R-+-SC

où G désignera la constante arbitraire par rapport à m, fonction de ^'i, et où P, Q, R, S, seront des fonctions déterminées de u. Toute la difficulté se réduit donc à la recherche de solutions particulières de cette équation.

Or reportons-nous à l'équation (20) qui a lieu identiquement. Elle exprime évidemment que les fonctions h de u, définies par ' l'équation

sont précisément des solutions particulières de l'équation à intégrer. Il suffira donc de résoudre l'équation

(25) U^gsA ^ 2U'e^'-H Uo— aU'ie-/' -t- Uïe-2/'= o,

qui est du quatrième degré par rapport à e''', et l'on aura quatre

SUBFACES ISOTHERMIQUES. 22;

solutions particulières qui permettront d'écrire l'intégrale générale cherchée.

Les variants i et j de cette équation ont pour valeurs

La résolvante du troisième degré

a ses racines rationnelles

I — /.- I — yk- A- .'

et, par des calculs qu'il me paraît inutile de reproduire, on obtient les expressions suivantes des quatre racines cherchées :

(26) e'> = ^ '-e 'O tu .

OÙ l'on donne à v successivement les quatre valeurs

O, 2K, 21K'. 2K-f-2fK.

D'ailleurs, comme on peut donner à l'expression de e^ la forme

e-| I Asn- Asn-^

qui est linéaire par rapport à la constante A sn- - ? on voit que

l'intégrale générale cherchée sera donnée par l'une quelconque des

formes équivalentes (26) ou (27), où y sera la constante arbitraire.

Mais •;. qui ne dépend pas de u. est ici une fonction de V( : il

reste à la déterminer par la condition que // satisfasse à 1 équation

à*- h fPh

Exprimons que cette équation est vérifiée pour toutes les valeurs de m; nous aurons les équations

";'--!- I = <), y''= o, qui donnent

en négligeant une constante additive, que l'on peut toujours supposer réunie à t»,.

En résumé, on trouve, pour la valeur définitive de h, la formule

,,///-!- /Il -T- (0 \ ,, / // — IV, H- (>) \ '

et Ton connaît complètement l'élément linéaire de la surface cherchée, aussi bien que les six rotations/», q, r, p^, ^i, r, .

En éliminant Ci entre l'équation (28) et sa dérivée, on vérifiera qu'on retrouve bien l'équation ( i5) qu'il s'agissait d'intégrer.

1013. Il reste maintenant à indiquer comment on trouvera les neuf cosinus a, a', a", ... et les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface. Mais auparavant je définirai une nouvelle fonction qui jouera un rôle essentiel dans cette recherche.

Considérons la fonction

,,/u-^iv

de l'argument complexe u + iV, : il résulte de la formule (28) que c' est le module de celte fonction. On pourra donc poser

/i-hiT "1 I ii + w vy'iM'

../ Il -+- IVj -h m\

et l'on obtiendra pour 7 l'expression

^ io . .'- = -!^ ^ !—S i L r wT7 .

D ailleurs, comme /< — ùo- est une fonction de la variable complexe u H- /r,. on aura les équations bien connues

dii âii du àvi

qui nous seront utiles.

La fonction i<7 ne diiîére de h que par des notations. Elle satisfait, par conséquent, à une équation différentielle en c^,, tout à fait semblable à léquation (i5),

(32) -; — = Me"-(- > e— '<^.

M et N ayant les valeurs suivantes

0'iW.

?Si (0 1 H( ir

:>6i co^ H(/ri 1

Nous verrons plus loin comment la Géométrie fait prévoir l'existence de cette équation. La valeur de a, contenant d'ailleurs l'arbitraire u qui ne figure pas dans l'équntion (32), donne, par conséquent, l'intégrale générale de cette équation différentielle.

1014. Quand on connaît l'élément linéaire d'une surface et les six quantités qui figurent dans les formules de Codazzi, il reste à déterminer les neuf cosinus et les coordonnées rectangulaires X. Y, Z. On est conduit à une seule surface; mais la détermination de cette surface dépend, en général, de l'intégration d'une équation de Riccati. On a de nombreux exemples dans lesquels on se trouve arrêté, où l'intégration à effectuer paraît réellement impossible.

Dans le cas actuel, on peut terminer les calculs, obtenir les

23o LIVRE VIII. — CHAPITRE X.

neuf cosinus elles coordonnées reclangulaires de la manière suivante :

Considérons un point de la surface et la tangente à la ligne de courbure plane r = const. qui passe en ce point. Les cosinus directeurs de cette tangente sont, d'après les notations du n°1009, a, a . a .

Si, par le centre d'une sphère de rayon i, nous menons une parallèle à cette tangente, elle coupera la sphère en un point dont les coordonnées seront a, a', a"; nous aurons ainsi un mode de représentation sphérique de la surface distinct de celui de Gauss et qui va nous être très utile.

