Soit
l'équation de la sphère donnée (S) et soit (S^) la surface, lieu du point {x^^ yi, Zi), qui lui correspond avec orthogonalité des éléments, de sorte que l'on ait
(i5) dxdxi-h dydyi-ï- dzdzi = 0.
Désignons toujours par M, M, deux points correspondants sur les deux surfaces et menons par le point M, une droite Mi H parallèle au ravon de la sphère qui va aboutir en M. Nous allons montrer que la droite M< H engendre une congrueuce isotrope, c'est-à-dire [I, p. 420] qu'elle est tangente à deux développables circonscrites au cercle de l'infini.
Nous rattacherons cette proposition particulière à une autre plus générale que nous retrouverons plus loin (n° 891) et qui est due à Ribaucour.
Soient M, M) deux points correspondants sur deux surfaces quelconques qui se correspondent avec orthogonalité des éléments ; menons par le point M< la droite Mj H parallèle à la normale de la surface (S) en M; et, de plus, effectuons la représentation sphérique de cette surface (S) sur une sphère de rajon i ajant son centre en un point O; soit Om\c rayon de la sphère parallèle à la normale de (S) en M; nous allons déterminer les plans focaux de la congruence engendrée par la droite M| H-
A cet effet, déplaçons-nous de telle manière que M, H engendre une des développables de la congruence. Le point M viendra en un point infiniment voisin M' et de même M( en M[, m en m'. Le plan tangent de la développable suivant M, H est parallèle au plan déterminé par les deux rajons consécutifs de la sphère 0/n, Om'; et, par conséquent, il en est de même de la direction M,M(. Or, cette direction M,Mj doit être déjà perpendiculaire à MM'. Elle devra donc se confondre avec Om s'il y a dans le plan mOm' une seule direction perpendiculaire à MM'. Conmie il est impossible, on le reconnaîtra aisément ('), que MiMj soit parallèle à Om, il faut que MM' soit perpendiculaire à deux droites distinctes du plan mOm', c'est-à-dire à ce plan. Or, ceci revient à dire que la tangente MM' de la surface (S) doit êlre perpendiculaire à son image sphérique, c'est-à-dire doit êlre une tangente asvmplolique [I, p. 201]. Donc, aux développables de la congruence engendrée par M, H correspondent les asvmptotiques de (S) ou. ce
(') Si M, Ml était parallèle à O//1, les plans tangents aux deux surfaces (S), (S,) en M et en M, seraient rectangulaires, ce qui est impossible, car alors à tous les déplacements s'effectuant autour de M correspondrait toujours le même déplacement infiniment petit à partir de M, sur (S,).
l4 LIVRE VIII. — CHAPITRE I.
qui revient au même, les deux plans focaux de la congruence engendrée par la droite M, H sont perpendiculaires aux tangentes asymptotiques de (S) en M.
Appliquons cette proposition, qui a été énoncée par Ribaucour au n"* 188 de son Étude sur les Elassoïdes ^ au cas où la surface (S) est une sphère de centre O. La droite M^ H devient la parallèle au rayon OM de la sphère (S); les tangentes asymptotiques de (S) sont les génératrices rectilignes de la sphère qui passent en M. Par suite, les deux plans focaux de la congruence .engendrée par la droite Mi H, étant perpendiculaires à des droites isotropes, sont nécessairement isotropes, c'est-à-dire tangents au cercle de l'infini, et les deux nappes de la surface focale de cette congruence soMt des développables isotropes.
862. Le calcul suivant conduit au même résultat. Les coordonnées d'un point quelconque de M, H ont pour expressions
./•j + ./• p, y y -f- VO, Zi -H zo.
Pour déterminer les développables de la congruence, exprimons qu'il existe un déplacement dans lequel ce point décrit une courbe tangente à la droite. Nous aurons
di Xi -\~ X ^) __ d( y s -+- y p ) __ d{ Z] -^- z a) X ~ y ~ z ''
ou, en introduisant une inconnue auxiliaire d\^
( dxi -+- odx = xd\,
(i6) } dvi -t- pdy ^^ yd\,
( dz\ -t- odz = zd\.
Si l'on multiplie ces équations respectivement par dx., dy, dz et si on les ajoute en tenant compte des relations (i4) et (i5),
il vient
p ( dx- -+- dy- -i- dz-) = o.
Gomme p ne peut être nul, on voit que les développables de la congruence correspondent aux lignes de longueur nulle de la sphère, ce qui équivaut au résultat déjà établi par la Géométrie.
