LES SYSTÈMES CYCLIQLES ET LES SURFACES APPLICABLES
Rappel des formules établies au Livre IV, Chap. XV, et relatives au système orthogonal formé par les lignes de courbure. — Relation entre les deux équations, ponctuelle et tangentielle, relatives au système conjugué formé par ces lignes.
— Détermination des surfaces admettant la même représentation sphérique qu'une surface donnée {-). — Rappel delà première solution. — Théorème de Ribaucour qui montre que les surfaces cherchées admettent pour normales les cordes de contact dune famille de sphères ayant leur centre sur la surface [Z).
— Déterminatinn des systèmes cycliques engendrés par des cercles normaux à (il). — Propriétés géométriques relatives aux systèmes cycliques. — Propositions qui rattachent la théorie de la représentation sphérique à celle de la déformation des surfaces. — Détermination des systèmes cycliques déduite d'un couple de surfaces applicables. — Ce que deviennent les réseaux I, II, III du Chapitre III pour un couple de surfaces applicables (6), (6,). — Définition nouvelle de la méthode de transformation introduite au n" 903 sous le nom d'inversion composée. — Les formules qui permettent de définir le roulement de (0) sur (©i). — Détermination de tous les systèmes triples orthogonaux pour lesquels une des familles est composée de surfaces à lignes de courbure planes dans un système.
9i8. Rappelons rapideiiient les résultats établis au Livre IV. Chap. X\ [II, p. 338 et suiv.]. Nous avons désigné par x,.^■, z les coordonnées rectangulaires d'un point variable d'une surface quelconque (2), par c, c', c" les cosinus directeurs de la normale en ce point et nous nous sommes proposé de trouver tous les systèmes cvcliques formés de cercles normaux à (iV Pour cela nous avons pris comme point de départ les équations d'Olinde Rodrigues
!ôx „ de àv „ àc r)z ^ àc
do 00 àz âo dp do
dx „ «'c dv ^ de' dz de"
 »-Ri-^=o. -^-hR, ;^=o, hR,;r-=o,
<7p I a^ i ftz, 1 az 1 az i dz x
où c et pi désignent les paramètres des lignes de courbure, R et Rf
l38 LIVRE Vin. — CHAPITRE VII.
les rayons de courbure principaux de (2). Considérons d'une manière générale le syslème
à\ ,, ()[J. O'k ,^ àfJ.
Il résulte des formules précédentes qu'il admet les solutions particulières
mais nous avons aussi -remarqué (n" 481) qu'il admet encore la solution particulière définie par les équations
Si l'on élimine À entre les deux équations (2), on sera conduit à l'équation du second ordre
qui, devant admettre les solutions particulières
c, c' , c", ex -+- c' y -\- c" z,
sera l'équation tangentielle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure de (i). De même si, entre les deux équations (2), on élimine f/., on trouvera que X satisfait à l'équation
qui n'est autre que l'équation /)o«cfite//e relative au même système conjugué puisqu'elle admet les solutions particulières
La liaison que le système (2) établit entre ces deux équations aux dérivées partielles (5) et (6) met en évidence le fait suivant : Vintégration de Vune quelconque des deux équations entraînera celle de Vautre^ qui s'obtiendra par une simple quadrature à deux variables indépendantes . Cela résulte des
LES SYSTÈMES CYCLIQUES. 1 Sg
formules
tout à fait équivaleates à ce système (2
9^9. D'après cela, si l'oa veut déterminer toutes les surfaces ayant même représentation sphérique que (^ — ), il suffira (n" 162) de choisir une solution quelconque jjl' de l'équation (5) et de prendre l'enveloppe du plan défini par l'équation
cX -i- c'y -4- c'Z
Mais, pour établir les relations géométriques qui vont suivre, nous introduirons, au lieu de fi', la fonction
•Jl = ;ji' — (ex -!- c y -+- c' z>,
qui est également une solution de l'équation (5). Le plan qui enveloppe la surface cherchée aura donc pour équation
(8) c<\' — x)-i- c'(Y — y)-H c'(Z — z)=ii,
de sorte que toute surface ( i) avant même représentation sphérique que ( — ) sera définie par les trois équations
I àc . , , àc' , , Oc' , . i)x
. </fil «Si O^y <J?x
OÙ x . v', z' désignent les coordonnées du point de (i') pour lequel le plan tangent est parallèle au plan tangent de ( — )• Prises séparément, les trois équations précédentes représentent. Tune le plan tangent, les deux autres les plans principaux de (— )•
950. Les formules que nous venons de rappeler permettent de démontrer presque immédiatement un théorème de Ribaucour. Associons à la solution sx la fonction >. vérifiant les deux équations (2) et définie par la première quadrature (7). En multipliant
<)c , . , àc .
