UU

on trouve

U2= Cl— 6 6,

r c rlii ç c du

et 0 doit satisfaire à l'équation différentielle

(22) ,,00"— 0'2+ C-^=. 402(Cj — 8 6).

Diiférentions cette équation, nous obtiendrons

d'où nous déduirons par l'intégration

0"= 4G1O — 2402-H Co.

On déduit immédiatement de cette dernière équation que l'inconnue auxiliaire 6 dépend des fonctions elliptiques et qu'elle doit être de la forme

A -I- B sn- j

A, B, u^, c. et le module k de la fonction elliptique étant des constantes convenablement choisies. Mais, comme on peut, sans altérer l'élément linéaire de la surface cherchée, défini par la formule

remplacer u — Mo par txii,k la condition de remplacer v par a t et A par h ^= 2 Loga, il est clair que l'on pourra, sans restreindre la généralité, prendre pour 6 la valeur suivante

A -t- B snî u,

que l'on peut aussi écrire, en introduisant une constante w,

B( sn"-« — sn-io I.

En exprimant que celle valeur satisfait l'équation (22 », nous obtenons les trois relations

C = - A:- sa oj en dn w,

I L. = - a:- sa (.0 en an w, < Ci = 3 A- sn- L') — 1 — A-.

f 'J ^ ~( sn-to — sn-// ).

Les deux premières feront connaître A", oa en fonction de C, Ci ; la dernière donnera 0.

Quant aux deux fonctions U, Ui, elles doivent satisfaire l'une et l'autre à l'équation

•^ = 2 A- sn- // — I — A - -r- A- su- 1

et, en outre, leur produit doit être égal à 0. On reconnaît le cas le plus simple de l'équation de Lamé, si complètement étudiée par M. Hermite; et les solutions U, U, sont précisément celles dont le produit est une fonction entière de sn- u.

Il résulte des recherches de M. Hermite (Comptes tendus, t. LXXXV) que l'on aura

H( // -i-co)H'ro") -"wTr.

' * p etw)e(a)

p étant une constante à laquelle on pourra donner une valeur quelconque; car sa variation donne une série de surfaces semblables à l'une quelconque d'entre elles. Nous prendrons p= — 1\ et les

valeurs défînilives de U, Ui seront

Hiolll(» + o.).— M^ (=4) < '""■"""" e. ,

Tir \ ij / N W (W)

?.e(co)e(«)

1012. Nous avons maintenanl à intégrer le système formé par les deux équations

du-

d-'-li

dVj

où L, U, désignent les fonctions définies par les formules (24). La première de ces équations appartient à un type que l'on sait intégrer dès que l'on en connaît une solution particulière. Il suffit, en effet, de prendre comme inconnue soit e^, soit e~^; et l'on est ramené à une équation de Riccati; par conséquent, les valeurs de e^ correspondantes à quatre solutions particulières auront entre elles un rapport anharmonique constant, et l'intégrale générale sera donnée par une formule