CHAPITRE IX
SURFACES A LIGNES OK COURBUaE PLANES.
Première application des méthodes précédentes. — Rappel des formules propres à déterminer les surfaces admettant une représentation sphérique donnée. — Recherche des surfaces à lignes de courbure planes dans un système. — l''lles correspondent toutes à des équations à invariants égaux pour lesquelles la solution est de premier ou de second rang. — Méthode de recherche dii'ecte : théorème général qui permet de les déterminer très simplement au moyen de trois développables dont l'une (A) est isotrope et les deux autres (D), (D,) applicables l'une sur l'autre avec correspondance des génératrices rectilignes. — On déduit de cette propostion que, si une ligne de courbure plane est un cercle, toutes les autres sont des cercles, que si une d'elles est algélirique, toutes les autres le sont aussi, etc. — Mise en (i;uvr(; de la génération précédente. — Calculs et constructions géométriques j)i"oj)res à détciiniiici' la surface réelle la plus générale à lignes de courbure planes, sans aucun signe de quadrature.
995. Avant de passer aux applications des résultats analytiques obtenus au Chapitre précédent, rappelons en quelques mots les résultats obtenus. Pour ne pas multiplier les changements de notation, supposons que x, y soient les paramèti^es des lignes de courbure et jouent le rôle des variables p, p, du n" 974. Les surfaces qu'on peut rattacher à une même équation
o.v ày
pour laquelle on a résolu les problèmes analytiques précédents, pourront être définies de la manière suivante. Si l'on désigne par s, z' deux solutions quelconques de l'équation, mises sous la forme pour laquelle les fonctions imaginaires conjuguées cr, a' sont définies par les quadratures
o étant toujours la solution de module égal à l'unité, on pourra prendre, en rapportant la surface au ï>ystéme de coordonnées tangentielles a, ,5. ;,
('3) a r= — , i = co-'.
Ces deux formules définiront la représentation sphérique des lignes de courbure. Puis on fera de même
i p' — toj. q'= —'
Les variables a et 3 étant imaginaires conjuguées ainsi que p et q . on pourra obtenir une infinité de déterminations réelles de \ et la surface sera l'enveloppe du plan défini par l'équation
où tout est connu et d'où l'on peut faire disparaître tout signe de quadrature. Rappelons les relations
\ àx àjp' àx " âx '
<>3 ^ dx dp' dq'
dy dy
tout à fait équivalentes aux formules (2).
996. \ous avons déjà reconnu (n"983) que l'équation la plus simple de la forme ( i ) correspond à des surfaces à lignes de courbure planes particulières, caractérisées par cette propriété que les cercles qui servent de présentation sphérique aux lignes de courbure planes passent tous par un point fixe. Proposons-nous maintenant de définir les surfaces à lignes de courbure planes les plus générales. Nous allons voir qu'elles correspondent toutes à des équations pour lesquelles la solution est de premier ou de second rang.
Désignons par x le paramètre des lignes de courbure planes de la surface. En tous les points d'une de ces lignes, le plan tangent devra faire un angle constant avec le plan de la ligne, c'est-à-dire
aoo LIVRE VIII. — CHAPITRE IX.
avec une droite dont les paramètres directeurs dépendront uniquement de X. En exprimant cette condition, on sera conduit à une équation de la forme
ic„( a -+- [3) -4- iXi{^^ — a) H- a-i(a3 — I ) = a:-;j(3(j3 -I- 1 ),
.Tq, .r,, X2, X;', désignant des fonctions de x. Au reste, cette équation exprime que la représentation sphérique de la ligne de courbure est un cercle. En changeant les notations et remarquant que ^:( — x-2 ne saurait être nulle quand les axes sont quelconques, on lui donnera la forme plus simple
(8) (^a-^r)i^-:r,) = xl,
ic,), Xi, X2 étant toujours des fonctions de x; quand la surface sera réelle, les deux premières seront conjuguées et la troisième réelle.