, àc- . , ào
l4o LIVRE VIII. — CHAPITRE VII.
par Pi et R, respeclivemenl les deux dernières équations (9), on pourra leur donner la forme
l àx . , . ày . , . ôz . , . ô\
Si l'on j regarde pour un inslanl x' , y', z' comme des coordonnées courantes, ces deux équations représentent évidemment la normale à (— ')• D'autre part, considérons la sphère (S) définie par l'équation
(II) (x'—xy-h{y—yy-i-{z' — zy^ — 2i.
Les mêmes équations (10) représentent la corde qui joint les deux points de contact de celte sphère avec son enveloppe. Comme la sphère (S) a son centre au point (x, y, ^) qui appartient à (2), on peut donc énoncer la proposition suivante :
Étant données deux surfaces (2), (i) ayant même représentation sphérique, chacune peut être considérée comme normale aux cordes de contact d^une jamille de sphères avant leur centre sur Vautre surface (^ ).
Les deux familles de sphères dont il est question dans l'énoncé précédent ne sont même pas entièrement déterminées quand on connaît seulement les deux surfaces (2), (i'). Considérons, par exemple, la sphère (S) définie par l'équation (1 1); son rayon ^/ — aX dépend de X qui, lorsque (2') est connue, c'est-à-dire lorsque [t. est donnée, est défini par la première des quadratures (■y). On peut donc toujours ajouter une constante à A, c'est-à-dire augmenter d'une quantité déterminée quelconque les carrés des rayons de toutes les sphères qui composent les familles dont il est question dans l'énoncé précédent.
Le théorème de Ribaucour conduit à une nouvelle solution du problème de la représentation sphérique. Comme )- est une solution de l'équation (6), c'est-à-dire de l'équation ponctuelle rela-
(') RiBAUoouR, S«/' une propriété des surfaces enveloppes de sphères {Comptes rendus, t. lAVII, p. i33^; 1868).
LES SYSTÈMES CYCLIQUES. l4l
live au système conjugué formé par lesligiies de courbure de (2). on voit que toute solution À de cette équation donnera les normales à l'une des surfaces cherchées ( '-) par les équations (lo), c'est-à-dire comme cordes de contact de la sphère définie par Véquation (n). Mais remarquons que, pour avoir effectivement la surface cherchée, et non plus seulement ses normales, il restera à déterminer p. parla seconde des quadratures (7). La constante introduite par cette quadrature fournira toutes les surfaces admettant les mêmes normales.
951. Nous avons vu au n" 482 qu'à chaque système cyclique formé de cercles normaux à (2) on peut associer un système X, fx de solutions du svstéme (2) et vice versa. Etudions les relations géométriques entre ce système cyclique et le couple des surfaces (2), (2^, admettant la même représentation sphérique et correspondant à la solution [x.
Soient ifig. 87) M et M' deux points correspondants quelconques des surfaces ( i), (i'); MR. M Ries deux normales en ces points aux deux surfaces, normales nécessairement parallèles. Reprenons les équations (69) et (6o^ données aux n^'^-iSl, i82 [II, p. 34.] .
