I -^ py

^. .^. x-^yip.r~qy — z)

i — py

Q nv;,^

x=.vZ-+-X — /Y,

^ = Z-.v.X-4-iY),

i—py ^ I-+-P»

qui sont résolus respectivement par rapport aux deux groupes de variables.

On voit que, si à un point m correspond un seul point M, au contraire à un point M correspondent deux points m. Cela était évident a priori par la Géométrie. En effet, lorsque le point m décrit une surface (S), la droite qui lui correspond engendre une congruence; mais, comme cette droite est isotrope, elle a un seul point focal à distance finie. C'est cet unique point focal qui corres-

pond au point m. Au contraire, si M décrit une surface (S), la droite qui lui correspond engendre une congruence dans laquelle elle admet deux points focaux. Les deux nappes focales ainsi obtenues, qui, l'une et l'autre, correspondent à (S), sont polaires r(''ciproques par rapport au complexe linéaire auquel appartiennent toutes les droites (c).

\n\). Ce n'est pas ici le lieu d'étudier, avec tout le soin qu'elle mérite, l'importante transformation de M. Lie. Nous nous contenterons d'en indiquer seulement certaines propriétés, dont nous aurons à faire usage; et, en premier lieu, nous démontrerons la plus importante de toutes pour les applications : A une droite de V espace (m) la transformation fait correspondre une sphère de V espace (M).

On peut établir cette proposition par les considérations géométriques suivantes, qui en font bien comprendre l'origine.

Soit (c?) la droite donnée dans l'espace (m) et soit (t/i) sa polaire réciproque par rapport au complexe H. Toutes les droites qui rencontrent (c?) et (g?i) appartiennent, comme on sait, à ce complexe. Aux dififérenls points de {d) et de id^) correspondent des droites isotropes dans l'espace (M); de plus, les droites isotropes qui correspondent à un point m de (<i) et à un point m^ de («?,) se coupent nécessairement au point de l'espace (M) qui correspond à la droite nim^ du complexe H. Il est ainsi établi que les droites isotropes correspondantes, soit aux points de (<i), soit aux points de (<ii), engendrent une même surface qui, étant doublement réglée, ne pourra être qu'une sphère.

Si la droite {d) appartient au complexe H, elle se confond avec {d^) et, par suite, les deux systèmes de génératrices rectilignes de la sphère se confondent. La sphère précédente se réduit à un point. Ce point est celui qui, dans l'espace (M), correspond à la droite (^/).

Le lecteur vérifiera tous ces résultats par le calcul, en employant les formules (28) à (29).

980. D'après cela, si nous connaissons dans l'espace (m) une congruence rectiligne, il lui correspondra, dans l'espace (M), un système doublement infini de sphères. Aux points focaux de

chaque droite de la congruence correspondront les deiii points où chaque sphère touche son enveloppe. De sorte que, des congruences rectilignes pour lesquelles les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface focale, la transformation de M. Lie permet de déduire des familles de sphères ailmettanl une enveloppe à deux nappes sur lesquelles les lignes de courbure sont aussi des lignes correspondantes. Au Livre IV, Chapitre XV, nous avons étudié un grand nombre de propriétés de ces enveloppes de sphères; et, en particulier, au n" 483, nous avons déjà indiqué comment la transformation de M. Lie permet den déduire des congruences rectilignes pour lesquelles les lignes asvmplotiques se correspondent sur les deux nappes focales.

Nous avons vu au n" 481, Livre I\ , Chapitre X\ , que. pour obtenir des enveloppes de sphères à lignes de courbure correspondantes, il faut résoudre le problème de la représentation sphérique pour une surface donnée. Nous avons vu d'autre part (^n" 888) que. pour trouver les congruences à lignes asjmptotiques correspondantes sur les deux nappes focales, il faut résoudre, pour une surface, le problème de la déformation infiniment petite. La transformation de M. Lie nous permet d'établir un parallélisme, un lien étroit et direct, entre tous ces résultats.

981 . Puisque cette transformation fait correspondre aux sphères de l'espace (M) des droites de l'espace (wi), toute transformation de l'espace (M) qui conservera les sphères donnera, dans l'espace (ni), une transformation conservant les lignes droites. Considérons, en particulier, dans l'espace (M), une inversion accompagnée de déplacement, il lui correspondra dans l'espace (m) une transformation homographique conservant le complexe H; car les droites de ce complexe, qui correspondent à des points de l'espace (M), doivent nécessairement rester correspondantes à des points et, par conséquent, ne cesseront pas d'appartenir au complexe H. Or, nous avons établi (Chap. IV de ce livre) que, lorsqu'on sait résoudre le problème de la déformation infiniment ^petite pour une certaine surface, on sait le résoudre aussi pour les rsurfaces homographiques. Transportant ce résultat à l'espace (M), nous voyons que :

Si l'on sait résoudre le problème de la représentation splié-

DARBOLS. — IV.

i;8 LIVRE Vin. — CHAPITRE VIII.

rique pour une surface (i), on sait le résoudre aussi pour toutes les surfaces qui dérivent de (i) par une inversion.

