ROULEMENT DE DEUX SURFACES L'UNE SUR L" AUTRE. II

formés avec deux surfaces gauches, et cela sans aucune intégration. Examinons maintenant les cas particuliers.

933. 11 peut se faire que la direction de Taxe instantané coïncide avec celle du déplacement du centre instantané. On aura

alors

du oc — <^A' 'ju = o.

et l'équation (3o) nous donnera

( 3 1 ) '^ du- -\- l'i. du d\- ■+- ;xi dv- = o.

11 V a deux familles de (C) satisfaisant à cette équation différentielle. Si le centre instantané décrit une de ces courbes, le mouvement se réduira au roulement d'une surface développable sur une autre développable: les deux arêtes de rebroussement seront tangentes à chaque instant. Par cela seul qu'il va roulement autour de la tangente commune, on peut affirmer que les deux arêtes de rebroussement auront, à chaque instant, même plan osculateur et même rayon de courbure.

On peut donc dire que l'équation (3i) définit deux directions pour lesquelles deux courbes correspondantes tracées sur les deux surfaces (0), (B,) ont même courbure ou mieux, comme les courbures géôdésiques sont toujours égales, ont même courbure normale. C'est ce que l'on peut vérifier de la manière suivante :

Considérons deux sections normales correspondantes, dans (B) et dans (©(); et soient p„, p'„ les rayons de courbure de ces deux sections. En appliquant successivement la formule (lO aux deux surfaces, on aura

— — = ^, ( D du''- ^oD'dif di- ^ D' </i- 1,

ds- I ,, , T- . . . i^- . T = T-j I I>i du- -i- 2 D , du flfi- -i- D , d%- >.

et par suite, en vertu des équations (19),

(32) ^-\T- ~) = H. ;jir///î^ 2À du di- -1- •j^dv^).

Celte formule met en évidence la proposition annoncée en

montrant que les courbes définies par l'équation différentielle (3 1) sur les deux surfaces (0), (0i) ont leurs courbures normales égales et de même signe. Dès à présent, on peut en déduire cette conséquence que ces lignes ne peuvent se confondre avec les lignes asjmptotiques de l'une ou de l'autre des surfaces (0), (0,) que si ces deux surfaces sont symétriques l'une de l'autre. Pour qu'il en soit ainsi, en effet, il faut que Di, D'^, D| soient proportionnels à D, D', D" et cette condition de proportionnalité jointe à la première des équations (20) entraîne les relations

Di = — D, d;= — D', D';= — D",

qui caractérisent deux surfaces symétriques. Ce cas particulier nous a servi de guide dans l'analyse précédente.

93i. Il est un autre cas particulier des plus intéressants dans lequel les deux surfaces réglées (R) et (B,) qui roulent l'une sur l'autre se réduisent à des surfaces développables. Tl a été signalé pour la première fois en 1891 par Ribaucour (' ).

Supposons que le centre instantané se déplace suivant une courbe (G() de la surface (0^). Pour que l'axe de la rotation instantanée décrive une surface développable, il faut évidemment qu'il coïncide soit avec la tangente à la courbe (Ci) soit avec la conjuguée. Nous venons d'étudier la première hypothés*e, examinons maintenant la seconde. Pour qu'elle se réalise, il faudra que les déplacements définis par les caractéristiques «i et ô soient à la fois réciproques dans le sens indiqué plus haut et conjugués par rapport à (0|). Mais, si la surface réglée circonscrite à (0i) se réduit à une développable, elle ne peut rouler que sur une développable et, par suite, les deux déplacements sont conjugués à la fois par rapport à (0) et à (0i). C'est d'ailleurs ce que montre immédiatement l'analyse; les trois équations

D du Zu -t- Y)' {du ov -^ dv ou) -+- T^" dv oc = o,

Di du ou -+- D'i (du Sp -i- c/p 8m) -t- D'( dv oc = o,

■j. du Sm -+- X (du ov -+- dv ou) -+- uj <-/c oc = o.

(') RiiîAucouR (A.), Sur les systèmes cycliques (Comptes rendus de r Académie des Sciences, t. CXIII, p. 32^; 2^ août 1891).