tangç = /"(s), ^ = f(s) p:vi

La seconde s'interprète géométriquement de la manière la plus simple. 11 est évident par la géométrie que si l'on déforme la développable ( Di de telle manière qu'elle vienne s'appliquer sur un plan, celui de la courbe (C) par exemple, le point P sera à une distance infiniment petite du second ordre de celui où Aient s'appliquer le point M'. La seconde relation précédente donne

20b LIVRE VIII. — CHAPITRE IX,

donc une propriété de la famille de courbes sur laquelle viennent s'appliquer dans le plan les lignes de première courbure. A chacune de ces courbes (G), maintenant toutes situées dans le même plan, correspond une droite QQ' déterminée. Et, pour chaque point de la courbe (Co) infiniment voisine de (G), il y a un rapport constant entre la distance à la courbe (C) et la distance à la droite correspondante QQ'. Gette propriété géométrique conduit à une équation aux dérivées partielles, qui a été formée et intégrée de la manière la plus élégante par M. Rouquet. Laissant de côté l'étude de cette intéressante question, revenons à la première des relations précédentes

■z tangç —f(s).

Elle nous montre immédiatement que. lorsqu'on déforme la développable (D), l'angle a varie de telle manière que le produit r tangcp demeure constant. Au lieu de considérer l'hypothèse où la développable (D) se réduit à un plan, supposons qu'on la déforme de telle manière que l'on ait, en chaque point de l'arête de rebroussement,

il viendra alors

tangç = m /.

Et, par conséquent, l'angle du plan tangent à la surface et du plan de la ligne de courbure deviendra infini. Ge dernier plan, étant osculateur à l'arête de rebroussement de la développable dans sa nouvelle position, ne sera pas isotrope. Il faudra donc que le plan tangent à la surface le soit. Donc la surface à lignes de courbure planes (i) aura été transformée en une développable isotrope.

De tout ceci résulte donc le théorème suivant :

Pour obtenir toutes les surfaces à lignes de courbure planes dans un système, on construit une développable isotrope quelconque (A) ei une déveloopable non isotrope (D, ). On déforme ensuite ( D i ) de telle manière que ses génératrices demeurent rectilignes et que ses plans tangents entraînent les courbes suivant lesquelles ils coupaient la développable (i). L'en-

SURFACES A UGNES DE COUBBUSE PLANES. 307

semble des courbes ainsi entraînées constitue la surface laplus générale à lignes de courbure planes dans un système (•).

Eu reprenant le point de vue déreloppé aa Chapitre \ I. on peat énoncer le théorème sons la forme suivante :

Pour obtenir les surfaces précédentes, on prend deux développables (D), (D«) applicables Fune sur F autre avec correspondance des génératrices rectilignes. Si F on fait rouler la déi'eloppable ( Dt ) sur la déi-eloppable {H) de telle manière que le contact ait lieu à chaque instant entre tous les points des génératrices correspondantes, toute déi-eloppable isotrope (A) invariablement liée à « Di i sera coupée par les plans de contact successifs suivant les lignes de courbure de F une des surfaces cherchées.

1001. Alors même que ces théorèmes ne conduiraient pas. comme nous allons le voir, à une méthode rapide de recherche des surfaces à lignes de courbure planes dans un système, ils permettraient au moins d'expliquer de la manière la plus satisfaisante certains faits, avant quelque chose de paradoxal, qui se présentent dans cette théorie.

On sait, par exemple, que, si une des lignes de courbure planes est un cercle, toutes les autres sont des cercles: que, si elle est algébrique, toutes les autres sont algébriques; que les lignes de courbure ne peuvent être toutes des coniques diflérenles du cercle, etc. Tous ces faits s'expliquent immédiatement par la remarque suivante, qui est évidente.

( - • Cette proposition, donnée depuis longtemps dzo^ mon enseignement, s^appliqae même aux surfaces pour lesquelles les plans des lignes de preniière «^oarbure passent par une droite fixe. En effet, on doit attribuer en général une valeur nolle à la torsion d'une courbe plane; mais il faut remarquer cependant que, si cette courbe se réduit à une droite, la torsion devient indéterminée. Si Ton associe à chaque point de cette droite un plan déterminé passant par la droite, il est clair que la torsion prend en chaque point une râleur déterminée, dépendant d'ailleurs de la loi suivant laquelle on a associé les plans passant par la droite aux points de cette droite.

Dans le cas où les ^ans des lignes de courbure enreioppent un cône, il suffit de choisir une variable antre que 5.