Cette propositioQ, qui a de nombreuses applications, s'établit d'ailleurs directement de la manière la plus simple. Il suffit de remarquer que, pour une surface (i), le problème de la représentation sphèrique équivaut à la détermination des systèmes cycliques dont les cercles sont normaux à (2). Enoncé sous cette dernière forme, il devient évident que le problème, résolu pour une surface donnée, l'est par cela même pour toutes les surfaces inverses à l'aide d'une simple quadrature (n"9o0).

982. Puisque la solution du problème de la représentation sphérique pour une surface (i) se ramène à l'intégration d'une équation linéaire à invariants égaux, il semble que toute recherche soit terminée; car nous connaissons toutes les équations de ce genre dont l'intégration peut être effectuée. Mais si l'on veut distinguer, comme cela est nécessaire pour les applications, entre les surfaces réelles et celles qui sont imaginaires, il se présente une difficulté que nous allons examiner, d'une manière complète, en terminant ce Chapitre.

Reprenons la méthode développée au n" 974. L'équation qu'il faudra intégrer sera la suivante

oo opi A ap api

où 1 est défini par lune ou l'autre des formules (4). Or, pour un point réel d'une surface réelle, a et (3 sont des variables imaginaires conjuguées. Et, par suite, X sera une imaginaire de module égal à I. Nous sommes donc conduits au problème d'Analyse suivant :

Parmi les équations de la forme

^ op àpi

déterminer celles qui admettent une solution de module i et qui peuvent., en outre., être intégrées.

Considérons, par exemple, l'équation la plus simple de la forme

Si l'on V substitue

elle se décomposera dans les deux suivantes

qui donnent l'une ou l'autre des trois solutions suivantes

a désignant une constante, / et ft des fonctions réelles. Le résultat est très simple; mais, pour les autres équations intégrables de la forme (3i). il ne paraît pas se présenter aussi rapidement.

983. Avant de continuer, voyons quelles sont les surfaces qui correspondent aux valeurs précédentes de a. Soit d'abord

Les équations (4), qui définissent la représentation sphérique.

deviennent ici

0°. . àoi

lia

En faisant tourner autour de Taxe des z, on pourra réduire à zéro la constante a; ce qui donnera

On a donc

Si X, y. z désignent les coordonnées du point de la représentation sphérique. on a

àCi — u.)

3 X z= 'ii{p]\.

l8o LIVRE VHI. — CHAPITRE VIII.

de sorte que les équations précédentes deviennent

La représentation sphérique se compose de deux familles de cercles orthogonaux. Tous les cercles d'une nif-me famille se touchent mutuellement au point

On a ici

()ç> àpi

et l'on retrouve les surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes, considérées au n" 104 et définies par les équations ( 12) [ I, p. i3i ].

Si l'on prend maintenant l'une des autres solutions

on pourra toujours, en échangeant, s'il est nécessaire, p et pi, et choisissant convenablement le paramètre p, la réduire à

La seconde équation (4) nous donne alors par l'intégration

Remplaçant a et (3 par leurs valeurs (34), nous trouvons

(36) .X- cosp — ,>' siiip = y(p)( I — z).

Les courbes de paramétres p sont donc des cercles qui passent par le point fixe

On obtient sur la sphère le système orthogonal qui est l'inverse d'un système plan formé par des courbes parallèles et par leurs normales communes. Les surfaces qui l'admettent pour représentation sphérique ont évidemment leurs lignes de courbure planes dans un système ; mais elles ne sont pas les plus générales de cette définition.

REPRÉSENTATION SPHÉRIQUE. l8l

984. Après avoir examiné, parmi les équations delà forme (3 1), la plus simple de celles que l'on sait intégrer, il nous reste à résoudre le problème proposé pour toutes les autres. Nous allons indiquer comment on peut y parvenir. \ oici d'abord la traduction géométrique des opérations analytiques que nous aurons à exécuter.

Soit une surface (2) pour laquelle on sait résoudre le problème de la représentation sphérique et désignons par (— ') la surface la plus générale, dépendante de deux fonctions arbitraires, admettant même représentation sphérique que {^)- I^e problème de la représentation sphérique est le même pour (i') et pour (^). Donc on saura le résoudre pour (2) et. par suite aussi, d'après une proposition indiquée plus haut, pour la surface (i) qui est l'inverse de (2'). Répétant sur celte nouvelle surface (2") les mêmes opérations que sur ( — ). on pourra introduire deux nouvelles fonctions arbitraires et poursuivre indéfiniment l'application de la méthode. Toutes les opérations indiquées pourront être effectuées dans l'espace réel et donneront alors des surfaces réelles si la première est réelle. Il reste seulement à établir que cette suite d'opérations, appliquée, par exemple, aux surfaces qui correspondent à l'équation (Sa), nous fournira toutes les solutions réelles du problème de la représentation sphérique. En tenant compte des formules qui définissent l'inversion dans le système de coordonnées tangentielles (a, p, ^)('), le lecteur reconnaîtra aisément que les considérations analytiques développées dans les numéros suivants se rattachent directement aux constructions géométriques que nous venons d indiquer.