/ (?'-»- ui) [(X — a:)» -H(Y — ^)s-j-(Z — zY-'
^ (X - x)î + (Y -yy.^(^L-zY]
^[(X-xV~(Y-v)î-h(Z-=)^:
[âc .. , àc -. , àc' 1
-T— (X — XI -H -r— < \ — r j -(- -T— ( Z — :: I = o. à?i ' dpi ' - c^pi J
équations qui font connaître les coordonnées X, \ , Z d'un point variable en fonction des trois variables p, pj, oj. Nous avons vu que les valeurs de p, pi, pa tirées de ces trois équations sont les paramètres des trois familles qui composent le système ortho£;onal. Si nous considérons seulement les deux dernières équations < i2\ elles représentent, pour chaque svstème de valeurs de 0 et de o,.
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un cercle (C) normal en M à (i), cercle qui engendre le système cyclique considéré. La sphère représentée par la première des équations (12) admet, lorsque p et p^ varient, une enveloppe à deux nappes qui se compose de la surface (li) et d'une des surfaces normales à toutes les positions du cercle (C). L'ensemble
Fis;. S-.
de ces enveloppes forme la famille des surfaces de paramètre po. Prises séparément, la deuxième et la troisième équation représentent deux sphères orthogonales se coupant suivant le cercle (C) et tangentes e/i tous les points de ce cercle aux enveloppes de sphères (E), (E, ) qui constituent la deuxième et la troisième famille de notre système orthogonal. Par exemple, pour obtenir toutes les enveloppes (E) de paramètre p, on peut éliminer p^ entre les deux dernières équations (12) ou, ce qui est la même chose quant au résultat, prendre l'enveloppe de la sphère définie par la seconde équation en faisant varier pi seulement. Tous ces résultats sont acquis et ont été démontrés au Livre IV, Ghap. XV. Comme d'ailleurs on peut toujours se donner arbi-
LES SYSTÈMES CYCLIQUES. lO
trairement la surface ( — ), il est clair que les équations précédentes définissent le système cyclique le plus général rapporté à l'une quelconque des trajectoires orthogonales de tous les cercles, pourvu que l'on choisisse pour X et ft les solutions les plus générales du système (2) relatif à la surface (i).
952. Tous ces points étant rappelés, reprenons les deux dernières équations (9) qui définissent la normale à la surface (i') et comparons-les aux deux dernières (12) qui représentent le cercle (C). On passe des unes aux autres par la substitution
\ — X ^ — .» /. — ; ( X — X.- — . \ — vv--^, Z — - ,--
Ces formules considérées comme établissant une relation entre les deux points (X, Y, Z) et (j/,^"^, 5') définissent évidemment une inversion dont le pôle est le point M et dont le module est y — 2/.. cest-à-dire dont la sphère principale est la sphère (S). Cette même substitution, appliquée à la première des équations (12), la transforme de même dans la suivante
c'est Féqualion d'un plan qui envelopppe une surface (i") parallèle à (2') et menée à la distance oo de (2'). On peut donc énoncer le ♦héorème suivant :
Étant données deux surfaces {!>), (2') qui ont la même représentation sphérique, soient M, M' deux points correspondants pris respectivement sur ces deux sur/aces. La normale en ^M peut toujours être considérée comme la corde de contact d'une sphère (S) ayant son centre en M et dont le rayon y/ — 2/. dépend de la quadrature qui détermine À. La figure inverse de cette normale par rapport à la sphère (S) est un cercle (G) dont les différentes positions engendrent un système cyclique.' Ce cercle, évidemment normal en M à (2), passe par les points d'intersection P et Q de la sphère (S) et de la normale en M'. Les différents points m', m" de ce cercle qui sont les inverses de M ou de tout autre point M" de la normale situé à une
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distance invariable de M' engendrent les différentes surfaces normales à toutes les positions du cercle (G). Enfin les deux sphères qui sont les inverses des plans principaux de {1!) sont celles qui touclient les deux enveloppes de sphères (E), (Ei) auxquelles appartient le cercle (C), enveloppes qui sont engendrées par ce cercle lorsqu'il se déplace de telle manière que le point M décrive une des lignes de courbure de (2). Les centres de ces deux sphères sont évidemment au point de rencontre des tangentes principales de {^) en M et de Vaxe du cercle (C).
