CHAPITRE VII

la même représentation sphérique pour leurs lignes de courbure. En développant les calculs qui permettent de les faire dériver d'un couple de surfaces applicables, nous allons rencontrer quelques relations qui viendront s'ajouter utilement aux propositions déjà trouvées ou qui permettront l'application des méthodes indiquées dans les Chapitres précédents.

A cet effet, envisageons d'abord deux surfaces (S), (Si), se correspondant avec orthogonalité des éléments linéaires; et conservons toutes les notations du Chapitre III. Si l'on pose

ce qui donne

(,ô') yY-=-i-n

les deux surfaces (0), lieu du point (X', Y', Z'), et (0i), lieu du point (X'j, \'j, Z'j), seront applicables l'une sur l'autre. Cela résulte immédiatement de l'identité

dx clxi -f- dy df] -\- dz dzi — d\\- -+- d\'f -+- d7.'f — dX'- — dY'^ — dZ'-.

La surface (0,) est décrite par le milieu du segment MM, qui réunit les points homologues M, M, de (S) et de (S,); la surface (0) est le lieu de l'extrémité du segment égal à la moitié de M|M, partant de l'origine des coordonnées. Les deux surfaces s'échangent l'une dans l'autre lorsque l'on change le signe de Xt, y.\, ^1, c'est-à-dire lorsque l'on remplace la surface (Si) par sa symétrique relative à l'origine des coordonnées.

Considérons la sphère (U) passant par l'origine des coordonnées et décrite du point (X', Y', Z') comme centre. Lorsque l'on fera rouler la surface (0) sur la surface (0i), cette sphère entraînée avec la surface (0) aura son centre au point (X'^, Y'j, Z'^); et nous avons vu (n'* 938) que les points où elle touchera son

LES SYSTÈMES CYCLIQUES. l49

enveloppe seront les centres de sphères de rayon nul coupant le plan tangent à i 6 » suivant un même cercle (C) qui engendrera un système cyclique. L'équation de la nouvelle position (Ui) de la sphère (U) est évidemment

ou. en remplaçant X', X'j, ... par leurs valeurs (iS),

(^17) (\ — x) (\ — Xi) -h {\' — y } {\ — Vi > -h {Z — z) (Z — zi) = o.

Cette équation réprésente évidemment la sphère décrite sur le segment MM| comme diamètre. Les points où elle touche sou enveloppe s'obtiendront en joignant à l'équation précédente sa différentielle totale

(X — -r) dxi -+- (Y — ^)t/>'i -H I Z — z)dzi -h (X — .ri » dx -^ I Y — Vi ) dy -^ tZ — Zi) dz — o.

En tenant compte des relations (5) [p. 49] entre les différentielles dx, dx^.. ... on peut donner à cette dernière équation la forme suivante

[X — X — c(Y — yi)-^b(Z — Zi)\dxx -+-[Y — y — a{Z — Zi) -)-c(X — Xi)\dyi -h[Z — :; — bi\ — Xi) -t- a(Y — jki)] dzy — o.

et comme dx^^ dy^, dz^ sont reliés uniquement par l'équattOD

ai d/xi -f- 61 â^»'i -î- Cl </i;i = o,

on aura nécessairement

ai

Ces deux équations représentent la corde de contact de la sphère avec son enveloppe. On pourra les remplacer par les deux sui-

l5o LIVRE VIII. — CHAPITRE VU.

vantes

— «ifZ -

-z)-hCiiX-

— ic ) -f- ai ( Y -

qui s'en déduisent immédiatement si l'on échange, ce qui est permis, les points M et Mi ou bien les surfaces (S) et (S)).

938. Avant de poursuivre le calcul et de déterminer les points d'intersection de la droite précédente avec la sphère (U,), remarquons que cette droite est nécessairement perpendiculaire au plan tangent de la surface (0|)- Cette remarque nous fournit un moyen d'obtenir la direction de ce plan tangent et un calcul facile donne, pour les cosinus directeurs Ci, C'i, C" de la normale à la surface (0|) les expressions suivantes

/ y'^^i Cl = a — CTi -f- ftci — chx ('■Ao) < ^'KKiC, = 6 — Al -f-cai — aci,

( V KKi Cj = c — Ci H- ah^ — 6«i,

où l'on a posé, pour abréger,

Gomme on passe de la surface (0i) à la surface (0) en changeant le signe X\^ ri, ;,, a, «<,..., un calcul analogue donnera, pour les cosinus directeurs C, C, G" de la normale à cette surface, les expressions suivantes

[ ^'KK 1 C = r< — (Il — hci H- c^i,

(22) J ^kk]C'= 6— 61 — crti-H «Cl,

[ ^ KKi (7'= c — Cl — (th\ -f- A«i,

où le signe des radicaux a été choisi de telle manière que les

LES SYSTEMES CVCLIQUES.

portions positives des deux normales soient du même côté par rapport aux surfaces (O), (8^) (').

959. Ces expressions des cosinus directeurs des normales aux deux surfaces (8), (^i) nous conduisent à la proposition suivante :

En calculant les différentielles <fC,. d\\ et tenant compte de

la relation

C, dX\ -+- Cj <A", -4- C' ^Z', =o,

on formera l'identité

= V f/(ji rLr — <ix\\ — V da\ ydjc -f- dx\ i

a dni f/jr -+- dxi b dbi dy ■+- dvi c dc\ dz -i- dzi

«I da dur -^ djc\ bi db dv — dy\ Cl dr dz H- dzi

Si l'on remarque que les relations différentielles (5) et (45) du Chapitre III conduisent à des identités telles que les suivantes

a dai dxi

b dbi dvi

c dcx dzi

a dui dx

b dbi dy

c dci dz

= ^doidx,

= — I o- — b- -r- c-} V dai dxi

on donnera à la relation (aS) la forme suivante

(24) ay KKi V dCidSJi = Ki^da dx — ï^ \ daidxi.

