Soit

(37) -^^ = kz

une équation linéaire du second ordre donnée; nous supposerons que les variables indépendantes x et y soient réelles et que

(') Ces formules se dL-duisent très sinipleiuent de celles qui ont été données au n» 174 et se rapportent à un système de coordonnées légèrement différent.

iSa LIVRE VIU. — CHAPITRE VIII.

l'équation admette une solution particulière

(38) oj = e'0,

de module égal à l'unité. Nous allons montrer d'abord comment on peut déduire de cette équation un nombre illimité d'équations de même forme, admettant comme elle une solution imaginaire de module égal à l'unité.

Au n° 390, où nous avons établi le théorème de M. Moutard, nous avons vu que, si z désigne une solution de l'équation (3'j) la fonction ct, définie par la quadrature

(39) ^-=J (cof^.-.^)«?..-(co|-.^'^)rfj,

satisfait à l'équation

OÙ J' désigne le symbole défini au même n° 390. Comme l'équation proposée (3-) peut s'écrire

(4i) £(.z) = £{to),

on voit que les deux équations (3^) et (4o) se déduisent l'une de l'autre par le changement de i en — i; par suite, elles admettront la première la solution ao, la seconde la solution ^o, ^o ^t cto désignant les imaginaires conjuguées de z et de <7. Mais nous allons établir un résultat plus précis et montrer que l'on peut, d'une infinité de manières, choisir la solution :; de telle manière que cr soit égale à Zq-

En effet, la quadrature qui définit cr peut être remplacée par les deux relations suivantes

,, . d(oia) „ \<o/ ^(toj") „ \(jù/

âx ax ay oy

qui nous donnent

(ix to2 ()x ây co- ây

REPRÉSENTATION SPHÉRIQUE. l83

oar le chansrenient de / en — i, entraînant celui de oj en — Nous aurons donc

de sorte que la formule (Sg), qui subsistait quand on y remplaçait ^, ff, 0) par 0^, z, —, demeurera encore valable lorsque, sans changer co, on y remplacera ^, (7 respectivement par cxo, 5,,. En ajoutant et en retranchant successivement les deux équations (Sg) et (44) oii peut donc conclure que, si l'on emploie au lieu àe z l'une ou l'autre des deux solutions suivantes

de l'équation (3-), la quadrature (Sg) nous fournira au lieu de cr les deux solutions correspondantes

de l'équation (4o), solutions qui sont, dans les deux cas. imaginaires conjuguées de celles d'où on les a déduites. Comme on ne peut pas avoir en mênie temps

on voit que, dans l'un au moins des deux systèmes de solutions ainsi obtenus, les valeurs de - et de a ne seront pas nulles, ce qui démontre la proposition énoncée.

986. Cela posé, employons non plus la solution oj, mais la solution ^, pour passer, suivant la méthode de M. Moutard, de l'équation proposée (Sj) à une autre équation

que l'on saura intégrer en même temps que la première. D'après les relations (42), on verra facilement que l'on a

et par conséquent l'équation précédente (4/) admettra la solution

l82 LIVRE vm. — CHAPITRE Vlll.

l'équation admette une solution particulière

de module égal à l'unité. Nous allons montrer d'abord comment on peut déduire de cette équation un nombre illimité d'équations de même forme, admettant comme elle une solution imaginaire de module égal à l'unité.

Au n° 390, où nous avons établi le théorème de M. Moutard, nous avons vu que, si z désigne une solution de l'équation (S'-) la fonction a, définie par la quadrature

satisfait à l'équation

où J" désigne le symbole défini au même n° 390. Comme l'équation proposée (3^) peut s'écrire

(4i) I(.z) = £(io),

on voit que les deux équations {^~) et (4o) se déduisent l'une de l'autre par le changement de i en — i; par suite, elles admettront la première la solution Oq. la seconde la solution ^o, ^o ^l CTo désignant les imaginaires conjuguées de z et de a. Mais nous allons établir un résultat plus précis et montrer que l'on peut, d'une infinité de manières, choisir la solution :; de telle manière que a soit égale à Zq.

