PF R

PF' R -t- A

où h désigne une constante quelconque. Décrivons, du point P comme centre, des sphères (S), (S') de rayons R et R-h/i. La polaire de (d) par rapport à (S) sera la corde de contact de cette sphère avec son enveloppe: et de même la polaire de {d') par rapport à (S').

En effet, menons par la droite {d) un plan ( P) tangent à (S). En vertu de la relation précédente, le plan parallèle (P') mené par {d) sera tangent à (S') et il sera à la distance h du premier. Comme les deux plans ainsi construits ont leur distance invariable, ils enve-

DARBOCX. — IV. 9

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lopperoiil évidemment deux surftices parallèles; et, pour tout déplacement, leurs caractéristiques, nécessairement parallèles, seront perpendiculaires à la normale commune des deux enveloppes. En d'autres termes, toute droite rencontrant ces deux caractéristiques rencontrera aussi la normale commune aux deux surfaces parallèles.

Or quand les droites {d) et {d') décrivent des développables, celles par exemple pour lesquelles les arêtes de rebroussement sont décrites par les points F et F', la caractéristique du plan (P) passera évidemment en F et celle du plan (P') en F'. Donc la droite FF' rencontrera la normale commune aux deux enveloppes. Comme on peut répéter le même raisonnement pour la droite FiF'^, on voit que la normale commune ira passer en P au point de rencontre de FF' et de Y^ F', . Par suite, les points de contact des plans (P) et (P') avec leurs enveloppes sont sur la perpendiculaire commune abaissée de P sur ces deux plans; ce sont précisément les points de contact des sphères (S), (S') avec ces plans; de sorte que les enveloppes de ces deux sphères sont identiques aux enveloppes des plans. Gela établit la proposition annoncée.

iNous avions vu au n^ 474 que si, des différents points d'une surface comme centre, on décrit une sphère de rayon variable R, les points focaux de la polaire de la corde de contact de la sphère avec son enveloppe sont sur deux tangentes conjuguées de la surface; et il résulte de l'analyse développée dans ce numéro que deux sphères dont les rayons diffèrent d'une constante donnent dans le plan tangent deux polaires parallèles appartenant à des congruences dont les développables se correspondent. Les considérations géométriques que nous venons d'exposer prouvent que Von obtiendra par cette construction tous les systèmes de deux droites parallèles engendrant des congruences dont les développables se correspondent.

943. Pour compléter l'étude de ce sujet, nous établirons la réciproque de la proposition démontrée au n" 474, en prouvant que si une droite {d) {Jig. 85), située dans le plan tangent d'une surface (2) et définie pour chaque position de ce plan, engendre, lorsqu'il varie, une congruence telle que ses points focaux F, ¥^ soient toujours situés sur deux tangentes conjuguées PF, PF4 de

ROULEMENT DE DEUX SURFACES LUNE SUR LAUTRE. l3l

(i). elle peut toujours être considérée comme la polaire de la corde de contact (pour abréger nous dirons polaire) d'une sphère variable ayant son centre sur la surface (i). Le ravon de cette sphère sera déterminé à un facteur constant prés.

Supposons, en etfet, que la droite FF, se déplace de manière à engendrer la développable pour laquelle le point focal est F; la caractéristique du plan tangent sera évidemment PF et, par suite, le point P se déplacera suivant PF, : les droites PF, PF, engendreront des éléments de surfaces développables. En répétant ce raisonnement pour le second point F, on établira que les développables de la congruence engendrée par FF, correspondent sur (1) auî courbes du réseau conjugué admettant en P les tangentes PF, PF, ; et, par conséquent, que la surface décrite par le point F sera coupée suivant deux familles de courbes conjuguées par les développables de la congruence engendrée par PF. Si donc x, y, z désignent les coordonnées cartésiennes du point P, si p, p, sont les paramètres des deux familles conjuguées tracées sur (i) (p restant constant sur les courbes qui admettent la tangente PF,), les coordonnées cartésiennes du point F seront (n" 418) 6 ^ e <>! e àz

ào âô àl

G étant une certaine solution de l'équation linéaire du second ordre à laquelle satisfont x. y. z considérées comme fonctions de p. 0, .

En faisant varier p, et ditTérentiant les expressions précédentes des coordonnées de F, on aura les paramètres directeurs de FF,, qu'on pourra mettre sous la forme

àjr ôx f)y à y àz àz

àz, àpi àp àpi àp ^'pi .

