CHAPITRE X

Rappel des dilTérentes classes de surfaces à lignes de courbure planes déterminées ou étudiées dans le cours de cet Ouvrage. — Indication de cas particuliers dans lesquels ces surfaces sont isot'.iermiques. — Recherche systématique des surfaces qui satisfont à cette double condition d'avoir leurs lignes de courbure planes, au moins dans un système, et d'être isothermiques. — Mise en équation du problème. — Intégration des équations linéaires auxquelles satisfont les rotations. — Tout se ramène à la détermination d'une fonction h satisfaisant à deux équations aux dérivées partielles. — .\pplication de la théorie des fonctions doublement périodiques de seconde espèce et des méthodes de M. Hermite à celte intégration. — La solution dépend des fonctions elliptiques et comporte une fonction arbitraire. — Explication de ce "dernier résultat et construction géométrique de la surface. — Cas particulier où le modale de la fonction elliptique devient nul.

1008. Dans différentes parties de cet Ouvrage, nous avons déterminé différentes classes de surfaces à lignes de courbure planes : celles pour lesquelles les plans des lignes de courbure passent par une droite fixe (n" 94); celles pour lesquelles toutes les lignes de courbure sont planes (n" 105): celles pour lesquelles la courbure totale est constante (n"* 820, 821). Pour compléter ces éludes particulières, nous allons déterminer une classe nouvelle de surfaces à lignes de courbure planes, que 1 on est conduit à rechercher par les remarques suivantes.

D'après une remarque faite par !M. O. Bonnet in" 771 ), on peut déduire, de chaque surface dont la courbure totale est constante, deux surfaces dont la courbure moyenne est constante et qui sont parallèles à la première. On voit donc qu'aux surfaces à courbtire totale constante découvertes par M. Enneper (n"^ 811 à 821 ) correspondent des surfaces à courbure moyenne constante qui auront, elles aussi, leurs lignes de courbure planes dans un système et

2l8 LIVRE VIII. — CHAPITRE X.

sphériques dans l'autre. Ces dernières surfaces ont été l'objet d'une étude de M. Max Voretzsch ( ' ).

Or, d'après un résultat que l'on doit encore à M. O. Bonnet (n"' i33, 775), les surfaces dont la courbure moyenne est constante peuvent être divisées en carrés infiniment petits par leurs lignes de courbure; ou, ce qui est la même chose, les lignes de courbure de chaque système constituent une famille de courbes isothermes.

Il résulte donc de la recherclie faite par M. Enneper qu'il existe des surfaces satisfaisant à cette double condition que leurs lignes de courbure soient planes dans un système et, en outre, que la surface puisse être divisée en carrés infiniment petits par ses lignes de courbure. On est ainsi conduit à chercher toutes les surfaces, autres que les surfaces de révolution, jouissant de cette double propriété. La solution de ce problème fait l'objet du présent Chapitre.

Le résultat que l'on obtient est remarquable; bien que les surfaces cherchées doivent satisfaire à la fois à deux équations aux dérivées partielles, on trouve qu'elles contiennent dans leur équation deux constantes et une fonction arbitraire. On a donc, d'une part, une famille de surfaces à lignes de courbure planes dans un système, jouissant d'une propriété géométrique à laquelle les géomètres attachent quelque intérêt; et, à un autre point de vue, on ajoute aux surfaces en très petit nombre dont les lignes de courbure forment un système isotherme toute une famille de surfaces qui, par cette propriété, viennent se placer à côté des surfaces de révolution et des surfaces minima.

Malgré le degré de généralité de la solution, on peut obtenir une construction géométrique simple de toutes les surfaces qui correspondent à des formes différentes de la fonction arbitraire. D'ailleurs les calculs que l'on doit développer pour obtenir les expressions des coordonnées d'un point de la surface cherchée en fonction de deux variables indépendantes offrent une intéressante

(') Max Voretzsch, Untersuchung eiiier speciellen. Flàche constanter mittlerer Krilmmung bel welvher die eine der heiden Schaaren der Kriiiiiinungsliiiien von ebeneii Curven gebildet ist. GfUliiitn'n, i883.

application de la belle théorie des fonctions doublement périodiques de seconde espèce qui est due à M. Hermite. A tous ces points de vue, il y a quelque utilité à faire connaître dans ses points essentiels la méthode suivie.

1009. Je rappellerai d'abord les formules de la théorie des surfaces dont nous aurons à faire usage. Soit

< i) (/s- ^ A- du- -I- (Z- ^r-

Texpression de Vêlement linéaire de la surface. Les six quantités p. q, r. Pi, (jf, /', doivent satisfaire aux relations

f âp Opi

(2) ^ à. -lui ='-'"- P'^-

f r}r On

Désignons par rt, a\ a les cosinus directeurs de la tangente à la courbe p ^ const. ou, ce qui est la même chose, de la tangente à Tare \du: par 6. b . 6"' les cosinus directeurs de la tangente à la courbe u = const. ou à l'arc C </r, et enfin par c, c', c' les cosinus directeurs de la normale à la surface. On devra avoir, comme on sait,

y àb àb

( j . . ~- — en — av. - - — cpi — ail . .

\ au 'h-

I de de

et les équations analogues pour a . h\ c ; a , b , c". Les équations (5) feront connaître les neuf cosinus; puis on obtiendra les coordonnées rectangulaires X. 1i. Z d'un point de la surface

exprimées en u, ç par les quadratures

i d\ = A a du -h Cb dç, ((i) \ û?Y = Xa'du -H Cb'dc,

dZ =^Aa"du-^Cb"dç.