En effet, la quadrature qui définit a peut être remplacée par les deux relations suivantes

âx ox ay ôy

qui nous donnent

ijx to- <)x f/y to- ay

REPRÉSENTATION SPHÉRIQLE. l83

par le changement de / en — i, entraînant celui de di en — Nous aurons donc

de sorte que la formule (Sq), qui subsistait quand on y remplaçait ^, (T, eu par 7, z, — » demeurera encore valable lorsque, sans chane^er oj, on y remplacera z, i respectivement par t,,, z^^. En ajoutant et en retranchant successivement les deux équations (39) et (44) on peut donc conclure que, si l'on emploie au lieu de z l'une ou l'autre des deux solutions suivantes

( !5) s -H î,., /■(- — 7rt)

de l'équation (3y), la quadrature (Sg) nous fournira au lieu de a les deux solutions correspondantes

(4<J"l T-HSp, {■('—-")

de l'équation (4o). solutions qui sont, dans les deux cas. imaginaires conjuguées de celles d où on les a déduites. Comme on ne peut pas avoir en même temps

on voit que, dans l'un au uioins des deux systèmes de solutions ainsi obtenus, les valeurs de ^ et de (t ne seront pas nulles, ce qui démontre la proposition énoncée.

986. Gela posé, employons non plus la solution w, mais la solution -, pour passer, suivant la méthode de M. Moutard, de l'équation proposée iZ-^ k une autre équation

que l'on saura intégrer en même temps que la première. D'après les relations (42). on verra facilement que l'on a

et par conséquent l'équation précédente (47) admettra la solution

l84 LIVRE VIII. — CHAPITRE VIII.

particulière

qui, elle aussi, est de module égal à l'unité toutes les fois que a est l'imaginaire conjuguée de z.

987. Ainsi, il j a une infinité de solutions de l'équation (3-) dont l'emploi permet de passera de nouvelles équations conservant la propriété d'admettre des solutions imaginaires de module égal à l'unité. Il nous reste à démontrer que la méthode précédente pourra fournir effectivement et complètement l'ensemble des équations qui admettent de telles solutions. Pour établir ce résultat, nous remarquerons tout d'abord que, appliquée à une équation pour laquelle la suite de Laplace est limitée, la méthode employée donnera généralement des équations pour lesquelles le rang de la solution (n" 335) s'élèvera de plus en plus.

Prenons, en effet, comme solution de passage la combinaison suivante

(50) s'— ; -+■ ao-H atï; — C7„)

des deux solutions (45)? ci désignant une constante. Pour

et comme z est. la solution la plus générale de l'équation (3-) l'emploi de la solution iz permettra certainement de passer à une équation de rang supérieur. Puisque le rang s'élève par l'emploi de la solution de passage z\ pour la valeur particulière — tdea, il ne pourra rester le même, ou s'abaisser, que pour certaines valeurs particulières de a; et, par suite, la solution définie par l'équation

(50) fournira, pou7' une infinité de valeurs réelles de a, une équation nouvelle

ayant une solution générale du rang supérieur. Si l'on pose

(51) 7'= ,So-l- :i — ««(-u— ^),

REPRESENTATION SPHERIQUE.

cette équation admettra évidemment la solution imaginaire -Ade module égal à l'unité.

Si nous pouvons établir maintenant que l'on peut toujours, en choisissant convenablement z, non plus élever, mais abaisser le rang de la solution, nous aurons montré par cela même que toutes les équation^ cherchées dérivent, par voie de récurrence, de celle que nous avons étudiée au n" 982. Mais, pour mettre hors de doute ce point essentiel, nous avons à rappeler et à compléter diverses notions données au Livre W et plus particulièrement au Chapitre VII de ce Livre.