Différentions cette équation par rapport à i'. En tenant compte
de la seconde formule (7) et remarquant que— nepeut être nulle,
nous aurons
(a — xo)^'>-— 3 — Xi,
et de là, on déduit, x., n'étant jusqu'ici définie que par son carré,
( (a — Xo)(-0 — Xt,, (9)
La première de ces équations peut s'écrire
nous sommes ainsi conduite exprimer que l'équation (i) admet deux solutions z', oo reliées par la relation précédente.
A cet effet, substituons dans cette équation ( i ) la valeur précédente de z'. En tenant compte de ce que w est déjà solution de l'équation, ce qui donne
(lO 7-7777: = ^'^j
àx ày
il vient
ày
Portons la valeur de -r— dans le premier membre de la relation précédente, il viendra
OU. en excluant l'hypothèse A = o. déjà examinée in" 983),
li^ o) =
jc'a àx
Il n'y a plus qu'à substituer cette valeur de (u dans la formule (12) pour obtenir la condition
axay
à laquelle doit satisfaire k. Cette condition exprime évidemment ( n" 330) que l'équation correspondante doit être de second rang.
997. Nous avons vu ( n" 389) que la valeur la plus générale de k est la suivante
de sorte que, eu remplaçant '— par X3. la valeur de oj va devenir
Cette valeur devant avoir un module égal à i , il faudra que Ion ait
Xo, \2j X, étant les fonctions conjuguées de X,, Y|, Xj respectivement.
Eu donnant à x une valeur quelconque, on reconnaît immédiatement que les fonctions Yo, Y< sont en relation homographique. On pourra donner à cette relation homographique la forme
si l'on remarque que l'expression ( lo) de k ne change pas (n" 24) lorsqu'on soumet Xi, Y< à une même substitution linéaire à coefticients constants. Ainsi l'on peut supposer que Y^ soit une fonction réelle.
Mais alors il faut évidemment choisir pour w l'expression définie par l'équation (8i ) du Chapitre précédent; et l'on aura, en appliquant les résultais analytiques du n" 994 et supposant, ce qui est évidemment permis, Y réduit à y par un changement de notations,
. X'— iX — {>-
X' -f- j \ -+- iy
Pour écrire d'une manière rapide les valeurs de y., jS, p\ q' , introduisons les notations
,X" + î\' / ,X"-^rX'\'
■>. Il — 'X U -rrrr, rr-r- Il — «
\-+-i\-+-iy X"-f-/X
X'-i- iX -h iv
et désignons de même par iL,, J/2 les symboles obtenus en changeant i en — i. On aura, X,, étant une fonction réelle,
(19) ato = ç,(X,), ;^=^'i,(\,),
puis, Xo, Y^ étant encore des fonctions réelles,
•(20) r/'(o = 9i(X2)-4- ?,(Y,), ^'- = J;i(Xo)-+-'la(Y,).
Les deux premières relations feront connaître la représentation sphérique. Il faudra ensuite calculer ;, qui sera définie par la formule (5) où l'on substituera les valeurs précédentes de a, ;3, p' . q'. Il restera encore à donner aux fonctions réelles Xo, Y^ une forme telle que toute quadrature disparaisse de l'expression de ;.
On voit que les surfaces à lignes de courbure planes dépendent de quatre fonctions arbitraires X, X,, Xo, Y,. Elles sont donc loin d'être les plus générales parmi celles qui correspondent à l'équation du second rang et qui dépendent, en réalité, de cinq fonctions
SURFACES A LIGNES DE COURBURE PLANES. 2o3
îirbilraires. à savoir : X, deux fonctions figurant dans la représentation sphérique et deux autres dans les expressions de p' et de q'.
i^>98. Sans faire l'étude approfondie des surfaces à lignes de courbure planes, auxquelles M. Rouquet a consacré un Mémoire des plus remarquables, déjà cité [I. p. 1 1 4 ]> nous ferons connaître une proposition qui les concerne et qui se rattache directement aux résultats du a" i)72. Cette proposition peut s'énoncer comme il suit :
Etant donnée une sur/ace (2) à lignes de courbure planes dans un système, soit (D) /a développable enveloppe des plans des lignes de courbure. Supposons quelle se déforme de telle manière que ses génératrices demeurent rectilignes, et qu'elle entraine les lignes de courbure planes dans ses différents plans tangents: il existera une transformée (D,) de (D)pour laquelle toutes ces lignes de courbure viendront se placer sur une même développable isotrope (A); les lignes de seconde courbure venant alors coïncider avec les génératrices rectil ignés de la développable (A).