àp àpi àp «^pi àp àpi

et la symétrie parfaite de ces expressions conduit à adopter pour les coordonnées du point F, les valeurs suivantes

6 6>£ 6 ^ 0 àz

^ ~ '^ àfi' -^ ~ ~à¥' àft' " àîT àfi '

àpi àpi àpi

qui sont les seules satisfaisant à la question.

l32 LIVRE VIII. — CHAPITRE VI.

Or il suffit de comparer ces expressions des coordonnées des points focaux F, F< à celles que nous avons données au n" 474 pour reconnaître que la droite {d) sera la polaire de toutes les sphères dont le rayon R satisfait à la condition

et de celles-là seulement. On tire de là

a désignant une constante quelconque, et notre proposition se trouve ainsi entièrement établie.

944. Cette proposition nous montre que les difféi^entes droites {d) situées dans les plans tangents d'une surface (i) peuvent engendrer deux espèces bien distinctes de congruences : les unes, pour lesquelles les points focaux de la droite ne sont pas sur deux tangentes conjuguées de (i); les autres, au contraire, pour lesquelles les tangentes contenant ces points focaux sont conjuguées. Pour ces dernières seulement^ la droite de là congruence peut être définie comme la polaire d'une sphère variable ayant son centre sur la surface donnée. Ces congruences sont aussi les seules pour lesquelles il existe dans le plan tangent de (i) des droites {d) parallèles à (c?) et qui engendrent des congruences dont les développables correspondent à leurs développables. Si l'on désigne par d et d' les distances des droites i^d) et {d!) au point P, on doit avoir, d'après une propriété établie plus haut,

h c£ Pr R-h ], ae-H/j, rt

^ ~ "PF ~ R ~ ^TF" ~ '"^ T'

On voit donc que la droite {d') dépendra de la seule constante -; par suite, dans chaque plan tangent de (D), il y aura un seul faisceau de droites [d!) parallèles k {d); el les distances mutuelles de ces droites conserveront un rapport invariable lorsque le plan tangent variera.

Si des droites {d) sont les polaires d'une famille de sphères ayant leur centre sur (i), cette propriété se conserve, d'après le théorème établi au n° 758 et déjà rappelé au n" 938, lorsque la

ROULEMENT DE DEUX SURFACES L'UNE SUR L'AUTRE. l33

surface se déforme en entraînant les sphères. les plans tangents et les droites (d). Par conséquent, la distinction que nous avons établie entre les congruences engendrées par les droites situées dans les plans tangents de (2) subsiste après une déformation quelconque de cette surface : si les droites (d) étaient les polaires d'une famille de sphères, elles conserveront cette propriété après la déformation; elles ne pourront l'acquérir si elles ne la possédaient pas. Nous pouvons conclure de là que :

Si deux droites parallèles situées dans les plans tangents de (i) engendrent des congruences pour lesquelles les développables se correspondent, elles conserveront cette propriété lorsque {^) se déformera en les entraînant.

Nous ferons usage plus loin de cette proposition.

9io. Revenons aux systèmes cvcliques et aux deux congruences engendrées par les perpendiculaires abaissées de deux points M, M, sur le plan tangent commun à (8) et à (Bi). Le plan de ces deux perpendiculaires est le plan projetant de la droite MM,. Donc (n" 936) il touchera son enveloppe au point m où cette droite prolongée va rencontrer le plan de contact {fig- 86).

Donc, d'après la proposition du n" 9il, les points focaux F, F' et F,, ¥\{Jig. ^6) des droites MP et M|P, sont situés deux à deux sur des droites concourantes en m; et ces deux droites inY , m F' sont même des tangentes conjuguées de la surface lieu du point m. Soit (C) le cercle relatif au point M, (C|) le cercle relatif au point M,. Les sphères qui contiennent ces deux cercles et qui ont pour centre, la première le point F, la seconde le point F^, coupent le plan de contact sous des angles o, ç), déterminés par les formules

MP Mi P.

Les deux points F, F, étant en ligne droite avec m. on aura évidemment

tangç = tang = i.

Donc, pour tous les systèmes cycliques correspondant à la triple infinité de points que Von peut rattacher à (8), les enve-

l34 LIVRE Vin. — CHAPITRE VI.

loppes de sphères engendrées par les différents cercles lorsque le centre instantané décrit une des courbes du système conjugué commun^ coupent toutes sous le même angle le plan de contact de (0) et de (0|)-

FiK. SG.