î)88. Nous commencerons par la remarque suivante :

Soit (E) une équation linéaire du second ordre pour laquelle la

suite de Laplace se termine dans les deux sens, du côté positif à

l'équation ( EjV du côté négatif à l'équation (E-yV Nous avons vu

<jue son intégrale générale peut se mettre sous la forme suivante

. Yi/»

■ yf

-* ni

Ym

■■ rj^

où l'on a m:=i-'rj-^ i ,* où X, Y désignent des fonctions arbitraires, dépendant respectivement de x et de y seulement. N est une fonction déterminée quelconque, les x/, dépendent de Jc et les Vi de y seulement; de plus l€s Xh sont des fonctions linéairement indépendantes, ainsi que les yn- Aux n"^ 34L 342. nous avons indiqué quelques propriétés des expressions de la forme générale (32) qui s'annulent quand on remplace le couple (X, \ ) par le couple ( x/,-, yh). Nous ajouterons ici la remarque suivante. Supposons que l'on ait trouvé pour la même équation ( E) deux formes distinctes de l'intégrale, la première

MX^ M,X^...- M,X ' — \Y — X,\

la seconde

(^4' 3 =. |'X„- l',X;,-^...+ l>,X'^'^QY,-HQ,Y;^...^OyY;/';

l86 LIVRE VIII. — CHAPITRE VIII.

on passera de l'une à l'autre par une substitution de la forme

\ X = AXft -1- Ài.ri -(-. . .-i- A,„,f,„, (5;")) < .

( Y — in„H- Aiji-f-. . .-I- AmVm,

où A est une fonction de x, B une fonction de j' et /.|, >.2, . . . , l,n des constantes quelconques.

Pour le démontrer nous remarquerons que, si l'on passe de l'équation (E) à celle (E^), qui termine la suite de Laplace du côté positif, la première forme de l'intégrale donnera pour l'équation (E,) une intégrale -

Zi^ HX -h KY -h Kl Y'-4-. . .-+- K,„, Y('«-')

et la seconde forme de l'intégrale donnera de même Zi= LXn-^ RY + R,\'-+-. . .+ R„,i Y("'-U.

Egalant ces expressions dilïérentes de zi et remplaçant y par une valeur constante quelconque, on aura

X = AXo+ Al,

A et A| dépendant de x seulement.

En considérant de même l'équation (E y), on démontrera que l'on a

Y = iîYo+ni,

B et Bj étant des fonctions de y.

Si donc, pour abréger, on pose conformément à une notation déjà employée (n " 368 et 39i)

on devra avoir, en substituant les valeurs de X, Y et égalant les deuï expressions de z

/(AXo)-H?(BY,0+/(A,)+r(Bi)=/o(X„)+--fo(Yo),

et cela pour toutes les expressions possibles des fonctions arbitraires Xo, Yq. Si l'on donne successivement des valeurs nulles à ces deux fonctions l'équation précédente se décomposera dans les

trois suivantes

!/(Ai)-H9(B.) = o.

9(BY,) = ?o(^".).

Les deux dernières détermineronl les symboles y"„, 90- Quand à la première, d'après le résultat démontré au n" 31:2. elle montre que A,. B, sont des combinaisons linéaires à coefficients constants

Al = Al J"i -î- . . . -r- An» •*.■„,, Bi = Ài^'i-»-. . .-t- 'f-m.ym

des fonctions X/,, Vh- La proposition énoncée se trouve ainsi démontrée.

Si l'on effectue, dans l'expression (62) de ^, la substitution définie par les formules (55% elle conservera sa forme générale, nous l'avons déjà démontré (n"34l): et il est clair que les nouveaux couples avec lesquels elle est formée {sel^ yl) se déduiront des anciens [xh, y/i) par la substitution

de telle sorte que. si l'on a, dans les deux formes de l'intégrale Xh = -r'l, la fonction A se réduira nécessairement à une constante et l'on aura

(59) /o(Xo) = A/(X«).

Nous ferons plus loin usage de cette remarque.

989. Pievenons maintenant aux équations à invariants égaux et rappelons la méthode donnée au Livre IV. Chapitre VII (n" 394). Nous avons vu que. si l'intégrale générale de l'équation {^~) est donnée par la formule

(60) :. = f\i\)-^fi{\K

OÙ nous conserverons toutes les notations adoptées au n" 394, et si l'on emploie la solution u avant pour expression

l88 LIVRE Vin. — CHAPITRE VIII.

la fonction o" définie par la quadrature (89) est déterminée par la formule

,/,x)-.MY«-,.,(x,:;^).,B,(v,e;»)

-2 / X 91 ( Xi ) dx -H '). / Y 92 ( Vi ) dy.