Pour démontrer cette proposition, nous commencerons par examiner ce que devient la surface (i) lorsqu'on déforme la développable (D) de telle manière que ses génératrices demeurent rectilignes. Si l'on désigne par la lettre (G) les lignes de première courbure, situées dans les plans tangents de (D) et par la lettre \Ci) les lignes de seconde courbure, il est clair que les tangentes aux lignes (G), aux points où elles sont rencontrées par une même courbe (,C|) engendrent une développable dont l'arête de rebroussement (K,) est tracée sur la développable (D); de sorte que chaque courbe (Ci) est une développante de l'arête de rebroussement (K,) qui lui correspond. Gette relation entre (Ki) et (G|) ne se modifie nullement quand la développable (D) se déforme en entraînant dans ses plans tangents les courbes (G). On reconnaît donc immédiatement que, dans la nouvelle surface (i ) engendrée par les positions nouvelles des courbes (G), surface qui correspond point par point à > i i. les lignes de première et de seconde courbure correspondent respectivement aux lignes de première et de seconde courbure de (2).
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M. Rouquet a fait grand usage de la proposition que nous venons d'établir et qui est due à Ribaucour (^). Elle ne nous est pas indispensable; mais elle aidera le lecteur à mieux comprendre le raisonnement suivant.
999. Soient {Jîg. 88) (C) une des lignes de première courbure
Fig. 88.
de (i), M un quelconque de ses points, M' un point infiniment voisin de M pris sur la ligne de seconde courbure (Ch ) qui passe en M, P la projection de M' sur le plan de (G). Soit QQ' la génératrice de contact du plan de (G) avec la développable (D), R le point où cette génératrice touche l'arête de rebroussement (R) de cette développable; de sorte que chaque point R et, par suite, chaque plan tangent de (D) sera déterminé par l'arc a^ de (R) compté à partir d'une origine fixe O prise sur (RV Le plan de la ligne de première courbure (G) qui passe en M' correspondra, par exemple, au point R' de l'nrêle de rebroussement, de sorte que l'angle des deux plans contenant les lignes de première courbure qui passent en M et en M' sera égal à - ? ds désignant
l'accroissement RR' de s et- étant la torsion de (R) en R. M'P
(') RiBAicouR, Sur les courbes enveloppes de cercles et sur les surfaces enveloppes de sphères {Nouvelle Correspondance mathématique, t. V et VI; 1879-1880).
est évidemment égal à cet angle multiplié par la distance de l'un des points M ou P à la droite d'intersection QQ des dews. plans osculaleurs respectivement en R et en R'. Si donc p désigne la dislance du point M à la tangente QQ' en R, on aura d'abord, en négligeant les infiniment petits du second ordre
Cela posé, considérons le triangle rectiligne MM'P : il est rectangle en P, son angle en M ne diffère que de quantités du second ordre de l'angle 'j> que fait en ce point M la surface ( i ) avec le plan de (C). On peut donc écrire
M P = PMlangç;
et, si 1 on porte cette valeur de M'P dans la relation précédente,
il vient
p ds -lan^- p.\i
Telle est la relation que nous voulions établir. En voici maintenant les conséquences.
1000. Supposons d'abord que le point M se déplace sur la courbe (C); le premier membre de la relation précédente demeurera invariable, puisque l'angle o est le même pour tous les points de la courbe ( C). d'après le théorème de Joachimsthal. Il en sera donc de même du second membre, qui devra se réduire par conséquent à une fonction de la seule variable s. On aura donc les deux égalités suivantes