Cl Les relations différentielles entre x,y. :, J"i. if -... ne changent pas si l'on remplace t., y^. ^i par Ax,, fiy^. hz^; a., b^. c,. par /ja,. fib^. hc^ et a, b. c par

1,' T' h' ^ désignant une constante quelconque. Si cette constante devient très

petite, X,, ^-,, ^i deviennent très petites et les deux surfaces (O), (6,) viennent se confondre. Il faut donc que les expressions (21) et (22) des cosinus se rapprochent, ce qui entraine la détermination du signe pour les secondes (22).

l54 LIVRE VIII. — CHAPITRE VII.

conduit aux trois équations

[ \— .{■— c{Y —yi)-h bri — zi) = o,

(■27) ( Y — ■}■ — rt(Z — ^i) -4- c{\ —- xi) = o,

( L — z — b{X — a-i) -+- a{\ — Vt) — o,

qui déterminent l'un des deux points de contact cherché. Le second sera défini par les équations analogues

. \—Xi — Ci {Y —y)-hbi{Z — z) — o, (28) . .y ,j,,j(Z ;), Cj(X — aO = o,

( Z — -1— 61 (X — x)-h(ii{Y —y) = o,

de sorte que l'un et l'autre, comme il était aisé de le prévoir, se déterminent rationnellement. Remarquons que le premier est dans le plan tangent de (S), comme il résulte de l'équation

conséquence des formules (27); et que le second est. de même., dans le plan tangent de (Si). Nous expliquerons plus loin ce lait si curieux.

962. La sphère (Ui), que nous avons été conduit à introduire dans la théorie précédente, donne naissance à quelques propriétés parmi lesquelles nous signalerons la suivante :

Les points où elle coupe la droite d'intersection des plans tangents à (S) et à (Si ) sont dans les plans focaux de la droite MM, qui réunit les points correspondants de (S) et de (S^).

Mais nous préférons insister sur le rôle qu'elle joue dans l'inversion composée.

Reprenons les formules données au n" 903 et qui définissent celte transformation. Étant donnés deux points M, M, dont les homologues soient M'. M'j ; considérons les deux sphères (V) et ( V) décrites respectivement sur MM, et sur M'M'j comme diamètres. Ces deux sphères sont les inverses l'une de l'autre relativement à l'inversion simple que l'on obtiendrait en supposant, dans les formules (16) [p. 80 J, que les deux points distincts (a?, r, z) et {x^., y^, 5,) soient amenés à coïncider. Admettons ce résultat dont la vérification est aisée : nous voyons qu'on peut en déduire

LES SYSTÈMES CYCLIQUES. l55

uae réduction de l'iaversion composée à l'iaversion ordinaire. En effet, pour définir linversion composée par laquelle on transforme un système de deux points M. M,, on décrira sur MM, comme diamètre une sphère (V) et l'on prendra la transformée (V) de cette sphère dans une inversion ordinaire. Cette sphère (V') aura un diamètre unique dont les extrémités M', M, seront sur les droites OM,, OM qui joignent les points M,, M au pôle de l'inversion; et le segment M' M', sera celui qui doit correspondre à MM,, dans l'inversion composée telle qu'elle a été définie au n» 903.

Il résulte de cette nouvelle définition que, lorsque Ion appliquera Vinversion composée aux deux surfaces (Su (Si), on soumettra en réalité les sphères (Lj) à une inversion simple. 11 en sera donc de même pour les points de contact de ces sphères avec leurs enveloppes, pour les sphères de rayon nul qui ont leurs centres en ces points et, par suite aussi, pour les cercles qui composent le système cyclique dérivé de iS) et de (S,).

963. 11 sera évidemment très utile pour les applications de pouvoir représenter d'une manière simple le roulement de deux surfaces applicables l'une sur l'autre. Or les résultats que nous avons donnés au Chapitre lïl nous conduisent, pour définir ce déplacement, à des formules de la plus grande simplicité.

Reprenons, par exemple, les équations (|6) [p. 66] qui définissent la surface (2<). Si nous y remplaçons -c, x,, ... par leurs expressions { i4^ en X'. X',, .... leurs seconds membres prennent la forme

A, : = \', — \— r,. Y', -+- Y') -+- 6,(Z', -+■ Z'\ (29) < y^ — ai z ~ Cij- = Y. — Y — o<jZ.\ -*- Z' ) -i- Ci (X', -+- X').

< y \ — a^z — cxx — Y . — Y

f ^1 — bix -r-a\Y = Z'i — Z — ^ii'X'i -+-X') -+- ai(Y. — Y

Or écrivons ces formules comme il suit

(Bo'ï i — CiX'-r- Y'-t-f/iZ'= ciiX', — jTi-i- Y', — r, — «i(Z', — z^,

' H-AiX' — «■T.Y— Z = — 6i(X', — j-i-i-«|iY'. — .«"-^ Z'i — -1.

et considérons- y pour un instant X', \\ 1! et X',, \\y Z', comme des coordonnées variables, tandis que nous attribuerons des valeurs

l54 LIVRE VIII. — CHAPITRE VII.

conduit aux trois équations

( X— X— c(Y— Vi)-hè(Z— ^i) = o.