Aux propriétés que nous avons établies, nous allons ajouter quelques relations nouvelles. D'après la formule (.^9), wo- doit se réduire à une constante lorsqu'on fait ^^ ùj, c'est-à-dire

' Xi=X, Yi= Y.

Le second membre de l'équation (62) devra donc se réduire à zéro pour une détermination convenable des deux intégrales tant que ces intégrales ne disparaîlront pas toutes les deux. En égalant à zéro les parties qui subsistent lorsqu'on annule séparément Y ou X, on obtient les deux formules déjà connues (n° 396)

i 2 rX,,(X)^=^/f(X)-2Bjx, ^^*^1, (63) ' ^ L . J

Il reste alors la suivante qui est nouvelle

Si, dans la première des formules (63), on remplace X par X-|-àX|. \ désignant une constante, on trouvera, en égalant les coefficients de \ dans les deux membres, la relation suivante

Tx çi ( Xi ) dx -4- 1^X1 9, (X) dx

= ./i(Xj/i(XO-Bi| X, ,/,; J-'>>[x,. ■ ^^ . J

Remplaçons X, par a:,, en nous rappelant que Ton a (n" 396)

( 66 ) (f 1 ( .r , ) = o, j\(Xi)-+- ft {yi ) = o .

Il viendra

En tenant compte des identités (64) et (66). on peut écrire

Nous prendrons, par suite, (69) J ^i-'^ ' '''■ =/.. X)/i(.r,)- B, [^.,-,.:!A^' j -^ B,[^., ,, '-^^^^j ' et de même

de sorte que ces deux dernières formules, jointes aux deux précédentes (63 ), détermineront la valeur précise que nous attribuerons toujours aux intégrales

JxiZ,{\)dx, Jyiz.Ci)(ly, y*Xçi(X)</x, J\:^.{\)dy,

lorsque nous les rencontrerons dans la suite du raisonnement.

ÎXK). Gela posé, restons encore dans les généralités et supposons que les fonctions Oi (X, ), 02( Y| ) soient diflerentes de zéro. L'expression de a s'annulera quand on remplacera

yX=,(X,)cù: = Xo et f\ç.{Yi)dy = \^,

respectivement par le couple (i , i) et par les suivants

r /"x, ç, (X, ) djc,j\\ ç. ( Y, 1 dA . r f.rrr^{ Xi ) dj;fyi ç-,( Y, 1 dy] •

L'intégrale a sera de rang supérieur à - et nous retrouvons le résultat déjà indiqué au n" 390. en indiquant seulement ici d'une manière plus précise comment il faut déterminer les quadratures précédentes.

Supposons maintenant que la solution co soit telle que Ton ait.

par exemple

çi(\0 = o, ?o(Y0 5^0.

Alors il viendra pour X, une combinaison linéaire à coefficients constants

X| = Ài a-i H- . . . -I- À,„ Xni

Ae Xi, x-i, . . . , Xnii et comme on peut, sans changer (o, retrancher de X, cette combinaison linéaire, à la condition de retrancher ^1 J'i H- . • . H- X,„y„i de Y, , on pourra supposer

Xi == o.

Alors, si l'on pose

Yi) <'(»'=. Vo,

l'expression de o- s'annulera quand on }' remplacera le couple (X, Yo) des fonctions arbitraires par les suivants

Mais comme le premier élément du dernier couple est nul, l'analyse développée au n" 341 permettra, en substituant à Y„ la fonction

de réduire cette expression de a- à une forme nouvelle admettant seulement les couples suivants

ffi9.

(YiXr

J\,ç,{\0'by

qui sont en même nombre que ceux de z et, en outre, composés du même premier élément. Donc, si l'on détermine le rang d'une équation d'après celui de sa solution générale, l'équation à laquelle satisfait a est de même rang que la proposée (3-).