953. Il résulte de cette première proposition qu'à tout couple de surfaces (i), (i') admettant la même représentation sphérique on peut faire correspondre une infinité de systèmes cycliques formés de cercles normaux à (2); car on peut toujours ajouter une constante arbitraire à la fonction X.
Cette proposition peut d'ailleurs revêtir une autre forme si l'on considère comme connu un système cyclique, engendré, par exemple, par le cercle (C), et si l'on envisage trois trajectoires orthogonales quelconques (D), (2|), (I^a) de ce cercle.
Soient {fig. 8^) M, m\ m" les points où ces trois surfaces coupent le cercle (C). La première (2) pourra toujours jouer le rôle de la surface de même nom dans l'énoncé précédent; la connaissance des deux points m', m" nous permettra de reconstituer toute la figure et de retrouver, en particulier, les points M', M".
En effet, dans le plan du cercle (C), la droite M'M" sera évidemment déterminée par la condition d'être parallèle à la tangente en M au cercle (C) et d'avoir le segment M'M" intercepté entre les droites concourantes Mtu', Mm" égal à une longueur constante quelconque pa- Cette droite sera normale aux surfaces (i'), (2") décrites par les points M', M", et ces deux surfaces parallèles admettront pour leurs lignes de courbure la même représentation sphérique que (D). Leur normale commune M'M" sera la corde de contact de la sphère variable de centre M qui passe par l'intersection de cette normale même et du cercle (C).
Quand on fei-a varier la constante p2, toutes les surfaces décrites par le point M' seront celles que l'on obtiendrait en multipliant la
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fonction fx par uae constante quelconque, dans l'équation (8), ce qui est évidemment permis.
954. Ces propositions préliminaires une fois établies, revenons à l'élude que nous avons interrompue à la fin du Chapitre précédent. Etant données deux surfaces (i). (i') de même représentation sphérique. soient (d), {d') leurs normales, nécessairement parallèles, en deux points correspondants. Le plan (P) de ces deux droites enveloppe une surface que nous désignerons par (0<). Quand la surface (6, ) se déformera en entraînant les deux droites, elles ne cesseront pas, dans leurs nouvelles positions, d'être normales à des surfaces (n" 760) et, de plus, les développables qu'on peut former avec elles ne cesseront pas de se correspondre in" 944). Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante, due à Ribaucour ( ' ) :
Quand deux sur/aces (2), (i') admettent la même représentation sphérique, le plan des normales correspondantes emeloppe une surface (©i)- *^* ^^ surface < B^) se déforme en entraînant les deux normales dans ses différents plans tangents, celles-ci ne cessent pas d'être normales à des surfaces admettant la même représentation sphérique.
Mais il importe d'examiner surtout un cas particulier de celte déformation. Construisons le cercle (C) défini plus haut, normal en M à (i) et déformons la surface (0,) de telle manière que l'une des sphères de rayon nul passant par le cercle (C) se réduise à un point fixe A invariablement lié à la forme nouvelle (B) de ('©,). Si l'on fait rouler la surface (8) sur (Qi)* ^^ point M sera toujours sur une droite isotrope passant par A et invariablement liée à (0) (n°' 936 et 947); la normale en M à la surface (1) sera l'intersection du plan de contact de (0) et de (0,) par un plan isotrope déterminé (I) du système mobile, plan qui sera tangent au point-sphère A suivant la génératrice isotrope AM (n" 936). Enfin, les seules droites parallèles à (d) situées dans le plan de contact, et qui pourront engendrer des
(') Ribaucour, Xote déjà citée plus haut ^p. 127].