(•^7) < Y — j- — rt(Z — Zi) -h c(X — a^i j = o,

( Z — z — b{X — .ri) -4- a(Y — Vj) — o.

fjui déterminent l'un des deux points de contact cherché. Le second sera défini par les équations analogues

. X— .ri — cj (Y — >-)-+- 6, (Z — z) = o,

(28) . .Y__,i,,j(Z — ;)-+- ej(X — X-) = o,

de sorte que l'un et l'autre, comme il était aisé de le prévoir, se délerininenl ratio7inellement. Remarquons que le premier est dans le plan tangent de (S), comme il résulte de l'équation

conséquence des formules (27); et que le second est. de même, dans le plan tangent de ip^). Nous expliquerons plus loin ce fait si curieux.

962. La sphère (Ui), que nous avons été conduit à introduire dans la théorie précédente, donne naissance à quelques propriétés parmi lesquelles nous signalerons la suivante :

Les points où elle coupe la droite d'intersection des plans tangents à (S) et à (Si) sont dans les plans focaux de la droite MM, qui réunit les points correspondants de (S) et de (S^ ).

Mais nous préférons insister sur le rôle qu'elle joue dans l'inversion composée.

Reprenons les formules données au n" 903 et qui définissent celte transformation. Etant donnés deux points M, M, dont les homologues soient M'. M'j ; considérons les deux sphères (V) et ( V) décrites respectivement sur MM, et sur M'M'^ comme diamètres. Ces deux sphères sont les inverses l'une de l'autre relativement à l'inversion simple que l'on obtiendrait en supposant, dans les formules (16) [p. 80], que les deux points distincts [x^ r, z) et {x^, jK,, z-n) soient amenés à coïncider. Admettons ce résultat dont la vérification est aisée : nous voyons qu'on peut en déduire

LES SYSTÈMES CYCLIQUES. l55

uae réductioa de l'inversion composée à l'inversion ordinaire. En efl'et, ponr définir l'inversion composée par laquelle on transforme un système de deux points M, M,, on décrira sur MM, comme diamètre une sphère (V) et l'on prendra la transformée (V) de cette sphère dans une inversion ordinaire. Cette sphère ( V) aura un diamètre unique dont les extrémités M', M, seront sur les droites OMi, OM qui joignent les points M^, M au pôle de l'inversion; et le segment M' M', sera celui qui doit correspondre à MM,, dans l'inversion composée telle qu'elle a été définie au n» 903.

Il résulte de cette nouvelle définition que, lorsque l on appliquera r inversion composée aux deux sur/aces (S ). (S,), on soumettra en réalité les sphères (t-i) à une inversion simple. 11 en sera donc de même pour les points de contact de ces sphères avec leurs enveloppes, pour les sphères de rayon nul qui ont leurs centres en ces points et, par suite aussi, pour les cercles qui composent le système cyclique dérivé de ( S ) et de (Si ).

963. Il sera évidemment très utile pour les applications de pouvoir représenter dune manière simple le roulement de deux surfaces applicables l'une sur l'autre. Or les résultats que nous avons donnés au Chapitre III nous conduisent, pour définir ce déplacement, à des formules de la plus grande simplicité.

Reprenons, par exemple, les équations (46) [p. 66] qui définissent la surface (2,). Si nous y remplaçons x, x,, ... par leurs expressions { i4) en X', X',, .... leurs seconds membres prennent la forme

l Xi — r,\ ~ f,^ z = \\ — \ — rit\\ -+- Y') H- bi('L\ -+- Z">.

(29) < Vi — ai z -I- CiJ- = y, — Y — «i(Z', -i- Z') -+- Cl (X'i -h X'),

\ Zi— ùiJT -t-aiv = 'L\ — Z — 6i(X'i-hX') -h ai(Y'; — Y' 1.

Or écrivons ces formules comme il suit

(3o^ / — CiX'-^ Y-^Gi'L— CilX'i X)-ir- Y', »-! CTl(Z', 3>,

f -^6iX — 'TjY' — Z = — //iiX'j — .r 1 -i- ^r j * Y'i — .'t-r- Z', — ::i.

et considérons-y pour un instant X , \', Z' et X'j, \\, Z', comme des coordonnées variables, tandis que nous attribuerons des valeurs

l56 LIVRE VIII. — CHAPITRE Vil.

déterminées aux deux paramètres dont dépendent a:, a;,, a,, .... Elles définissent évidemment une substitution linéaire : cette substitution représente un déplacement. Si on les résolvait, par exemple, par rapport à X', Y', Z', on retrouverait les formules célèbres qu'Euler a données, le premier, dans les Nouveaux Commentaires de Pétershourg et qui sont rationnelles par rapport à trois arbitraires (ici a<, 6), c,). Admettons ce premier point que reconnaîtront sans peine tous les lecteurs au courant de la théorie des substitutions orthogonales. Il est clair dès lors que, si l'on fait varier les paramètres qui entrent dans a,, 6,, c,, ar, a7|, . . . , on aura une suite continue de déplacements, ou mieux un déplacement à deux variables indépendantes. Ce déplacement est précisément le roulement des deux surfaces (0), (B, ) Vune sur Vautre. C'est le roulement de (0) sur (0^) si l'on considère les points (X', Y', Z') comme appartenant à la figure mobile; c'est le mouvement'inverse, si l'on considère au contraire conmme mobile la figure qui est lieu des points (Xj, Y'j, Z'^ ).