î)9l. Supposons enfin que la solution o) soit telle que l'on ail à

REPRÉSENTATION SPHERIQUE. 19I

la fois

on pourra encore supposer que l'on ail

Mais, de plus. Y, sera une solution de la seconde équation (-i ^ que 1 on pourra prendre pour représenter le second élément j', du premier couple. Faisons donc

L'expression de a sera débarrassée de tout signe de quadrature. Si l'on pose

I 75 ) ft Ui )/i (Vk } — Bî .V,-, -^-j^ — I M -^'^^ ~^ — J = «"t,

a-ih sera une constante en vertu de la formule (70). Pour X ^ Xi. \ =.''/i 01^ trouve

Pour X = o, ^ =J>'i? on a

c s'annulera donc quand on y remplacera le couple (X, Y) parles suivants

qui sont en même nombre que ceux de - et. ici encore, composés du même premier élément.

Si a,, était nul. le résultat précédent n'aurait aucun sens, mais nous avons vu (n° 396) que, dans ce cas. 3^ est l'intégrale générale d'une équation de rang inférieur.

9U2. Nous venons de compléter noire théorie du Livre IV, Chapitre VII, relative au passage d'une équation à une autre par l'emploi du théorème de M. Moutard. Appliquons les résultats obtenus au cas spécial où co est une solution imaginaire de module égal à l'unité. Alors, comme 7 satisfait à l'équation imaginaire conjuguée de la proposée, il faudra que s- soit de même rang que ^,

et, par suite, que oj satisfasse au moins à l'une des conditions

?.(Xi) = o, ï.,(YO = o.

Supposons donc

Xi = o.

Si l'on a de j^lus

ço(Yi) = o,

on peut affirmer que la constante a^ ne sera pas nulle, sans quoi a serait de rang inférieur à ^, ce qui est impossible. Donc, dans tous les cas, les couples de «r auront les mêmes premiers élém^enls Xi, que les couples de z.

Dans la solution ainsi trouvée pour a changeons i en — t; nous trouverons évidemment la solution générale de l'équation en z; et, d'autre part, les premiers éléments x/, de chaque couple seront remplacés par leurs conjugués x^,^. Donc la solution générale de l'équation en z peut être mise sous une forme dans laquelle les premiers éléments des différents couples sont les xl.

Considérons les deux équations différentielles auquelles satisfont, d'une part, les fonctions Xk et, d'autre part, les fonctions jî/^. Il suit de la remarque que nous venons de faire et de la théorie développée plus haut (n° 988) que l'on obtiendra les différentes solutions de la seconde en multipliant celles de la première par une certaine fonction '^{x). Donc, si Xi, est une solution de la première, Xi,M){x) sera une solution de la seconde. D'autre part, les solutions particulières des deux équations étant deux à deux imaginaires conjuguées, la conjuguée x\(ifii{x) de a:/, cp(^) [9,, (.3?) étant la fonction conjuguée de 9(^)] sera une nouvelle solution de la première et enfin xloo{x) ^{x) sera une nouvelle solution de la seconde. On peut conclure de là que, étant donnée une solution quelconque de l'une des deux équations linéaires, on en trouvera une nouvelle en la multipliant par la fonction, réelle et

positive,

0(x) = zi^x) zç^{x).

Cela exige évidemment que Q{x) soit une constante. Il sera permis de la prendre égale à l'unité, et l'on aura, par conséquent,

f{x) étant une fonction réelle de x.

REPRÉSENTATION SPHÉRIQUE. igS

La première équation linéaire admet donc, en même temps que la solution Xu-, la suivante

Or si, dans l'expression générale de z. on remplace la fonction arbitraire X de a* par Xe-'^ *" , toutes les solutions Xh de la première équation linéaire seront multipliées par &f ^' ; de sorte que celle première équation admettra maintenant, en même temps, les

deux solutions

Xh e'/ •*^', x% e-'/ «^'j

qui sont imaginaires conjuguées lune de Vautre. On peut évidemment remplacer ces deux solutions imaginaires par les deux solutions réelles formées de la partie réelle et de la partie imaginaire de l'une d'elles. Et l'on voit ainsi que Ion peut ramener la solution générale ^ de l'équation aux dérivées partielles à une forme pour laquelle les premiers éléments Xh de chaque couple sont tous réels.

