ROULEMENT DE DEUX SURFACES L LNE SUR L AUTRE

se réduisant nécessairement à deux en vertu des relations ( 19). D'après ces relations, ces courbes du système conjugué commune (9) et à ( Oj ) se détermineront par l'équation diflérentielle

du- du di- di- D' — D D d; - l», D,

Elles ne seront indéterminées que dans le cas où les deux surfaces seront symétriques 1 une de l'autre. La double famille quelles forment ne se réduira à une famille unique que si les deux surfaces (9), (9|) sont réglées l'une et l'autre, leurs génératrices reclilignes étant des lignes correspondantes. Toutes ces propriétés peuvent être prévues et démontrées a priori. Quand une correspondance, point par point, est établie entre deux surfaces d'ailleurs quelconques (S) et (S<), il existe, en général, un système conjugué de 1 S\ et un seul, qui correspondu un système conjugué de^^Si). En eflet, à tout réseau conjugué de iS) correspond sur (Si ) un système de courbes qui divisent harmoniquement le réseau des lignes correspondantes aux asymptotiques de (S). Si l'on veut qu'elles soient, en outre, conjuguées sur i S\ leurs tangentes en chaque point seront pleinement définies parla condition de diviser harmoniquement deux angles, en général distincts. Si les lignes asymptotiques de (^S") ne correspondent pas à celles de ( Si ^, il y aura un réseau répondant à la question et composé de deux familles distinctes, réelles ou imaginaires. Si une famille de lignes asymptotiques de (S) correspond à des lignes asymptotiques de ( .S, '), le réseau conjugué se réduira aune famille double, formée des asvmptotiques qui se correspondent. Enfin, si à toutes les lignes asymptotiques de (S) correspondent les lignes asymptolique> de (S,), tout réseau conjugué de l'une des surfaces aura pour homologue un réseau conjugué de la seconde ( ' t.

Dans le cas particulier où les surfaces correspondantes sont

(') Dans cet ordre d'idées, le lecteur démontrera facilement la proposition suivapte : Quand on connaît les lignes asjTnptotiques d'une surface (S), on peut la faire correspondre, point par point, à un plan de telle manière que tout réseau orthogonal du plan ait pour homologue un réseau conjugué de la surface; et cela, sans aucune intégration.

applicables lune sur l'autre, nous avons vu au n° 721) qu'en dehors des cas spéciaux signalés plus haut les lignes asjmptotiques ne sont jamais des courbes correspondantes. Donc le système conjugué existera toujours et se composera de deux familles distinctes, réelles ou imaginaires. Ces deux familles auront même cette propriété particulière que les tangentes aux deux courbes qui passent au même point feront le même angle sur les deux surfaces.

Gela posé, soient (G), (G,) deux courbes correspondantes appartenant à l'une ou à l'autre famille et tracées sur les deux surfaces. Les deux développables circonscrites suivant ces courbes aux deux surfaces seront évidemment applicables l'une sur l'autre; car elles ne sont autres que les deux surfaces réglées (R) et (Ri) considérées au n° 932. On peut d'ailleurs le reconnaître directement; le lecteur établira sans peine que, pour les deux développables, le segment de la génératrice rectiligne intercepté entre la courbe de contact et l'arête de rebroussement a la même valeur, et de là il déduira que les deux arêtes de rebroussement des développables ont même arc et même rayon de courbure aux points correspondants, ce qui suffit à établir le résultat annoncé.

935. Au sujet de ce système conjugué commun à deux surfaces, M. Kœnigs a fait une remarque très intéressante que nous allons rappeler.

Si l'on prend comme variables les paramètres m et f des deux familles conjuguées qui le composent, on sait que trois coordonnées cartésiennes des points de chaque surface satisfont à une équation linéaire telle que la suivante

iJu (Jv <)a Ov

Il devrait donc y avoir deux équations distinctes de cette forme, l'une pour (0), l'autre pour (©<). En réalité, il n'y en a qu'une; et si l'on suppose d'ailleurs les deux surfaces dans une position relative quelconque, mais fixe, les six coordonnées t, y, z; X\, j',, z^ de deux points correspondants satisfont à une même équation linéaire de la forme précédente. Telle est la proposition de M. Kœnigs.

La démonstration en est d'ailleurs presque immédiate. Elle