Pour établir ce résultat essentiel, considérons X', Y', Z' comme appartenant à la figure mobile. Si nous remplaçons, dans les formules (3o), X', Y', Z' par les valeurs (i5) qui correspondent à un point de la surface (0), elles nous donneront lès valeurs (i5)'de Xj, Y'j, Z'j. Donc déjà le déplacement se produit de telle manière qu'à chaque instant le point de la surface (0), considérée comme appartenant à la figure mobile, coïncide avec le point correspondant de (0i). Pour compléter la démonstration, difTérentions totalement, avant toute hypothèse, les formules (3o). La première, par exemple, nous' donnera

f/X'-f- Ci d\' — hi cW ~ dX\ — Cl f/Y'i -f- 6i dZ\

— dci(Y'-+- Y\ —y) -+- r/6i(Z'-t- 7.\ — z),

pourvu que nous remplacions dxt par sa valeur déduite des relations (46) [p. 66]. Or, si nous substituons, dans cette relation générale, à Y', Y\, Z', Z\ les valeurs qu'elles acquièrent pour le pointcommunà(0)età (0i), les coefficients de db^, dc\ deviennent nuls, et il reste la première des trois relations suivantes

d\' -+■ Cl dX' — bi dZ' = d\\ — Ci dY\ -+- bi dZ\,

— CirfX'-f- dY'-+-aidZ'= Ci dX\ -h dY\—aidZ\,

bi dX' — ciidY' -\- dT.' = — bi dX\ -i-aidY\ -+- dZ\^

les deux dernières se déduisant de la première par de simples permutations circulaires. Or ces trois équations, qui sont celles que l'on obtiendrait en différentiant les formules de transformation (3o) où les coejficients seraient traités comme des constantes, expriment évidemment que le point commun à (9) et à (Oi) a le même déplacement en grandeur et en direction quand on le considère, soit comme appartenant à la figure mobile, c'està-dire à (B), soit comme appartenant à la figure fixe, c'est-à-dire à (0|). Ces deux surfaces sont donc applicables lune sur l'autre, ce que nous savions déjà ; et le mouvement considéré est le roulement de l'une sur l'autre.

1)64. Les raisonnements qui précédent s'appliquent sans modification si, au lieu de prendre, comme point de départ, les formules (45^ [p- 66] on emploie les formules i 5 1 [p. 49]- Or» ^st alors conduit à la substitution linéaire définie par les équations

j X'-(-cY' — 6Z'=— I X', — -Jc) -t- c( Y'i — v'i I — bCL'y — ^i),

t 3i I , — tX— \' ^ nZ — — ^1 X', — xi) — (Y', — y) -t-a(Z', — Si), I b\' — «Y'-r- Z = 6(X'i — Xi) — «'.Y', — »! I — (Z', — ;\

toutes pareilles aux- formules (^3o). Seulement, par suite du changement de signe de \' . \', Z'. elle ne représentent plus un déplacement, mais une transformation par svmétrie relative à l'origine des coordonnées, suivie d'un déplacement. On démontrera comme précédemment que, lorsque varient les paramètres dont dépendent a. x. x^. .... ces formules définissent le roulement sur (9|), non plus de (9), mais de la surface symétrique (9).

965. Les formules précédentes permettent de vérifier quelquesuns des résultats que nous a fournis la Géométrie dans l'étude qui a fait l'objet du Chapitre précédent. Appliquons-les, par exemple, à la détermination des systèmes cycliques que l'on peut faire dériver du couple de surfaces applicables (^0), (B, ). Si, dans les formules (3o), on attribue à X', Y', Z' des valeurs constantes quelconques, elles fourniront les coordonnées X.\, \\, 7j\ du pointsphère qui coupe le plan de contact de (B) et de (B,) suivant le cercle (C), dont les différentes positions engendrent le système cyclique cherché. Soit A le point invariablement lié à la figure

l58 LIVRE VIII. — CHAPITRE VII.

mobile : si, par ce point, on mène une droite isotrope délerminée, c'est-à-dire invariablement liée au système mobile, les formules (3o) permettront évidemment d'écrire les équations de celte droite rapportée au système fixe; et le point où elle coupera le plan de contact décrira une des trajectoires orthogonales du cercle (C). Ces trajectoires orthogonales se détermineront ainsi sans aucune intégration; mais, pour déterminer aussi en termes finis les deux autres familles qui composent le système triple, il faudra pouvoir intégrer l'équation du système conjugué commun

à (0) et à (©,)(')•

On obtiendra des résultats identiques en appliquant la méthode

précédente, non plus aux équations (3o), mais aux formules (3i).

