ROULEMENT DE DEUX SURFACES LUNE SUR LAUTRE. II
ses relations P", PJ, ... les valeurs
. „, D', àx D, Ojc „. D' Ox D\ àx
H- t'a H- É>f H- àii H- </t'
D,, D, , D^ désignant les valeurs que prennent D, D', D" quand on passe à la surface (B<)- Quant à r et /,, leurs valeurs sont les mêmes, comme on sait, dans les deux cas. puisqu'elles dépendent exclusivement de l'élément linéaire et de la manière dont le irièdre(T) est attaché à la surface.
Cela posé, supposons que u el v prennent des accroissements infiniment petits quelconques et que (T i prenne la position (T » dans la surface (6) et la position [T'j dans la surface (Bit, Le roulement de (0^ sera celui qui amènera le trièdre de sa position (T')en {T"). Or ce mouvement infiniment petit peut être décomposé en deuï : l'un, qui amènera le trièdre de [T') en (T) et donnera naissance aux rotations — P'du — Pj rfr, ... ; l'autre, qui amènera le trièdre de (T) en (T) et donnera naissance aux rotations P"du -i- P, di-, .... Il suit de là que l'on doit avoir
P du -i- P idi' = P' du -h P\ dt' — P du — P\ dv,
et par suite
c'est-à-dire
P = P'P'^ P^^P^1.'^^ D — D', dx D — Di dx D"— D^ âx D— D, àx
W- Ou H- à^-
et les expressions analogues pour Q. Q,, R, R,.
On retrouve ainsi les formules (12) et (i3), mais avec les valeurs (19) de )., ,a, jjlj ; et la proposition que nous avions en vue est entièrement démontrée.
931. Puisque la rotation infiniment petite relative à chaque déplacement a son axe dans le plan tangent, il est clair que l'on peut poser
l P du ~- Pi m- = -r- ou -i- —f- 01-, l du dv
( 28) / O du -i- Oi di- = ^ ou -T- % ^' •
' " " au i)\-
R du -+- R, f/i = -r^ ou — -— 01'.
du 0\-
Il8 LIVRE VIII. — CHAPITRE VI.
du et ôp seront les ditrércntielles de u et de p, lorsqu'on se déplace suivant l'axe de cette rotation; ils le définiront même en grandeur puisque, d'après les formules précédentes, ils représentent les accroissements de u et de (^ lorsqu'on passe de l'origine de cet axe infiniment petit à son extrémité.
Or, si l'on remplace P et P,, par exemple, par leurs valeurs déduites des formules ( 1 2 ) et ( 1 3 ), il vient
à.r , . j , . ^ àv ,
-— ( — A du — |Jij av — 611) -\ — -- ( u du -h A di> — ov) = n,
ou àx ^ '
et, comme cette relation doit être vérifiée quand on y remplace x par y et z. il vient nécessairement
( 8;< = — À du — Ui dv, (29) . / w
I OP =: jJl du -+- A dv.
Ces formules contiennent toutes les relations entre le déplacement du centre instantané et la rotation qui lui correspond. En particulier, si on les divise l'une par l'autre, on obtient l'équation
( 3o) iji du hu -+-/>( du op -4- dv ou ) -f- ;-i 1 de ot- = o,
• . 1 ^. du ou
qui ne contient que les quotients -7-5 -^ et se rapporte, par suite,
uniquement aux directions de l'axe instantané et du mouvement du centre instantané. Gomme l'équation précédente ne change pas lorsqu'on échange les caractéristiques d, 0, on voit que la relation entî'e ces deux directions est réciproque. Ainsi se trouve établie la proposition annoncée au n" 60.
932. Imaginons maintenant que le centre instantané décrive une courbe (C) de (0). Cette courbe roulera sur la courbe homologue (C|) de (©4), et, si l'on considère les deux surfaces réglées lieux des positions successives de l'axe instantané dans le système mobile et dans l'espace, ces deux surfaces (R) et (Ri), respectivement circonscrites à (0) et à (0, ) suivant les courbes (C)et(C(), rouleront l'une sur l'autre dans le déplacement considéré. Elles seront donc nécessairement applicables Vune sur P autre.
Ainsi, la connaissance de tout couple de surfaces applicables l'une sur l'autre entraîne celle d'une infinité de pareils couples