Ajoutons la remarque suivante : les rajons des deux cercles (C), (Cl) peuvent être pris égaux en grandeur et en signe aux ordonnées PM, Pi Ml, multipliées l'une et l'autres par i. Avec ce signe donné aux rayons, m est le centre de similitude des deux cercles. L'un quelconque des deux plans isotropes que l'on peut mener par la droite MMi louchera les deux points sphères M et M h suivant deux droites isotropes invariablement liées au système mobile et coupera le plan de contact suivant une des tangentes communes menées de m aux deux cercles. Donc les deux points de contact de chacune de ces tangentes décriront deux surfaces normales aux deux cercles, et ces surfaces seront parallèles puisque la distance des deux points de contact sur les deux cercles est constante et égale, comme on le démontre aisément, à la distance des deux points M, M|.

946. On peut compléter cette étude du mouvement de (0) sur (0|), déterminer par exemple les points où une surface invariablement liée à (0) touche son enveloppe, points qui sont les pieds des normales abaissées du centre instantané sur la surface.

ROULEMENT DE DEIX SURFACES LUNE SUR LAUTRE. l35

On déterminera de même les points focaux de la congrnence engendrée par une courbe invariablement liée à (B). On peut aussi étudier la congruence engendrée par les courbes (K) qni sont les sections d'une surface (S) invariablement liée au système mobile par le plan de contact de (0) et de (0|)- On reconnaîtra aisément par la Géométrie comment on peut assembler ces courbes (K) en familles admettant une enveloppe. Nous nous bornerons à considérer avec Ribaucour le cas où la surface (S) se réduit à un plan (P) qui coupe le plan de contact suivant une droite (d). Nous allons montrer que les développables de la congruence engendrée par cette droite correspondent aux courbes du système conjugué commun et que leurs points focaux sont sur les tangentes menées à ces courbes au centre instantané.

Le lecteur fera aisément la démonstration géométrique. Nous nous contenterons d'eniplover l'analyse.

Si, du point de contact de (0) et de (0i) comme centre, on décrit une sphère tangente au plan (P), la droite (rf) sera évidemment la polaire de la corde de contact de cette sphère avec son enveloppe. Pour retrouver le théorème que nous vouions établir, il suffit de se rappeler la proposition du n" 47i et de remarquer (|u'ici le rayon de la sphère est une fonction linéaire à coefficients constants des coordonnées .r, y, z définies au n" 938. Par suite, l'équation ponctuelle relative au système conjugué dont il est ([uestion au n" 47i est bien celle à laquelle satisfont a;, y, 5, Xx. r,, ^, et qui se rapporte au svstème conjugué commun à (O) età(e,).

Cette démonstration suppose essentiellement que le plan (P) n'est pas isotrope. Mais la proposition subsiste même dans ce cas exceptionnel. Il suffit de remarquer que. dans le cas général, on peut prendre pour le rayon de la sphère non plus la distance au plan(P), mais une quantité proportionnelle à cette dislance (n°943), c'està-dire une fonction linéaire à coefficients constants des coordonnées X, y, z qui, égalée à zéro, donne l'équation du plan ( P). Ainsi énoncée, la proposition subsiste sans modification lorsque le pian (P) devient isotrope.

947. Si nous considérons deux pians parallèles (P), (P) invariablement liés au système mobile, nous obtiendrons deux droites

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(âf), [d') dont les plans focaux seront nécessairement parallèles et dont les points focanx seront sur les deux tangentes conjuguées de (0) et de (01 ) i*elatives au centre instantané.

En particulier, si les plans (P), (P) sont isotropes, les deux droites (<i), {d) sont normales l'une et l'autre à une surface (n** 762) et puisque leurs plans focaux sont parallèles ^ deux des surf aces normales à ces droites admettent la même représentation spkérique pour leurs lignes de courbure. Ces deux surfaces seront décrites par les points d^ intersection du plan de contact et de deux droites isotropes parallèles invariablement liées à (B), situées respectivement dans les plans (P) et (P').

Ainsi la connaissance d'un couple de surfaces applicables l'une sur l'autre entraîne celle d'une infinité de couples de surfaces admettant la même représentation sphérique. Dans les Chapitres suivants, nous établirons la réciproque et nous mettrons en évidence les relations qui existent entre le problème de la représentation sphérique et celui de la déformation infiniment petite, en développant les résultais qui ont été indiqués dès 1882 et i883 dans une série de Gominiinications faites à l'Académie des Sciences.