Supposons, par exemple, que l'on veuille déterminer le système

cyclique obtenu en choisissant l'origine des coordonnées comme

point fixe du système mobile. Il faudra, dans les formules de

transformation (3o) ou (3i), introduire l'hypothèse

Les premières (3o) deviendront alors identiques aux équations (28) et fourniront par suite un premier point de contact de la sphère (Ui ) (n*"* 957, 961) avec son enveloppe. Les secondes (3i ) deviendront de même identiques aux formules (2^) et fourniront le second point où la même sphère (Ui) touche son enveloppe. Ce sera le point de contact défini par les formules (28) ou (3o) qui deviendra fixe dans l'espace lorsque la surface (0|) se déformera de manière à venir coïncider avec (0)- Ce sera au contraire le second, défini par les formules (27) ou (3i), qui deviendra fixe

(') De là résulte qu'à toute équation linéaire du second ordre dont les invariants sont égaux on peut faire correspondre une infinité de systèmes cycliques dont les trois familles se détermineront par de simples quadratures. Car on peut, à l'aide d'une équation, déterminer une infinité de couples de surfaces (S), S|) et, par suite, (A,), (S,), se correspondant avec orthogonalité des éléments inéaires. Le couple de surfaces applicables déduit de (A,), (SJ admettra, pour réseau conjugué commun, le réseau conjugué commun à (A,), (Si), c'est-à-dire, d'après le Tableau de la page 72, le réseau des lignes asymptotiques de (S). Or ce réseau est entièrement connu; les paramètres des lignes qui le composent sont les variables indépendantes qui figurent dans l'équation linéaire à invariants égaux prise comme point de départ.

si (S,) se déforme de manière à venir coïncider non plus avec (6), mais avec la surface symélrique (®').

966. Nous' pouvons maintenant expliquer de la manière la plus satisfaisante pourquoi ces deux points se trouvent respectivement dans les plans tangents de (S) et de (S,). D'après les théories connues, le déplacement défini par les formules (3o) peut être remplacé, d'une infinité de manières, par une translation finie et par une rotation, toujours la même, dont l'axe et la valeur absolue dépendent uniquement des coefficients a,, bf. C(. Si Q. désigne la grandeur de cette rotation et À, tx. v les angles que fait avec les axes coordonnés la direction positive de Taxe de la rotation, on a. comme on sait,

I 32 » r = = = — tang -•

CO*A COSU COSV 2

On voit ainsi que Taxe de la rotation est perpendiculaire au plan tangent de (S,\ D'après cela, soient M. M, les points correspondants de (S) et de {S^), P, le milieu du segment MM,. Si Ton mène, par l'origine des coordonnées, une droite OP égale, parallèle au segment M,P( et de même sens, il résulte des formules (i4) et (i5) que les deux points P et P< décriront, l'un la surface (0), l'autre la surface [St ). Pour amener les deux surfaces en contact on pourra, par une translation, amener P en P,. ce qui fera coïncider O a^ec M, ; puis effectuer la rotation définie par les formules (32): et. comme l'axe de celte rotation est évidemment perpendiculaire au plan tangent en M, à (Si), elle laissera le point O dans ce plan tangent.

Une démonstration identique s'appliquera au second point défini par les formules (27), pourvu que l'on substitue à la surface (0) sa symélrique relative à l'origine des coordonnées.

967. D'autres formules, qu'il ne sera pas inutile d'indiquer rapidement, permettent encore de définir le roulement de deux surfaces l'une sur l'autre.

Si l'on connaît, par exemple, pour chacune des deux surfaces (6 1, (0, ), les cosinus qui définissent, par rapport à des axes fixes, la position d'un trièdre (T), rattaché de la même manière

l6o LIVRE VIII. — CHAPITRE VII.

à ces surfaces, il est clair que les formules

1 X' = X -^- a.r' -h ùy' -i^ cz', ( 33 ) } Y' — y-\- a' x' -+- b' y' -+- c z ,

où x^ y, z désignant maintenant les coordonnées du point M de (0) qui est le sommet du trièdre (T), et où nous conservons, pour les cosinus, toutes les notations du Livre V, Chapitre 1 et II, définiront le changement de coordonnées par lequel on passe des axes fixes OK', OY', OZ' aux axes Wx', Mj', Mz' formés par les arêtes du trièdre (T). Si l'on écrit les formules analogues relatives à la surface (0i )

I X'i = iCi -t- ai x' -(- bi y' -h C\ z',

(34) } Y\= yi-h a\x'-\- b\y'-{- c[ z', \ 'L'y = ^1 H- a'[ x' -h b'[y' -h c\ g',

l'élimination de x\ y', z' entre les deux systèmes précédents donnera les formules cherchées qui définissent le roulement de (0) sur (0|). Cette élimination ne présente aucune difficulté, l'un et l'autre système pouvant être résolus par rapport à x'^ r', z' : on obtient ainsi les formules

(35) I g6(X'-.r)==gè,(X;-.rO, ^c(X'— .r) = ^c,(X'i — .ri),

qui peuvent elles-mêmes être résolues, soit par rapport à X', Y', Z', soit par rapport à X'^ , Y\ , Z'j .

Si l'on veut, par exemple, trouver les systèmes cycliques qui correspondent au roulement de (0) sur (0^ ), il suffira d'écrire les deux équations suivantes :

l (X'—hy-^ (Y'/,)2+ (Z'/,i=o,

OÙ /i, k, l désignent trois constantes, et qui représentent, la première un point-sphère invariablement lié à (0), la seconde le

LES SYSTÈMES CYCLIQUES. l6l

plan de contact de (9) et de <B|). puis de substituer les expressions de X', \'. Z' en fonction de X',, \\, Z, .

î)68. Une autre méthode très simple peut encore être suivie. Nous avons vu au Chapitre \ I de ce Livre quelle importance ont. en Géométrie, les sections de courbes on de surfaces, rattachées à la surface mobile (0). par le plan de contact de (0) et de (0|). On pourra les •déterminer comme il suit.