993. Ce résultat essentiel étant établi, adoptons pour :? la forme dont nous venons de démontrer l'existence et bornons-nous à considérer les solutions z' pour lesquelles on a

X étant une fonction arbitraire réelle. Alors, comme on a

pour la solution co, la formule (62) est débarrassée de tout signe de quadrature et nous donne pour c une expression de forme

3" = çi<;x;),

qui renferme, jusqu'au même ordre que dans z-'. les dérivées de la fonction arbitraire X. Si l'on y change i en — ;', on aura

et, d'après la proposition établie plus haut, à la fin du n ' 98S. on

pourra écrire

çî(X) = a/,^X),

DARBOVX. — IV. 13

a étant une conslante. De là, on déduit

j' = ?.i(X) = ao/î(X) = «0=0,

a,) étant la constante conjuguée de a. Cela posé, l'équation

admettra, d'après ce que nous avons vu, la solution '-^ ou, en supprimant le facteur constant «„, la solution —^ qui est encore de module égal à i, comme o).

D'autre part, en prenant pour X, dans la formule (74), une solution particulière réelle de l'équation linéaire

qui annule l'intégrale quadratique de cette équation linéaire, ce qui est toujours possible (n"" 374 et 396), puisque toutes les solutions particulières Xk de cette équation sont réelles et linéairement indépendantes, on sera assuré de passer, par l'intermédiaire de z' , à une équation aux dérivées partielles de rang inférieur à la proposée. Ainsi se trouve complétée notre démonstration : toutes les équations admettant des solutions de module égal à l'unité peuvent se déduire par récurrence de celle que nous avons considérée au n" 982.

994. Il ne sera pas inutile d'indiquer au moins une application de la méthode de récurrence que nous venons d'étudier. Prenons, comme point de départ, l'équation

et la solution, de module égal à i ,

(76) io' = e'"-^,

de cette équation. Soit z' une autre solution quelconque et <j' la fonction définie par la quadrature

(77) - . ^J (^co ^-z ^ j d.r- (^co ^ -. -^-j dy.

REPRÉSENTATION- SPHÉRIQUE. igô

Dans le cas spécial que nous considérons, g satisfera encore à 1 équation (jà). Il faut tout d'abord mettre z' sous une forme telle que 7 soit sa conjuguée. Pour cela, il n'y a qu'à appliquer la méthode générale donnée plus haut (n" 985) et Ion reconnaît ainsi qu'il faut prendre -:; sous la forme

où X, \ désignent des fonctions réelles de x et > respectivement. On peut prendre alors

(-9) z' = X' — iX — i\ .

et l'on peut passer à une équation de rang supérieur.

L'emploi de la solution z' conduit à l'équation de second rang

... ,, . ^/ I \ • < X' -i- iX'~) Y'

'^^«' '^^-'-n-')=''^-v3:7xT7Y7'

qui admet la solution particulière de module égal à l'unité

.7' X — iX — A

et dont l'intégrale générale sera définie (n" 395) par la formule

2 Xo -f- 2 Yo Xo . Y'o

X'-^iX^A X -iX Y

où Xo, Yo désignent deux nouvelles fonctions arbitraires de x et de v. La solution co correspond aux déterminations suivantes de ces fonctions

(83) X„ = X'e''-, Yo = o.

Pour pouvoir continuer, il faut mettre ces fonctions X^, Yo sous une forme telle que la fonction (7, définie par la quadrature

soit la conjuguée de z. Pour cela, il faut calculer d'abord cr. En vue des applications ultérieures, nous indiquerons même comment on calculerait la fonction 0 définie par la quadrature

-=/Mi-=È;)--(^if"^f)<^.

^' étant, comme z, une solution de l'équation (80) correspondante aux déterminations X,, Y, de X„ et de Yy,

X' H- iX -+- i\ X" -+■ iX'

Il n'} a ici qu'à appliquer sans modification la méthode indiquée au n" 394. Posons

/l(«)= VT

X'-+-tX-HiY X" -+- iX'

r 2 x"-^tX" 1

[X' + iX -^ i\ (X" -+- iX'y\ ^

\>vilh f')=— T^T rrr-i

X"4-ïX'

on aura

/i ( Xe, ) -4- /, ( Yo ), s' = /, ( X 0 + /, ( Y , ),

et l'on trouvera