CHAPITRE VIII

REPRÉSE>TATION SPHÉRIQLE. SOLlTIO-\ COMPLÈTE DV PROBLÈME.

Emploi des coordonnées tangentielles a. ,3, J. — Réduction du problème de la représentation sphérique à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du second ordre dont les invariants sont égaux. — Les caractéristiques de cette équation sont les lignes de courbure de la surface, — Rapprochement entre les deux surfaces qui conduisent à la même équation du second ordre, lune pour le problème de la déformation infiniment petite, l'autre pour le problème de la représentation sphérique. — Ou retrouve la transformation de contact de M. Lie. — Notions générales sur une classe étendue de transformations de contact. — Application à celle de M. Lie. — Recherche des surfaces pour lesquelles on sait résoudre le problème de la représentation spliérique. — On démontre que, lorsqu'on sait résoudre ce problème pour une surface (2), on peut le résoudre, à l'aide d'une simple quadrature, pour tontes les surfaces inverses des surfaces (£') admettant même représentation sphérique que (£). — Ce procédé, appliqué aux surfaces qui correspondent à l'équa-

tion - — — = o, fournit toutes les surfaces réelles pour lesquelles on peut

obtenir la solution complète du problème. — Démonstration analytique de ce résultat. — Compléments donnés aux développements du Livre IV. Chap. VIL

074. Pour approfondir les relations que nous avons signalées entre les deux problèmes de la représentation sphérique et de la déformation infiniment petite, nous ferons connaître ici une méthode analytique, dillérente de celle qui a été développée dans le Chapitre précédent, et par laquelle on ramène la détermination de toutes les surfaces admettant une représentation sphérique donnée à l'intégration d'une équation linéaire du second ordre dont les invariants sont égaux.

Xous avons vu ( n" 163 i que. si l'on prend l'équation du plan tangent à une surface (i i sous la forme

(i) (2-i-3)X-Htf3 — a)YH-(a3— I ,Z^; = o.

; étant une fonction des variables y. et 3>, les lignes de courbure

ija