Dès qu' ujie ligne de courbure plane est donnée^ on connaît par cela même la développable isotrope (A), qui doit être circonscrite à cette courbe en même temps qu'au cercle de V in fini. Par conséquent toutes les autres lignes de courbure ne peuvent être que des sections planes de cette développable ., parfaitement connue.

Si l'une des lignes de courbure est un cercle, la développable isotrope se décompose en deux points-sphères. Donc toutes les autres lignes de courbure sont des cercles.

Si l'une des lignes de courbure est algébrique, il en est de nièiue de (A) et, par suite, de ses sections planes quelconques.

Si l'une des lignes de courbure est une conique différente d'un cercle, (A) est en général du 8*^ ordre; mais elle peut se réduire au 7*^, au 6' , au 5*^ et même au 4*^, si son arête de rebroussemenl est une cubique gauche. Dans ce dernier cas seulement, la développable contient une famille de coniques; mais elles sont situées dans les plans tangents de la développable, qui sont tous isotropes. Donc il est impossible que toutes les lignes de courbure soient des coniques.

Voici les principes qui peuvent guider, si l'on recherche tous les cas dans lesquels les lignes de courbure sont algébriques et d'un degré déterminé.

Une surface réglée algébrique indécomposable étant donnée, si certaines de ses sections planes se décomposent, elles se composent uniquement d'un certain nombre de droites et d'une courbe algébrique indécomposable.

Si les lignes de courbure planes sont d'un degré déterminé n, il est nécessaire que la développable isotrope circonscrite à l'une de ces lignes se décompose en deux développables symétriques par rapport au plan de la courbe, c'est-à-dire que la ligne soit ce que Laguerre a appelé une courbe de direction.

Aous nous contenterons de signaler ici les deux hypothèses qui paraissent les plus simples. Il existe une développable isotrope du 5" ordre que l'on peut définir comme il suit. Elle est circonscrite à la courbe du 3*" ordre définie par les équations

( 22 ) .r = ?/ — > .1' = Il 1 2 = o

et elle est l'enveloppe du plan

(23 • 2«./ — ) I I — //i I -j- iz(l -i- «- I = U--T- — •

Tous les plans définis par l'équation

où u est considéré comme un paramétre variable, la coupent suivant les deux génératrices qui correspondent aux valeurs ii. — u du paramètre et suivant une courbe du 3" ordre; de sorte que la développable admet une famille de sections du 3^ ordre, qui pourront devenir les lignes de courbure d'une infinité de surfaces de la nature de celles que nous cherchons. Gomme les plans de ces sections sont parallèles à une droite, on ne pourra obtenir que des surfaces pour lesquelles ces lignes de courbure du 3*^ degré seront distribuées dans les plans tangents dun cvlindre d'ailleurs quelconque. C'est à cette classe qu'appartient la surface minima d'Enneper, étudiée au n" 207.

Considérons encore la cubique gauche isotrope définie par les équations

y = If-

La développable isotrope dont elle est l'arête de rebroussement est l'enveloppe du plan défini par l'équation

20) (I H^ IX -+- 2Kr -h l { l -r- u- \ Z -\ 7— = O.

Elle admet pour sections planes des courbes du quatrième ordre à trois points de rebroussement qui pourront devenir les lignes de courbure planes d'une infinité de surfaces.

100:2. La génération des surfaces à lignes de courbure planes, telle que nous l'avons donnée plus haut, permet encore de résoudre assez simplement une question que M. Caronnet s'est proposée dans un travail récent ('). On connaît déjà une première série de

Th. C.\roxxet, Suf- les sur/aces dont les lignes de courbure d'un srst' me sont planes et égales (Comptes rendus, t. CXVII. p. 842; iSgS).

DARBOCX. — IV. 14

surfaces à lignes de courbure planes pour lesquelles toutes les lignes de courbure planes sont égales. Ce sont les surfaces moulures de Monge : elles correspondent au cas où la développable (Di) qui intervient dans la génération indiquée plus haut se réduirait à un plan. Mais parmi les autres surfaces à lignes de courbure planes, parmi celles dont toutes les lignes de courbure planes sont des sections différentes d'une même développable isotrope, y en a-t-il pour lesquelles ces lignes de courbure soient toutes égales? La question devient évidemment à la suivante.

Existe-t-il des développables isotropes admettant une famille de sections planes toutes superposables?

Ou encore :

Existe-il des développables isotropes dont l'arête de rebrousseinent ne cesse pas de coïncider avec elle-même quand on lui imprime une série de déplacements dépendant d'un paramètre variable au moins?