Soil, par exemple.

l'équation d'une surface rattachée aux axes invariablement liés à (0 1. Cherchons sa section par le plan de contact. 11 est clair qu'un point de ce plan est défini par des formules telles que les suivantes

f).r ôx

l lUl ' fJv

au

âî-

où >. et ;jL désignent des arbitraires convenablement choisies; x. y, z sont toujours les coordonnées du point de (0). exprimées en fonction des variables u et i . Or, par la nature même des arbitraires À et ix., on reconnaît immédiatement que le point défini par les formules précédentes sera rattaché aux axes invariablement liés à (0, ) par les formules semblables

àx\

où '/. et [x conservent les mêmes valeurs. Pour obtenir la section cherchée, il suffira donc d'éliminer À et y. entre les équations précédentes et la suivante

, , . c- , . àx àx , àv dv , dz àz^^

\ au ' fh- du ' dv du '^ dv J

La méthode s'appliquerait évidemment à une courbe.

DARBOVX.

l6'2 LIVRE VIll. — CHAPITRE VII.

969. Jusqu'ici, dans l'étude des relations entre les systèmes cycliques et la déformation des surfaces, nous ne nous sommes pas préoccupé de la distinction à faire entre les éléments réels et les éléments imaginaires. Par exemple, si deux surfaces réelles roulent l'une sur l'autre, les systèmes cycliques déduits des points reliés à l'une d'elles (0) sont toujours imaginaires; les centres des cercles correspondant à un point réel seront bien réels, mais les rayons des cercles seront des imaginaires à carré négatif. Le moment est venu d'indiquer, en vue des applications, comment il faudra choisir les surfaces (0), (0|) pour obtenir des systèmes cycliques entièrement réels.

Les plans des cercles étant alors réels, la surface (0i ) est nécessairement réelle. Voyons ce que doit être (0), et, pour cela, reprenons les méthodes et les notations du Livre V.

Soient/), ^, r, /?i, ^/i, /% les rotations du trièdre (T) relié à (0); /* et r, seront réelles et exprimées en fonction de l'élément linéaire, comme les translations ^, yî, ?^, rji. D'ailleurs, si l'on considère le cercle situé dans le plan tangent de (0), les coordonnées X, y de son centre sont réelles ainsi que son rayon p ; et si l'on élève en ce centre une perpendiculaire égale à ip, le point {x, y, f'p) doit rester fixe dans l'espace quand le trièdre (T) se déplace de manière que son sommet décrive la surface (0). Cela nous donne les relations suivantes

^ + ^ -4- f<7 p — ry = o, i .Â^ ^ ^' ^ ^'^^ '° ~ '''•^' "" ^'

àv , ^ ày

(4i) \ j- -hr,^ rx —ipp — o, (4i) / —- -h-r^i-h ri.c —ipip= o,

.àp I .do

par lesquelles on .exprime que la vitesse de ce point est nulle pour tout déplacement du trièdre (T). Ces relations prouvent en premier lieu que les quatre rotations yo, q, p^. q^ sont des imaginaires pures. Mais alors les formules qui donnent les dérivées des neuf cosinus exprimées en fontion des rotations montrent immédiatement que l'on peut rapporter la surface (0) à des axes tels que tous les cosinus soient réels, sauf a", b" c, c' qui seront purement imaginaires. Donc les coordonnées X', Y' du point

LES SYSTÈMES CYCLIQUES. l63

de (S) définies par les formules

d\' = a (^ du -r- ^1 dv ) -r- è(T, du ■+- t,i dv), d\' = a\zdu -+- \x dv) -i- b' {\ du -r- t,i dv)

seront réelles tandis que Z', définie par la quadrature c/Z' = a'{ ; du -+- z\ dv) ■+■ b'ir^ du ■+- t,i dv),

sera une imaginaire pure iZ!' . L'élément linéaire de la surface sera

de la forme

d\'-^-^d\'^-—dL"-,

X'. Y'. Z" étant réels.

C'est ici le lieu de présenter la remarque suivante : lorsque nous avons formé (n" 704) l'équation à laquelle satisfait lune des coordonnées X'. ^ ', Z', nous avons indiqué que la forme quadratique

ds^-—d\"'-

n'était pas nécessairement une somme de carrés. On voit que, lorsqu'elle se réduira à une différence de carrés, on n'aura plus de surface réelle correspondant à la solution X', mais on pourra, si l'on connaît déjà une surface réelle admettant l'élément linéaire donné, déduire de la nouvelle solution des systèmes cycliques réels (').

970. Au reste, lorsque l'on aura constitué un système cyclique réel, on pourra passer à tous ceux qui se rattachent au même roulement par la construction réelle suivante, que le lecteur déduira facilement des remarques présentées au n° 943.

Associons à chaque cercle (C) du système donné un autre cercle (C) de son plan, défini par la construction que voici. Aux points où le cercle (C) rencontre deux surfaces déterminées à l'avance parmi toutes celles qui le coupent à angle droit, con-

(') Les formules (40) (4'/ peuvent servir de base à une étude analytique très simple de la congruence engendrée par les axes des cercles dans un système cyclique.

l64 LIVRE VIII. — CHAPITRE VII.

struisons les tangentes, qui seront les normales à ces surfaces trajectoires; puis menons un cercle (C) tangent à ces deux droites en des points qui soient toujours à la même distance de ceux où ces droites louchent le cercle (C). En d'autres termes, déterminons le cercle (C) par la condition que deux des tangentes communes à (C) et à (C) aient une longueur donnée et que leurs points de contact avec (G) soient sur deux surfaces trajectoires données du même cercle. Les différentes positions du cercle (C) engendreront l'un quelconque des systèmes cycliques cherchés.