Remarquons enfin que, si l'on emploie la représentation sphérique de Gauss, c'est-à-dire si, par le centre d'une sphère de rayon i, on mène une parallèle à la normale, prolongée jusqu'à son intersection avec la sphère, le point de la sphère correspondant au point (X, Y, Z) de la surface aura pour coordonnées c, c', c". L'élément linéaire de la sphère sera donc déterminé par la formule

( 7 ) ds'- — Z de- = (p du -+- pi dv )- -^ {q du -\- (ji dv )-.

1010. Après avoir rappelé les formules précédentes, nous allons les appliquer au problème proposé; nous supposerons les surfaces cherchées rapportées à leurs lignes de courbure. Gela s'exprimera, comme on sait [II, p. 386], par les deux équations

De plus, comme les lignes de courbure doivent être isothermes, on pourra poser

Il désignant une nouvelle variable, substituée à la valeur commune de A et de G.

La formule (7) se réduit, dans le cas qui nous occupe, à la

ds- = p\ dv^ "+- ^" du-.

Pour exprimer que les lignes de courbure de l'un des systèmes, par exemple les lignes p = const., sont planes, il suffira d'exprimer que les lignes qui leur correspondent sur la sphère sont des cercles^, c'est-à-dire que leur courbure géodésique est constante : cela conduit à l'équation

(10) qp,^-Y^£,

où V désigne une fonction de v.

SURFACES ISOTHERMIQLES. 221

Les équations (8), (9), (10) sont l'expression complète des conliitions géométriques auxquelles doit satisfaire la surface cherchée. Si ou les joint aux équations (2) et ( 3), on en. déduira les valeurs suivantes des six quantités jt>, q.

\ désignant la dérivée de ^ : en outre, la fonction h devra satisfaire aux deux équations aux dérivées partielles

âh()lt f)ii fh'

àh

àv

.- Oh

àh

''^^àTc'

■ lu (l-

L'intégration simultanée de ces équations est donc la première

recherche que nous ayons à entreprendre.

L'équation (ri) est du troisième ordre, mais il est aisé de l'inté-

i;rer complètement. En eflet. si nous multiplions ses deux termes à'-h

par —rj — . ils deviennent l'un et l'autre des dérivées exactes par

àU rapport à v. Une première intégration donne ainsi

ài' / Ou peut écrire cette équation comme il suit :

au <h- àh

àu) -^'-'">

el une nouvelle intégration par rapport à i> nous donne

à h / lo

Oh Y

Il est vrai que nous avons négligé la solution particulière fournie par l'équation

mais il est aisé de voir, en la combinant avec l'équation (12), qu'elle ne donne aucune autre solution du problème proposé que les surfaces de révolution. Cette solution était évideate ay>/'/o77', et nous pouvons la négliger.

L'équation (i4) peut être mise sous la forme

(i5) 'i^ = Uc/'+Uie-'',

où U et \]^ sont des fonctions quelconques de u. 11 serait facile, en leur donnant des formes convenables, d'achever l'intégration; mais il nous a paru préférable de conserver l'équation (i5).

Si, dans l'équation (i3), on substitue à la variable v la variable (^1 définie par l'équation

elle prend la forme très simple

■ ^ au- àv-^

Tout se réduit donc à l'intégration simultanée des équations (i5)

et (17).

En différentiant l'équation (i5), on obtiendra la valeur de -— '

que l'on pourra exprimer en fonction de h et de u. Portant cette valeur dans l'équation (17), on obtiendra

Multiplions par 2 — et intégrons par rapport à t|, nous aurons (18) (xr) ->- aU'e/'— 2U', e-/'-i- U-^^î/'-H Ufe--*-!- 1-2= o.

h -2 désignant une nouvelle fonction de u.

Les équations (i5) et (18) peuvent être écrites sous la forme

àh du

OÙ l'on a posé, pour abréger,

I f{h, u^^î U' e* — 2 U', e-A ^ L -î e^''' ^- Ut e-^'' + U..

Nous pouvons en déduire par la difFérentiation deux valeurs différentes pour ; et, en exprimant que ces valeurs sont

égales, nous trouverons l'équation de condition

"' àh ' âh du

Je dis que cette équation doit avoir lieu identiquement. En effet, s'il n'en était pas ainsi, elle déterminerait /?, qui serait fonction de la seule variable u\ et la surface cherchée serait une surface de révolution. Nous avons déjà écarté cette solution, qui est évidente a priori.

En écrivant que l'équation (20) a lieu identiquement, c'està-dire que les coeftîcients des différentes puissances de e^ sont nuls, nous obtenons les trois équations

Lf-U; -L.-2LL,.

T) LU', -+- 6 U' L I -r- U':; = o.

La dernière s'intègre immédiatement et l'on est ramené au système

(211 < L Li

/ 6UU,-i-U, = C,..

OÙ C, désigne une constante arbitraire. [1 faudra donc d'abord déterminer les fonctions [J, pviis intégrer le système des équations (i5) et (i8) ou, ce qui est plus simple, comme nous le verrons, le système équivalent des équations (i5) et (17).

1011. Je commence par l'intégration du système (21). On déduit de la première équation

UiU'— UU', = c,

c désignant une constante.

Si l'on prend comme inconnue auxiliaire