qi, Ri les six rotations relatives à ce mouvement. Nous savons (n" 59) qu'en introduisant seulement trois fonctions auxiliaires )., pi, jjii, on peut les exprimer par les formules suivantes
Quant aux translations l. ri, t, ;i, Yi,, Z\, elles sont définies par les formules
àv
ày
;jLi
àa
ai-
{ r + Pv— Qx=o: f r, -t-P, r — Qi.r^o.
par lesquelles on exprime que la vitesse du centre instantané considéré comme appartenant à la surface mobile est nulle dans tout déplacement élémentaire.
Nous avons indiqué au n" 60 que ces formules conduisent à une nouvelle méthode de recherche des surfaces applicables sur une surface donnée. 11 est clair en effet que, si l'on donne la surface (0),