Les cercles (C) dépendent de trois paramètres; les tangentes communes à deux cercles (C) différents, situés dans le même plan, les touchent évidemment, d'après ce qui précède, en des points qui décrivent une de leurs surfaces trajectoires.

Dans toute cette théorie, il faut considérer les cercles comme ayant des rayons de signes déterminés ^ n'admettant qu'un seul centre de similitude et deux tangentes communes qui vont passer par ce centre. Par exemple, si les cercles sont réels, ce sera le centre de similitude directe quand les rayons auront le même signe, et le centre de similitude inverse quand ils seront de signes contraires. Cette théorie du signe du rayon est connue depuis longtemps ; elle a servi de base à la théorie des cycles de Laguerre. Le lecteur pourra aussi consulter un Mémoire Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphères dans le plan et dans l'espace, inséré par l'auteur en 1872 dans le Tome I, 2*^ série, des Annales de V Ecole Normale.

971. Lorsque la surface (0) roule sur la surface (©i), une développable isotrope (A), invariablement liée à(0), coupe le plan de contact de (0) et de (©i) suivant une courbe (K) dont les positions successives engendrent une congruence. Nous avons vu (n" 762) que ces positions successives sont normales à une famille de surfaces. Dans la Note déjà citée [p. i!20] Ribaucour indique comme une propriété nouvelle que cette famille de surfaces est une fam^dle de Lamé, c'est-à-dire qu'elle fait partie d'un système triple orthogonal. Mais cette remarque avait été déjà donnée depuis longtemps dans mon enseignement, et l'on y est conduit d ailleurs avec la plus grande facilité. Considérons en effet les points-sphères ayant leur centre sur la développable (A) :

LES SYSTÈMES CYCLIQUES. l65

ils coupent le plan de contact de (©) et de (®i) suivant des cercles (G) tous tangents à (R): et si l'on considère un pointsphére déterminé A, la trajectoire du point de contact de (K) et du cercle ( G') qui correspond à A est précisément une surface (i) normale à (G') et. par suite, à (K). Supposons maintenant que le point de contact de (8 ) et de (Bi ) se déplace suivant une des courbes du système conjugué commun. Le point de contact du cercle (G'i et de (K) décrira une ligne de courbure de (i ). Ainsi il existe deux séries de déplacements dans lesquels chaque point de (K) décrit une ligne de courbure de la trajectoire orthogonale. En d'autres termes, on peut associer les courbes (K) en deux familles diflerentes. de manière à constituer un système triple orthogonal.

Î)7î2. On peut compléter encore ces résultats en remarquant que l'on obtient ainsi tous les systèmes triples orthogonaux dans lesquels les surfaces de l'une des deux familles (et, par suite, de deux familles) aient leurs lignes de courbure planes dans un système. \ oici comment nous démontrons celte réciproque.

On doit à Ribaucour la proposition générale suivante, relative aux systèmes triples orthogonaux :

Lorsque l on connaît un système triple orthogonal, les cercles osculateurs aux courbes d'intersection des surfaces appartenant à deux des familles du système, aux points où ces courbes rencontrent une sur/ace quelconque de la troisième famille, forment un système cyclique (M.

(') On peut démontrer cette proposition par la Géométrie de la manière suivante : Soit (S) une surface quelconque appartenant à la première famille et soit (K) la courbe d'intersection de deux surfaces (S,). (S,) appartenant respectivement à la deuxième et à la troisième famille. Si Ton construit les deux splières tangentes à (S.) et à (S^) respectivement, et contenant le cercle osculatenr (C) de (K) an point M où cette courbe rencontre la surfa» e (S), ces deux splières auront pour centres respectivement les centres de courbure principaux de (Sj) et de (Sj) relatifs à la ligne (K). Par suite, lorsque le point M décrira la ligne de courbure de ^S) qui se trouve sur (S.), la première sphère enveloppera une surface qu'elle touchera suivant les positions successives du cercle (C) (n* 752). Il en sera de même pour la seconde sphère quand le point M décrira l'intersection de (S) et de (S.i. On voit donc que les cercles (C) peuvent ètreasso' iés en

l66 LIVRE VIII. — CHAPITRE VII.

On peut compléter cette proposition par la suivante, qui n'est pas moins utile, et dont la démonstration sera mieux à sa place dans une théorie des systèmes orthogonaux.

Réciproquement, étant donnée une famille de surfaces^ construisons les cercles osculateurs aux courbes trajectoires orthogonales de ces surfaces^ aux points où ces courbes rencontrent une surface quelconque de la famille ; la détermination de ces cercles est toujours possible et n'exige nullement V intégration des équations différentielles des trajectoires orthogonales. Cela posé., si les cercles osculateurs ainsi définis forment toujours un système cyclique, la famille de surfaces considérée est une famille de Lamé.

