ROULEMENT DE DEUX SURFACES L UNE SUR L AUTRE. I I

la détermination des fonctions >., ,ul, ,u., entraînera la connaissance de la surface (0, >. Tout se ramène donc à la détermination de ces trois fonctions.

Si l'on porte les valeurs des rotations dans les trois équations

fJi- i)u

c/i- 'lu

lb'^=,.Q,Q,.„ ôv ou

les seules qui restent à vérifier, d'après l'analyse du n" 59, on trouve

à l dx ^ f)x\ d l dx - '^-'" \ " •' H

i)u \ ' au ' ih- 1 Ov y fh' du) ' ' '

et deux équations analogues en j>' et z. Développons et remplaçons les dérivées secondes de x par leurs valeurs (i); puis égalons à

zéro les coefficients de c, -r^> -r-* On aura les trois équations

^ ou au ^

/ D;j.i — 1 E>'À -I- D';jL — H-( ;ji;jii — À- i = o.

(i8) < au dv '

\ -j- — 3 h A , ui — 2 Bi A -i-Ciix = o.

\ av ou

dont l'intégration ferait connaître les valeurs les plus générales de /., ,u, <fl.^.

920. On peut les ramener à une forme beaucoup plus élégante. Pour faire disparaître dans la première les termes du premier degré, posons

D — i», rr— D, . D— d;

^19) ■''=-w- ■■^'=-ïïr-' '^-W-'

Di, D'j, D^ étant les inconnues que nous substituons à /., p. ^l,. Après substitution et quelques réactions, on trouve, en tenant

Il6 LIVRE VIII. — CHAPITRE VI.

coniple du système (5). les équations suivantes

D'i" — DiD',' = D'2— DD", à /DA à /D', \ . \y[ . . „ . D', „ ]),

toutes pareilles à celles du système (5); en sorte que Dj, D'^, D" satisfont aux mêmes équations que D, D', D". Nous allons montrer en effet que ce sont les valeurs prises par 1), D', D" lorsqu'à la surface (0) on substitue la surface (0| ).

930. Considérons le trièdre (T) que nous avons rattaché à chaque point de (0) pour obtenir les formules de M. Codazzi et dont les rotations sont définies par les composantes />, cj, >■, P\, q^, 7*1 relatives aux axes de ce trledre. Pour avoir les composantes P', Q', 11', P'j, Q, , Pv'i de ces rotations par rapport aux axes choisis dans ce Chapitre, axes qui sont invariablement liés à (0), mais quelconques, il faudra employer les formules

!P' = ap -I- h(j -^ cr, i V\ — <'pi-h bqi-hcri,

O' = a' /) -^ 0' (/ -h c' /•, (2:1) < O'i = a' pi -+■ h' q\ ^- c' /•),

Bornons-nous aux deux premières et remplaçons-y a et b par leurs valeurs déduites des équations

(23) -3- = «? H- t'T,, -- = «Si-H t'-r,i. ^ ' OU ov

En tenant compte de ce que l'on a, en grandeur et en signe,

(24) ll = ^.i--r,;i

et utilisant les relations (9), on trouvera

, ,, „, D' àx D dx ,., D" ()x D' dx

(20) P = '— —, -- -4- cr, P'i =z :-- __ -t- cri.

^ ^ H- ou H- âv H- ou H- Ov

On aura des formules analogues pour Q', Q'^, II', R*,. Considérant maintenant le trièdre (T) comme attaché non plus à la surface (0), mais à la surface (©i), on trouverait de même pour