LIVRE Vin
- CHAPITRE Vin.
suivante
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c'est-à-dire à rinlt'igration de l'équation linéaire
')'^<)yy A >);.Jç.i
{)7G. Il ne sera pas inutile d'indiquer ici les formules qui permettent de passer de la surface (S) à la surface (1). Soient X, Y, Z les coordonnées rectangulaires du point de (2); elles sont définies par les équations (n" 165)
iY)[
Si l'on y remplace a, [3, £, p\ q' par leurs expressions tirées des formules (-) et (9), on trouvera le système
(ifi)
d'où l'on tirerait X, Y, Z en fonction de x, y, z, />, q. Ces formules caractérisent précisément la transformation de M. Lie, et les deux premières, qui ne contiennent pas les dérivées p él q àa z^ contiennent implicitement la troisième, d'après la théorie des transformations de contact. Nous allons rappeler rapidement sur quels principes repose la théorie de la transformation précédente; et pour cela nous considérerons d'une manière générale toutes les transformations de contact que l'on peut rattacher à la considération de deux équations de la forme suivante
( ?(-^>.ri =, >^, ^", z) = <>.
( çi(.r, )-, z,X,\, Z) = o.
Ces relations établissent une liaison entre les coordonnées :r, j", z et X, Y, Z de deux points m et M de l'espace. Si le point m est donné, le point M est assujetti à se trouver sur une courbe (G); et si l'on a donné le point M, le point m est assujetti à se trouver
REPRÉSENTATION SPHÉRIQLE. 17'i
sur une courbe (c). Suivant que l'on y considère x, r, -z ou X, Y, Z, comme des constantes, les deux équations précédentes représentent la courbe ( C ) ou la courbe [c).
D'après cela, si le point m est assujetti à décrire une surface (*), les courbes (C^ qui lui correspondent dépendront de deux paramètres et engendreront une congruence qui admettra une surface focale (S). Faisons correspondre ( S ) à [s) de telle manière qu'au point m de (s) corresponde l'un quelconque des points M où la courbe (C) correspondante touche la surface focale (^S), c'està-dire en définitive un des points focaux de iGV Nous aurons ainsi défini la transformation de contact que l'on peut rattacher aux deux équations ( 17 K et il est aisé de voir que cette définition subsiste lorsqu'on échange les deux points M et m. Pour abréger. nous nous contenterons de donner la démonstration analytique.
977. Supposons que le point m décrive une surface (s) et soient
alors p el q les dérivées de z considérée comme une fonction de x
et de y. A chaque point de [s) correspond une courbe ( C » définie
par les équations (17); et, pour avoir les points focaux de
cette courbe, il faut joindre à ces deux équations les suivantes
(n^Slo)
\ -^ cLr -H —^ av -t- — - a; = o, 1 ax à y f)z
f --^ djc -\ — ;^ av H ^ dz = o,
V fJx oy • ifz
qui nous donneront, en remplaçant dz par sa valeur p dx -h q dy et éliminant le rapport de dy à dx^
fi\
liz
P àz ây ~^^ '-
àz
Cette équation, que l'on peut mettre sous la forme plus symétrique
,H àz.
du
àz,
àz
àz.
àz
àz
doit être jointe aux deux précédentes (17) et permettra de déterminer X, Y, Z, en fonction de jc, y, z, />, q. Le point M qui correspond à m sera ainsi défini.
Mais alors difiérentions totalement les équations (17 ) et formons la combinaison do — Idof où 1 désigne la valeur commune des rapports (19)- En tenant compte des équations
àx ' àz
qui définissent cette variable auxiliaire À, on aura identiquement
ou, en désignant par P et Q les dérivées de Z considérée comme fonction de X et Y et en remplaçant <iZ par P c?X + Q dS.
X et Y étant des variables indépendantes comme x. r, on aura donc
ào \-> 'l± __• ('hl —X>'hl
,ÏL
ÔL
Ces équations, jointes aux précédentes (17) et (21), permettront de déterminer l'un des deux groupes de variables x^ y, z, p, q ou X, Y", Z, P, Q en fonction de l'autre. Comme elles se composent de la même manière avec ces deux groupes de variables, la réciprocité que nous avions signalée se trouve ainsi établie.
978. Appliquons ces notions générales, que nous nous contentons de signaler à grands traits, au cas particulier des deux équations
Ici la ligne (C) est toujours une droite isotrope. La ligne (c) qui correspond au point M(X, Y, Z) est une certaine droite appartenant à un complexe linéaire H que l'on définit comme il suit : •
Si l'on adopte les définitions du n" 139, la droite lieu du point (x. y, z), définie par les formules précédentes, aura ses six coordonnées définies à un facteur près par les relations
et, par suite, elle appartient nécessairement au complexe H défini par l'équation
Il faudra joindre aux deux équations (aS) les suivantes
^^"^ I ey 0^>.(/-vO) = o.
//= X2— Y^— Zî.
d'où
l'on déduit les deux systèmes