Ces propositions étant admises, donnons-nous a priori un système orthogonal dans lequel les surfaces (S^), (S:î) de la deuxième et de la troisième famille se coupent suivant des courbes planes (K). Soit (A) l'une des deux développables isotropes passant par (K) : si M est un point de (K) et M' le point correspondant de l'arête de rebroussement de (A), la sphère de rayon nul ayant son centre en M' coupera le plan de (K) suivant le cercle (G), osculateur en M. Toutes les positions de (C), relatives aux points M où les courbes (K) rencontrent une des surfaces (S) de la première famille, constituent un système cyclique, d'après le théorème de Ribaucour. Pour tous ces systèmes cycliques, les enveloppes de sphères (Ej), (E:, ), qui forment la deuxième et la troisième famille, coupent sous le même angle le plan de l'une quelconque des courbes (K), cet angle étant celui sous lequel ce plan est coupé par l'une ou l'autre des surfaces (So) ou (S,.) qui contiennent cette courbe. Or, considérons la surface (0i), enveloppe des plans des courbes (K) : si elle se déforme en entraînant dans ses plans tangents les courbes (K) et leurs cercles oscula-

deux familles d'enveloppes de sphères (E,j, (E3) qui se coupent à angle droit puisque,- étant orthogonales à (S), elles coupent cette surface suivant ses différentes lignes de courbure. Les surfaces (Ej), (Ej) se <-oupant de plus suivant une des positions du cercle (C), c'est-à-dire suivant une ligne de courbure, il existera une troisième famille de surfaces, dont (S)'fera partie, qui seront normales aux positions .successives du cercle (C) et qui compléteront le système triple orthogonal.

leurs, les surfaces trajectoires (i) des courbes (K) se transforment dans les trajectoires orthogonales (1') des nouvelles positions de ces courbes (n" 760); les cercles osculaleurs à ces courbes, aux différents points de chaque surface (i), deviennent les cercles osculateurs en tous les points de la surface correspondante (i); et, comme ils ne cessent pas de form.er des systèmes cycliques, il résulte de la réciproque énoncée plus haut que les nouvelles trajectoires (i') form,ent toujours une famille de Lamé. Ainsi toutes les propriétés précédentes subsisteront sans modification. Or il existe une déformation (6) de (^6,) dans laquelle tous les cercles (G) de l'un des svstèmes cycliques précédents viennent se placer sur une même sphère de ravon nul ayant son centre en un point déterminé de l'arête de rebroussement de la développable (A). Les enveloppes de sphères (Es), (Er,) relatives à ce svsléme se réduiront toulos à cette sphère de rayon nul et couperont, par suite, le plan de la courbe ( K ) sous un angle dont la tangente sera /. Cet angle étant le même pour tous les autres svstèmes cycliques formés de cercles osculateurs à la courbe (K\ il résultera de là que. pour chacun de ces systèmes, les cercles viendront se placer sur une même sphère de rayon nul et que. par suite, toutes les dcveloppables isotropes circonscrites aux courbes (K) auront la même arête de rebroussement et viendront se confondre avec lune quelconque d'entre elles. C'est la proposition qu'il s'agissait d'établir (' ).

U73. Les relations géométriques qui résultent de l'étude précédente nous permettent de constituer sans aucune intégration les svstèmes orthogonaux dont l'existence vient d'être établie dès

(') Les systèmes ortliogoiiauv dans lesquels une des trois séries de trajectoires ortliogonales est composée de courbes planes ont été considérés pour la première lois par M. O. Boxxet dans un Mémoire sur tes sur/aces orthogonales, inséré par extrait en 1862 aux Comptes rendus, t. LIV, p. 554 p' 65o. La métliode suivie par Téminent géomètre exigeait encore certaines intégrations; mais il Ta complétée depuis en la faisant connaître dans son enseignement, bien qu'il n'ait rien écrit depuis 1862 sur ce sujet. En i89o-i8.]|i, M. Bianchi a fait paraître au t. XIX des Annali di Matematica, p. 177, un Mémoire intitulé : Sui sistemi tripli ortogonali che contengono una série di superficie con un sistema di linee di rurvatura piane, où la détermination de ces systèmes orthogonaux est faite de la manière la plus complète. A la même époque, dans notre Coui-s sur

l68 LIVRE VIII. — CHAPITRE VU. — LES SYSTÈMES CYCLIQUES.

que l'on connaît un système cyclique quelconque. Étant donné, en effet, un tel système, engendré par les différentes positions d'un cercle (C), choisissons une position de ce cercle, arbitraire mais fixe; et, dans le plan de cette position particulière, construisons, d'après les règles données au n" 970, une famille quelconque de cercles (G ). Construisons, par exemple, une série de cercles (C) tangents à une courbe quelconque de ce plan. Les cercles (C) engendreront une suite simplement infinie^ une famille de systèmes cycliques. Le système cherché sera, en quelque sorte, l'enveloppe de tous ces systèmes; c'est-à-dire que toutes les positions des cercles (C) qui seront dans un même plan envelopperont la courbe (K) relative à ce plan et que la surface décrite par le point de contact de l'un des cercles (C) et de cette courbe (K) sera une trajectoire orthogonale de la courbe. Les deux autres familles du système orthogonal correspondront aux deux autres familles du système cyclique donné.

Il est clair que cette génération dispense de tout calcul. Il résultera des remarques faites plus loin que les formes les plus simples des courbes (K) sont, après les cercles, les sections planes de la dévcloppable isotrope du quatrième ordre.

les systèmes ti'iples ortliogonaux, nous donnions, en même t<;mi)s que les résultats indiqués dans le texte, une autre méthode qui repose sur la remarque, évidente d'après les déveloj)pements donnés plus liant, que les systèmes clierchés ont même représentation sphérique qu'une infinité de systèmes cycliques. Cette remarque permet de les déduire des systèmes cycliques par l'application d'un théorème de Combescure, qui rattache à tout système orthogonal une infinité de systèmes analogues admettant la même représentation spliérique. Nous reviendrons sur ce sujet plus loin, au Chapitre XII.