Il est clair que, si l'arête de rebroussement ne se réduit pas à un point, elle doit être nécessairement une hélice isotrope tracée sur un cylindre circulaire droit.

Cette remarque explique et fait prévoir tous les résultats obtenus par L. Caronnet. Nous n'entrerons pas dans le détail, nous contentant de signaler ici le cas particnller le plus élégant. La développable admettant pour arête de rebroussement l'hélice isotrope tracée sur un cylindre circulaire droit est coupée par tout plan passant par l'axe de ce cylindre suivant une tractricc ou courbe aux tangentes égales.

Soit, en effet, M un point de l'hélice isotrope. La sphère (S) Inscrite au cylindre suivant le parallèle qui passe en M coupe le plan sécant suivant un cercle (C) ayant même centre O que la sphère. D'autre part, elle contient la tangente en M à l'hélice isotrope, tangente venant couper le cercle (C) en un point M' qui décrira la section cherchée. Or, le plan osculaleur de l'hélice, c'esl-à-dire le plan tangent à la développable (A) dont elle est l'arête de rebroussement, est le plan OMM' qui coupe le plan sécant suivant la tangente OM' à la section. Cette tangente, étant un rayon du cercle (C), sera bien constante et égale au rayon de (S) ou au rayon de base du cylindre.

Un résultat analogue s'applique à toutes les sections planes

qui, on le reconnaîtra aisément, sont des courbes définies par la propriété de couper les cercles bitangenls à une conique, section du cylindre par leur plan sous des angles dont le sinus sera, pour

un cercle déterminé, — j R étant le rayon de base du cylindre et /• le rayon de ce cercle.

1003. Laissant de côté toutes les applications particulières, qui mériteraient sans doute une étude détaillée, nous allons indiquer comment on peut traduire analytiquement la génération précédente des surfaces à lignes de courbure planes dans un système et présenter sous une forme entièrement réelle les équations qui définissent ces surfaces.

La génération indiquée emploie trois développables (A), (D) et (D|). La développable (A) se déterminera par les équations si souvent employées dans la théorie des surfaces minima

^ (1 — II- »\'-!- 2«Y'-+- i\i -H «- iZ— >F(zt 1 = f>. ' — «X'-i- V -I- iuZ,' — F'(«i = o.

entre lesquelles il faudra éliminer u. La première représente, pour une valeur déterminée de u. le plan tangent à la surface; et les 'Jeux, prises ensemble, la génératrice de contact de ce plan.

La développable (D) sera pleinement définie aussi si l'on donne Ifs coordonnées x, y, z d'un point de son arête de rebroussement (R) exprimées en fonction de l'arc s de (R) et les neuf cosinus a. a , d\ b, b' . 6'', c, c', c'qui déterminent respectivement la direction de la tangente, de la normale principale et de la binormale à cette courbe.

De même la développable <^D,) sera déterminée par les quantités j;,, r,, z-i, a,, aj, a\, 6,, b\, b], c,, cj, c'[ analogues à celles que nous venons de définir pour (D) et qui seront des fonctions de la même variable s que les précédentes. En leurs points correspondants, les arêtes de rebroussement de (D) et de (D|) ont, en effet, le même arc et aussi le même rayon de courbure.

Soit (P^) un plan tangent de (D,"! touchant l'arête de rebroussement (Ri) de(D, ) au point M,. Si x',>'' désignent les coordonnées d'un point de ce plan rapportées à des axes formés par la tangente

212 LIVRE Vni. — CHAPITRE IX.

et la normale principale à (Ri) en M^, on aura évidemment

I X' = ^1 H- «1 x' -1- hiy\

f Z' = ^1 H- aï' a-' -H èfy',

X', Y', Z' étant les coordonnées du point par rapport aux axes fixes. Par suite, pour avoir la section de la développable (A) par le plan (Pi), il faudra, dans les formules (s'y), remplacer X', Y', Z' par leurs valeurs précédentes et éliminei- u entre les deux équations ainsi olîtenues.