DARBOLX. — IV. 10
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congruences donl les développables correspondent à celles de la congrnence des normales à (2i), seront les intersections du plan de contact par des plans isotropes détermines, parallèles au plan (I) de la ligure mobile (n"* 936 et 94i). Comme l'on connaît une de ces droites, qui est la normale à {!') en M', on voit que cette droite {d') sera elle aussi dans un plan isotrope déterminé (I') du système mobile, plan qui sera parallèle au premier (I). Ainsi, nous obtenons le résultat suivant, également remarqué par Ribaucour :
Etant données deux surfaces qui ont la même représentation sphérique ^ si la surface (0|) enveloppe du plan qui contient leurs normales en des points correspondants se déforme en entraînant ces droites, elles ne cessent pas d^être normales à des surfaces ayant la même représentation sphérique; et il existe une déformation (0) de (0i) dans laquelle les droites sont amenées à décrire deux plans isotropes parallèles.
953. Il résulte de ces propositions que, si tout couple de surfaces applicables conduit (n" 947) à une infinité de couples de surfaces admettant la même représentation sphérique, inversement tout couple de surfaces admettant la même représentation sphérique fournit une infinité de couples de surfaces applicables. Il ne sera pas inutile d'insister sur la nature et l'étendue des opérations par lesquelles on déduit l'un de l'autre le couple de surfaces applicables et le couple de surfaces admettant la même représentation sphérique.
Si l'on part d'abord du couple de surfaces applicables (0), (0i), nous avons vu (n" 947) que, pour obtenir deux surfaces admettant la même représentation sphérique, il faut faire rouler (0) sur (0|) et prendre les points d'intersection avec le plan de contact de deux droites isotropes parallèles, invariablement liées à (0). Ces deux points d'intersection décrivent les surfaces cherchées (2), (i'). Toutes les opérations par lesquelles on les obtient n'exigent donc aucune intégration et introduisent les cinq constantes arbitraires dont dépend la position des deux droites isotropes parallèles.
936. Supposons, au contraire, qu'on se donne les surfaces (i),
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(i') admettant la même représentation sphérique, el conservons toutes les notations employées au début de ce Chapitre. Il faudra d'abord construire les cercles (C) normaux à (i) et, par conséquent, effectuer la quadrature qui détermine À ; mais, cette quadrature une fois obtenue, il ne restera plus à faire que des différentiations et des éliminations. En effet, lorsqu'on a un système cyclique et les trajectoires orthogonales des cercles qui le composent, la surface (8<) est l'enveloppe des plans des cercles. Quant au système mobile formé de la surface (0) qui roule sur (0,) et des points qui lui sont invariablement liés, on le déterminera comme il suit. Nous en connaissons un premier point O qui est l'un des points-sphères passant par le cercle ( C ). Si m et m désignent les points où ce cercle est coupé par deux de ses trajectoires orthogonales, les plans isotropes touchant le point-sphère O suivant les droites O m. Om sont des plans déterminés du svstéme mobile se coupant suivant une droite invariablement liée à ce système. On pourra ainsi obtenir, en nombre aussi grand qu'on le voudra, des droites passant par le point O du svstème mobile. Trois de ces droites forment un trièdre invariable auquel on pourra rattacher un trièdre trirectangle: et les dislances du point où (0,) touche le plan du cercle (C) aux trois faces de ce trièdre trirectangle ne seront autres que les coordonnées du point correspondant de la surface cherchée 1^0), rapportée à des axes invariablement liés à cette surface. Cette surface sera ainsi déterminée sans aucune quadrature nouvelle.
Si l'on substitue aux surfaces (i), (i'") celles que l'on obtiendrait en remplaçant successivement, dans l'équation (8) du plan tangent, [j. par une fonction linéaire quelconque des solutions c, c', c" , IX, ex -f- c'y -r c'-z. on verra facilement qu'ici encore on peut introduire cinq constantes sans qu'il soit nécessaire de faire une nouvelle intégration.
937. D'après les remarques précédentes, ce sont les svstémes cycliques qui établissent le lien entre les deux théories, au premier abord si éloignées, de la déformation des surfaces et de la représentation sphérique. On peut obtenir de tels svstémes. soit en partant d'un couple de surfaces applicables (0), i0|), soit en prenant comme point de départ un couple de surfaces admettant
