ROULEMENT DE DEUX SURFACES L'UNE SUR LAUTRE
résulte de ce que, dans l'équation précédente, a et ,3 sont reliés aux coefficients E. F, G de rélément linéaire par les formules
( 3 j ) - ,- -h xh -^ jF = <K r !- a F — :; Ci = o,
dont nous avons déjà fait usage.
M. Kœnigs a ajouté que la même équation (34) admet aussi la solution
(36) e,= .rî ,-^c^— .rf— rf— :;f.
Il suffit, en effet, de substituer cette solution et de tenir compte de ce que x. y, z. x, . y, , z^ sont des solutions particulières pour obtenir la condition
Sâx àx C\dxi t)xi
du ô\- ~ \J du ai-
qui est évidemment vérifiée. .Vous verrons plus loin le parti qu'on peut tirer de ces différentes propriétés.
936. L'emploi du déplacement à deux variables que nous venons d'étudier nous permet de présenter sous une autre forme le théorème fondamental que nous avons démontré au n^TGi, relativement aux systèmes cycliques. Considérons d'une manière générale une droite {d) invariablement liée à iQ\ et entraînée dans le mouvement de cette surface, et soit m son point d'intersection avec le plan de contact de i B i et de ('0/). Le point m décrira une certaine surface dont le plan tangent en m sera celui qui projette la droite id\ sur le plan de contact. En effet, tous les déplacements élémentaires étant des rotations autour de droites situées dans le plan de contact, la vitesse d'entraînement du point m dans ces déplacements sera toujours la normale à ce plan: quant à sa vitesse relative^ elle sera dirigée évidemment suivant la droite id's. Le plan tangent cherché devra être normal au plan de contact et passer par la droite i d^.
Gela posé, considérons une sphère (S) de rayon nul, ayant son centre en un point M invariablement lié à (9 t. Elle coupera le plan de contact suivant un cercle (Ci dont les positions successives engendreront une congruence. Soit (rf) une génératrice rectiligne
124 LIVRE Vni. — CHAPITRE VI.
drteitninée de (S); elle coupera le cercle en un point variable m; et, d'après la construction du plan tangent que nous venons d'indiquer, la surface (2i) décrite par le point m sera normale a\i cercle. C'est le résultat déjà démontré au n" 762.
937. A la famille des surfaces (1) normales aux cercles, on doit associer deux autres familles d'enveloppes de sphères formant avec la première un système triple orthogonal (n" i77). Les positions successives du cercle (C) qui engendrent ces deux familles de surfaces correspondent aux deux séries de roulements dans lesquels le centre instantané décrit une des courbes du système conjugué commun à (0) et à (©iV H suffira, pour le démontrer, d'établir que les développables de la congruence engendrée par l'axe du cercle (C) dans ses différentes positions correspondent à ces mêmes courbes conjuguées (n° 472).
Abaissons du point M invariablement lié à (0) une perpendiculaire sur le plan de contact de (0) et de (0i). Les différentes positions de cette perpendiculaire seront les axes des positions successives du cercle (G). Si l'on se déplace sur la surface (0|), deux positions consécutives de la perpendiculaire seront perpendiculaires à la caractéristique du plan tangent à (0i ), c'est-à-dire à la tangente conjuguée de la direction du déplacement. Pour que la perpendiculaire engendre un élément de surface développable, il sera donc nécessaire et suffisant que le déplacement du point M soit, lui aussi, perpendiculaire à cette conjuguée. C'est ce qui aura lieu si cette tangente conjuguée est l'axe de rotation du déplacement, c'est-à-dire si ce déplacement a lieu suivant une des courbes du système conjugué commun à (0) et à (0, ). Nous obtenons ainsi les deux séries de développables de la congruence et notre proposition est établie.
Au reste, l'analyse en fournit aussi une démonstration des plus simples.
938. Nous avons vu (n" 758) [III, p. 348] que si, de chaque point d'une surface comme centre, on décrit une sphère de rayon variable, les points de contact de cette sphère avec son enveloppe demeurent invariables quand la surface se déforme en demeurant applicable sur elle-même. Par suite, si, du point de contact de (0)