Supposons maintenant que la développable (Di) se déforme et vienne coïncider avec (D). Le plan (P,) viendra coïncider avec le plan correspondant (P) de (D). Les coordonnées x' ^ y' de chaque point de la section demeureront invariables; mais si l'on désigne par X, Y, Z les coordonnées nouvelles du point (a^'. y^) relativement aux axes fixes auxquels on a rapporté (D), on aura

i X = .-r -+- ax' -H 6 )-',

de sorte que, pour obtenir la surface cherchée, il faudra éliminer

M, X', Y', Z', x\ y' ^ s entre les huit équations (a--), (28), (29). Remarquons que l'on a

I a:'= a(X — .r) -+- a' (Y — .}■)■+" «"(Z — z) = Va(X — x),

(30) / y'=^h{X — x)^b'{Y—y)-^b"{Z^z) = ^b{^ — x), f o = c(X — x) -\- c'(Y — y) -t- c"(Z — z) = Xc(X — x);

tout se ramènera donc à éliminer s et u entre les deux équations

(1 — w- ) .ri H- (2j V a (X — a:) -I- 61 V è (X — x ) -H 2 « jKi + «î V a(X — a-) -f- 61 V è ( X — ,/■ )

lû ) ,:;i -+- a'/ X a( X — ic) -f- 6 j ^ 6 ( X — j; ) — 2 F ( « ) = 0,

SURFACES A LIGNES DE COURBURE PLANES. 2l3

et la dérivée de la seconde par rapport à n. Les variables ii et y, nous l'avons vu (n^OOS). seront les paramélres des deux familles de ligues de courbure.

lOOi. Il n'y aura aucune difficulté à calculer explicitement les fonctions de j.' qui entrent dans les formules. En effet, les arêtes de rebroussement (R) et (Ri) ont, aux points correspondants, la même courbure, mais non la même torsion. Si l'on se donnait la courbure et la torsion en fonction de l'arc, il faudrait, pour déterminer la courbe, intégrer une équation de Riccati. Mais, la torsion étant arbitraire, il est éclair qu'on pourra toujours la déterminer par la condition que cette équation de Riccati ait une solution donnée à 1 avance, ce qui permettra de ramener à des quadratures la détermination de toutes les fonctions de 5 qui figurent dans la solution. Nous avons vu : i° qu'on peut mettre la solution sous une forme entièrement réelle: 2° qu'on peut faire disparaître toutes les quadratures par un choir convenable des fonctions arbitraires. On peut établir tous ces résultats par la Géométrie.

Remarquons d'abord que l'arête de rebroussement (R() a, en chacun de ses points, pour torsion une fonction de s qui est une imaginaire pure if (s). Les formules fondamentales

dai i dc\ b\ dXi

ds p ds T ds

nous montrent alors qu'on pourra la rapporter à des axes tels que ^1, a]., 6', rj, c\ soient des imaginaires pures, les autres quantités X,, y,, a,, b,. a\. 6',, c\ étant réelles. Si donc on prend, dans les formules (2-) pour F(m) une fonction réelle de u. il est clair que les deux équations finales (3 11 présenteront la solution sous une forme entièrement réelle: x. y. z. a, b. ... devant évidemment être supposées réelles puisqu'elles se rapportent à la développable réelle (D).

1005. Indiquons maintenant comment on pourra faire disparaître les quadratures qui entrent dans la solution. Par les différents moyens que l'on peut emplover. voici celui qui nous a paru le plus simple.

Les fonctions de a' qui figurent dans la solution servent en défi-

2l4 LIVRE VIII, — CHAPITRE IX.

aitive à définir le roulement de (Di) sur (D). Si donc, au lieu de (A), nous prenons un poinl-sphère O invariablement lié à (Di), ce point-sphère coupera le plan de contact suivant un cercle qui engendrera une surface à lignes de courbure circulaires dont les lignes de seconde courbure correspondront aux génératrices rectilignes du point-sphère et seront, par suite, pleinement connues. Inversement, si nous connaissons une surface à lignes de courbure circulaires dont on puisse obtenir toutes les lignes de courbure sans aucune quadrature, la construction géométrique donnée au n" 970 s'appliquera ici et permettra de construire autant de cercles qu'on le voudra engendrant des surfaces à lignes de courbure circulaires. Si l'on prend, conformément à la méthode indiquée, tous ceux de ces cercles qui, dans un plan déterminé, enveloppenl une courbe (K), il envelopperont, dans les autres plans, des courbes dont l'ensemble constituera la surface cherchée. Ainsi tout est ramené à trouver une surface à lignes de courbure circulaires, la plus générale possible, dont toutes les lignes de courbure se déterminent sans aucune intéijration.

1006. Un premier moyen de résoudre cette intéressante question consiste à employer la transformation de M. Lie qui fait correspondre à des surfaces enveloppes de sphères les surfaces réglées engendrées par les droites qui correspondent à ces sphères, et aux lignes de courbure des premières surfaces les lignes asymptotiques des secondes. Dans un élégant article publié en 1888, M. Kœnigs (') a montré comment on peut écrire sans aucun signe de quadrature les équations qui définissent une surface réglée de manière à mettre en évidence les lignes asymptotiques.