L'élément linéaire de la sphère sera donné par la formule

c/S- =: (la- -+- d((.'- -+- da-, OU, en employant les formules (5) et ( 1 1 ),

Introduisons, en tenant compte de la formule (i6), dv^ à la place de dv et servons-nous des formules (3i) pour substituer les dérivées de <7 à celles de h. INous obtiendrons ainsi l'expression très simple

(34) ,/s.= ./..^V.(^)^rf<1.

Cette formule montre que les lignes i ^ = const. de la sphère, qui correspondent aui lignes de courbure planes de la surface, sont des lignes géodésiques, c'est-à-dire des grands cercles. Ces lignes admettent pour trajectoires orthogonales les courbes a =: const., ce qui donne la signification géométrique de la fonction a.

Le résultat précédent pouvait être prévu géométriquement; car, si un point se déplace sur la surface en décrivant une ligne de courbure plane, le point correspondant de la sphère, dans le mode de représentation que nous avons adopté, décrira évidemment le grand cercle dont le plan est parallèle au plan de la ligne de courbure; c'est en raison de cette propriété que nous nous sommes proposé de déterminer en premier lieu les cosinus «, a', «".

Lorsque l'élément linéaire de la sphère prend la forme (34), on

SURFACES ISOTHERMIQUES. 23l

sait ' n° 599) que le coefficient de dv: doit être de la forme

celte remarque se vérifie bien ici en vertu de l'équation (Sa), que nous avons signalée d'avance au numéro précédent.

1015. Revenons à la formule (34). Nous savons que 7. t , sont les coordonnées curvilignes d'un point de la sphère; a désigne la distance de ce point à une courbe fixe (F) de cette sphère, distance comptée sur le grand cercle normal à (F) et passant par le point. Quant à t',, c'est une fonction de l'arc de la courbe (F), compté à partir d'une origine fixe jusqu'au pied du grand cercle normal. Appelons x. r, z les coordonnées d'un point de i F), qui sont des fonctions de l'arc de la courbe compté à partir de l'origine choisie. Désignons cet arc par s et appelons x', x", . . . les dérivées de a:. ... par rapport à s. Nous aurons

\ j- -n y- ^ c- -= I. .ru-' -r- yy - ce = o,

\x--^y--^z-=\. j- JT -I- y y — z z = o.

Posons, pour abréger, nous aurons les formules

)"= — Aa-',

< 37 i < zx' — xz' = — A ^' ,

l JT)-* — .'<■'= — As',

dont la démonstration est immédiate.

Exprimons maintenant que le point (a, a', a") de la sphère est situé à une distance 7 sur l'arc de grand cercle, qui est normal à la courbe iFi au point (x, y. V). Nous obtiendrons, par des méthodes tout élémentaires, les formules

i la —[x — i^yz' — zy' )\e'° -^[x -\- i{yz' — zy')\e—^'^,

(38) ■ la' — ly — i^^zx' — .rs')] e'^^-H j- — i(zx' — xy')\e^'^,

' ^a' = [z — / ( xy' — yx')] ei'^ -i- [ ^ -1- i( xy' — yx' )] e-'^.

II nous reste à exprimer qu'en prenant pour s une fonction

232 LIVRE Vin. — CHAPITRE X.

convenable de Ci, ces formules conduisent à l'expression (34) de l'élément linéaire.

Différentions la première; en tenant compte des relations (S'y), nous trouvons

■i da = x' (h\{\ -f- iA) e''«^-f- (i — /A) e-'-^J

-(- / ch I ( X — i{yz' — zy' )] e'O' — [ x -t- i{yz-' — zy' )] e'<^ | .

On déduit de là, en élevant au carré et ajoutant les équations analogues,

/ 1 -4- /A (Is 1 — lA (h . \- , ,

Si l'on compare à l'expression fournie par la formule (34), où l'on a remplacé - — par sa valeur,

^S2 = r/a2+ (VM e'^-4- VN e-i'^Y dA, on voit que l'on doit avoir

^ ^^ ( (i — /A)^.s-= 2VN d^.

Ces équations peuvent servir à un double usage.

Si l'on a cboisi arbitrairement V en fonction de p, elles nous font connaître ^ et A en fonction de v et, par conséquent, A en fonction de s. Cette relation entre A et ^ détermine, non la situation, mais la forme de la courbe (F). Au contraire, si l'on a pris (F) arbitrairement ainsi que k et co, elles nous font connaître V et c, en fonction de s et, par suite, V, v^ en fonction de v. On voit donc que l'on peut choisir arbitrairement la courbe (F). En d'autres termes, parmi les surfaces que nous étudions, il y en aura toujours pour lesquelles les plans des lignes de courbure du premier système seront parallèles aux plans tangents d'un cône quelconque.

La détermination de a étant faite, on aura b par l'une des formules (5), qui donne

àa , j à/i , ^G

dp ou avi

et, par conséquent, la différentielle de la coordonnée rectangu-

laire X d'un point de la surface sera

c/\ = e'' 1 a du H ; —

En remplaçant a par sa valeur, on trouve (4o) ers. — e'' \y dvi -I- [x — i{yz'— zy')] g/'-'ff d ( ""*""' \

— [./■- /•( ) ,- — -y >]^/'-'>T dl" ~ '""' \ .