D'autre part, dans le travail cité plus haut, M. Rouquet à indiqué le procédé géométrique suivant.

Étant donnée une surface à lignes de courbure sphériques, il existe toujours, nous le verrons, une surface de même nature admettant la même représentation sphérique et pour laquelle les

(') G. KŒNUis, Détermination sous forme explicite de toute surface réglée rapportée à ses lignes asymptotiques et, en particulier, de toutes les surfaces réglées à lignes asymptotiques algébriques {Comptes rendus, t. CVI. p. Si-S/j).

sphères qui contienaent les lignes de courbure passent par un point fixe ou coupent à angle droit une sphère fixe. Admettons ce résultat qui s'applique aux surfaces à lignes de courbure circulaires lorsqu'on choisit les sphères qui leur sont inscrites parmi celles qui contiennent la ligne de courbure circulaire. Nous vovons qu'à toute surface (2) à lignes de courbure circulaires, on pourra faire correspondre une surface (i) de même représentation sphcrique, enveloppe de sphères variables (U) orthogonales à une sphère fixe (S). On aura deux lignes de courbure non circulaires de fi », celles qui sont décrites par les deux points où chaque ligne de courbure circulaire coupe la sphère (S). Nous allons voir d'abord qu'on peut construire la surface de manière à en obtenir une troisième sans intésrration.

Prenons, en effet, une développable ( D' i dont on sache déterminer les lignes de courbure et soit (L) une de ses lignes de courbure. Construisons les sphères (L) tangentes à TD') aux différents points de (L) et orthogonales à (S). Elles envelopperont une surface (i') admettant (L) pour ligne de courbure el satisfaisant, par suite, à la condition demandée.

Or, il résulte d'un théorème de M. Emile Picard (') que le rapport anharmonique des points où quatre lignes de courbure non circulaires rencontrent une même ligne de courbure circulaire est constant. Cette proposition fournira évidemment toutes les lignes de courbure sans aucune intégration dès que trois d'entre elles seront connues, comme il arrive pour la surface (— ')-

A la vérité, nous avons admis que l'on sait construire sans aucune quadrature une développable (D') dont on peut déterminer une ligne de courbure. ^ oici comment on pourra opérer.

Traçons arbitrairement une courbe (C) sur une sphère, puis, dans l'espace, une courbe (C) dont les tangentes soient parallèles à celles de (C); ce qui se fera sans aucune intégration, (C) étant 1 arête de lebroussement dune développable dont les plans tangents sont assujettis à l'unique condition d'être parallèles aux plans osculateurs de (G). Menons ensuite par chaque tangente

C ) E. Picard, Application de la théorie des complexes linéaires à l 'étude des sur/aces et des courbes gauches {Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 2' série, t. VI, p. Sôa; 1S77).

2l6 LIVRE VIII. — CHAP. IX. — SURFACES A LIGNES DE COURBURE PLANES.

de (C) un plan parallèle au plan tangent à la sphère au point correspondant de (G). Les plans ainsi obtenus enveloppent une développable qui admet évidemment (G) comme ligne de courbure.

1007. Nous avons ainsi construit l'enveloppe de sphères (2'), dont les lignes de courbure sont déterminées sans aucune intégration. Pour obtenir l'enveloppe (i) nous invoquerons le théorème suivant, compris comme cas particulier dans une proposition que nous donnerons plus loin.

Lorsque deux surfaces enveloppes de sphères (i), (2') ont même représentation sphérique^ les sphères inscrites aux deux surfaces suivant deux lignes de courbure correspondantes ^ ces deux lignes de courbure et les cônes droits circoncrits suivant elles aux deux surfaces forment, à chaque instant, deux figures homothétiques. Les courbes décrites par les sommets des deux cônes ont leurs tangentes constamment parallèles, et le centre de U homothétie précédente est le point oit la droite joignant les sommets des deux cônes correspondants touche la courbe qu'elle enveloppe nécessairement.

Ou voit donc que, pour obtenir l'enveloppe cherchée (i), il suffira de construire une courbe dont les tangentes soient assujetties à l'unique condition d'être parallèles à celles de la courbe décrite par les sommets des cônes droits circonscrits à (^'), puis d'appliquer le théorème précédent, qui permettra de déduire de chacun des cercles de (i') le cercle correspondant de (2).