1016. Voici comment on peut eftectuer cette quadrature.

L'exponentielle e'^, considérée comme une fonction de • est

doublement périodique de seconde espèce et a les mêmes multiplicateurs que la fonction

^ tA .. H( X — 2tO

Hc.r)

Si l on applique la formule donnée par M. Hermite pour la décomposition en éléments simples, on trouvera

Mû ÏM ) t»

/ u — /t|— 3to \

H(^2oj)H'(o) „(u — A-, ^ (■)

0 vW;

M et N ayant les valeurs définies par les formules (33).

Si l'on porte cette expression de e^ dans le premier terme seul de la formule (4o)» puis que l'on remplace

2VMj-Wi'i par .r'{\-it-H^ds'=d{x — /(.}'-' — «.»')]? 2VNj' di\ par .r\ i — /Ai ds = (7f r -(- i( vz' — s.»'>]r

on obtient

,,/ 1/ -h iv 1 • — \ co \

H ■ . ,0',oo

d\ == Tj- „, — ^7 r^ ^e W(w) cl\x — i{ yz'—zy')'\

-i-\x^i{ yz'—zv')] r^ -e 0 («,'</

les termes non écrits se déduisant des précédents par le changement de i en — i.

Dans la seconde ligne de la formule précédente figure une fonction que l'on déduit de la suivante :

F(x) = — ^^ i-^^""-' fe>(«)

en y remplaçant jc par — -• Ici encore F(a;) est une fonction

doublement périodique de seconde espèce, et une nouvelle application de la méthode de décomposition de M. Hermite nous donne

__V il ;-'' -0-^ Q-i^-^) A

H'(o)H(-.i(o) dx

WUx^

En faisant usage de cette formule, nous voyons que les deux premiers termes de dX deviennent la différentielle exacte d'un produit, et l'intégration nous donne

H(2co)H'(o) II/" — i'Pi -(- w

On aurait pour Y et Z des expressions analogues. La question est donc complètement résolue.

lOlT. Il nous reste maintenant à donner l'interprétation des formules et la construction géométrique de la surface. En multipliant l'équation (42) par x et ajoutant les équations analogues,

on a

j-'X^ 1 Y -^ zZ = 0.

Les coefficients ne dépendant que de v. cette équation représente les plans des lignes de courbure du premier svstéme. Elle ne contient pas de terme constant; par suite, les plans des lignes de courbure du premier système enveloppent un cône. C'est là une première propriété de la surface.

Etudions maintenant les lignes de courbure planes. Leurs plans sont normaux à la courbe sphérique que nous avons désignée par (F). Rapportons la ligne de courbure à deux axes rectangulaires choisis dans son plan, l'un O^i, allant au point où ce plan coupe la courbe (F) et ayant pour cosinus directeurs x. y^ z\ Fautre Ovi perpendiculaire au premier el ayant pour cosinas directeurs

Appelons X\ et y^ les coordonnées relatives à ces axes. On trouvera aisément

ll(,-2tO)H(Ol . Il -\- IV \ -^ M \

Les deux équations obtenues en séparant les parties réelles et les parties imaginaires donneront Xi^ yi. On voit donc que la forme des lignes de courbure planes sera la même pour toutes les surfaces qui correspondent à un même système de valeurs de k et de 'ti et sera, au contraire, complètement indépendante de la forme de la fonction arbitraire qui entre dans les formules. C'est la deuxième propriété géométrique de la surface.

En troisième lieu, cherchons l'arête de contact des plans des lignes de courbure avec le cône que ces plans enveloppent. Cette arête de contact sera définie par l'équation

à laquelle on donnera facilement la forme

(44) (i -+- i^\ixi-+- (ki)-i-(i — i\){xi— iy\) = o.

Si l'on tient compte des formules (89), cette équation devient

M ( Xi -1- ivi ) -\-l^{Xi— ifx ) = o,

ou, en remplaçant M et F par leurs valeurs,

—li^i -— w^ : — :

(45) e <"Ji«)e((o -H?p,)(.ri-4- /yi)= e W (W) e( ^ — /Vi)(^i— />-, )

Remarquons, d'ailleurs, que le point situé à la distance i sur l'axe OjKi décrit la courbe (F), normale au plan de la ligne de courbure; et, par conséquent, ce plan roule sur le cône qu'il enveloppe. L'équation précédente nous montre que la droite de contact du plan de la ligne de courbure avec le cône enveloppe ne dépend que des constantes k, co et nullement de la forme de la fonction arbitraire. C'est la troisième propriété géométrique de la surface.

En réunissant tous ces résultats, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Considérons les coordonnées rectangulaires X\. y^ comme des fonctions des variables u, p, définies par la double équation

(46) XirjziYi —